2012-2003数学二真题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)

曲

线

x2 x

y 2

x 1

的渐近线条数

( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数f(x) (ex 1)(e2x 2) (enx n)，其中n为正整数,则f (0) ( )

(A) ( 1)

n 1

(n 1)! (B) ( 1)n(n 1)! (C) ( 1)n 1n! (D) ( 1)nn!

(3) 设an 0(n 1,2,3 ),

则数列 Sn 有界是数列 an 收敛的 Sn a1 a2 a3 an，

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

k

2

(4) 设Ik exsinxdx,(k 1,2,3),则有

( )

(A) I1 I2 I3 (B) I3 I2 I1 (C) I2 I3 I1 (D) I2 I1 I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有

(x,y) (x,y)

0, 0,则使不等式 x y

f(x1,y1) f(x2,y2)成立的一个充分条件是

(

)

(A) x1 x2,y1 y2 (B) x1 x2,y1 y2 (C) x1 x2,y1 y2 (D) x1 x2,y1 y2 (6) 设区域D由曲线y sinx,x

2

,y 1围成，则 (x5y 1)dxdy

D

( )

(A) (B) 2 (C) -2 (D) -

0 0 1 1

(7) 设α1 0 ,α2 1 ,α3 1 ,α4 1 ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列

c c c c

2 3 4 1

向( )

量组线性相关的为

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

100

(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P 1AP 010 .若P α1,α2,α3 ，

002 Q α1 α2,α2,α3

( )

则

Q 1AQ

100 100 200

(A) 020 (B) 010 (C) 010

001 002 002 200 (D) 020

001

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

d2y(9) 设y y(x)是由方程x y 1 e所确定的隐函数，则2

dx

2

y

x 0

(10)limn 2 2 222 n 2 nn n . 1 n (11) 设z f lnx

111

1 z2 z,x y . 其中函数f u 可微，则

y x y

(12) 微分方程ydx x 3y

2

dy 0满足条件y

x 1

1的解为y .

(13) 曲线y x x x

0 上曲率为

2

的点的坐标是 . 2

(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则

BA*

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数f x (I)求a的值;

k

(II)若x 0时，f x a与x是同阶无穷小，求常数k的值.

1 x1

，记a limf x ，

x 0

sinxx

(16)(本题满分 10 分)

求函数f x,y xe

x2 y22

的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

xyd ，其中区域D为曲线r 1 cos 0 与极轴围成.

D

(19)(本题满分10分)

已知函数f(x)满足方程f (x) f (x) 2f(x) 0及f (x) f(x) 2ex, (I) 求f(x)的表达式;

(II) 求曲线y f(x) f( t2)dt的拐点.

02

x

(20)(本题满分10分)

1 xx2

证明xln,( 1 x 1). cosx 1

1 x2

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程xn+xn-1 x 1 n 1的整数 ，在区间 根；

(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.

n

1

,1 内有且仅有一个实2

(22)(本题满分11 分)

1

0

设A

0 a

a00 1

1a0 1

，

0 01a

001 0

(I) 计算行列式A；

(II) 当实数a为何值时，方程组Ax 有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

1 0 已知A 1 01 11 TT

，二次型f x1,x2,x3 x AA x的秩为2，

0a

a 1

(I) 求实数a的值；

(II) 求正交变换x Qy将f化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．

（1）已知当x 0时，函数f(x) 3sinx sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）

（A）k 1,c 4 （B）k 1,c 4 （C）k 3,c 4 （D）k 3,c 4

k

x2f(x) 2f(x3)（2）设函数f(x)在x 0处可导，且f(0) 0，则lim （ ）

x 0x3

（A） 2f (0) （B） f (0) （C）f (0) （D）0 （3）函数f(x) ln(x 1)(x 2)(x 3)的驻点个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y y e

（A）a(e

x

2

x

e x( 0)的特解形式为（ ）

e x) （B）ax(e x e x)

（C）x(ae

x

be x) （D）x2(ae x be x)

（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0) 0，g(0) 0，f (0) g (0) 0

则函数z f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A）f (0) 0，g (0) 0 （B）f (0) 0，g (0) 0 （C）f (0) 0，g (0) 0 （D）f (0) 0，g (0) 0

（6）设I

4

lnsinxdx，J 4lncotxdx，K 4lncosxdx，则I，J，K的大小关

系为（ ）

（A）I J K （B）I K J （C）J I K （D）K J I

（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行

100 100

得单位矩阵。记P1 110 ，P2 001 ，则A=（ ）

001 010

（A）P1P2 （B）P1P2 （C）P2P2P1 1 （D）P（8）设A ( 1, 2, 3, 4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1　,0,1,0)是方程组Ax 0

的一个基础解系，则Ax 0的基础解系可为（ ）

（A） 1, 3 （B） 1, 2 （C） 1, 2, 3 （D） 2, 3, 4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim

*

T

1

1

1 2

x 0

2

x

。

'

x

1x

（10）微分方程y y e（11）曲线y

cosx满足条件y(0) 0的解为y 。

x

tantdt (0 x

4

)的弧长s 。

e kx,x 0,

（12）设函数f(x) 0，则 xf(x)dx 。

x 0, 0,

（13）设平面区域D由直线y x，圆x y 2y及y轴所围成，则二重积分

22

xyd

D

（14）二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3，则f的正惯性指数

为 。

三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．

证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数F(x)

（16）（本题满分11分）

222

x

ln(1 t2)dtx

，设limF(x) lim F(x) 0，试求 的取值范围。

x

x 0

131 x t t , 33

设函数y y(x)由参数方程 确定，求y y(x)的极值和曲线

y 1t3 t 1 33

y y(x)的凹凸区间及拐点。

（17）（本题满分9分）

设函数z f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在

2z

x 1处取得极值g(1) 1，求

x y

（18）（本题满分10分）

。

x 1,

y 1

设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y y(x)与直线y x相切于原点，记 为曲

线l在点(x,y)处切线的倾角，若

（19）（本题满分10分）

（I）证明：对任意的正整数n，都有

d dy

，求y(x)的表达式。

dxdx

1 1 1

ln 1 成立。 n 1 n n

（II）设an 1

11

lnn(n 1,2, )，证明数列 an 收敛。 2n

（20）（本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

11

x2 y2 2y(y )与x2 y2 1(y )连接而成。

22

（I）求容器的容积；

（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：m，重力加速度为gs，水的密度为10kgm）

（21）（本题满分11分）

已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y) 0，f(x,1) 0，

2

3

3

f(x,y)dxdy a

D

，其中D (x,y)0 x 1,0 y 1，计算二重积分

(x,y)dxdy。 I xyfxy

D

（22）（本题满分11分）

T

设向量组 1 (1,0,1)， 2 (0,1,1)， 3 (1,3,5)不能由向量组 1 (1,1,1)，

T

T

T

2 (1,2,3)T， 3 (3,4,a)T线性表示。

（I）求a的值；

（II）将 1, 2, 3用 1, 2, 3线性表示。

（23）（本题满分11分）

11 11

0 00 。 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A 0

11 11

（I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一选择题

x2 x1

2 (1) 函数f(x) 2

x 1x

A0 B1 C2 D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y p(x)y q(x)的两个特解，若常数 , 使

y1 y2是该方程的解， y1 y2是该方程对应的齐次方程的解，则

1111

, B , 22222122C , D ,

3333

A

(1) 曲线y x与曲线y alnx(a 0)相切，则a A4e B3e C2e De 4.设m,n为正整数,

则反常积分A仅与m取值有关

2

的收敛性

B仅与n取值有关

C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关

5.设函数z z(x,y)由方程F(,) 0确定,其中F为可微函数,且F2 0,则xAx 6.(4)lim

n

n

yzxx z z y= x y

Bz C x D z

n

= 22x

i 1j 1(n i)(n j)

x

A

1

dx

1x11

Bdydx 0 0(1 x)(1 y)dy (1 x)(1 y2)

C

1

dx 0 0(1 x)(1 y)dy

1

1

D

1

dx

1

dy

0(1 x)(1 y2)

1

， s线性表示，下列命题正确的是： 7.设向量组I: 1, 2, ， r可由向量组II： 1， 2，

A若向量组I线性无关，则r s B若向量组I线性相关，则r>s

C若向量组II线性无关，则r s D若向量组II线性相关，则r>s

1

1 (A) 设A为4阶对称矩阵,且A2 A 0,若A的秩为3,则A相似于A 1

0 1 1 1

1 11 D C B

1 1 1

000

二填空题

9.3阶常系数线性齐次微分方程y 2y y 2y 0的通解y=__________

2x3

10.曲线y 2的渐近线方程为_______________

x 1

11.函数y ln(1 2x)在x 0处的n阶导数y

(n)

(0) __________

_ 12.当0 时，对数螺线r e的弧长为__________

13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm

时，它的对角线增加的速率为___________

14.设A，B为3阶矩阵，且A 3,B 2,A B 2,则A B三解答题

1

1

__________

15.求函数f(x) 16.(1)比较

x2

1

(x2 t)e tdt的单调区间与极值。

n

1

2

1

lnt[ln(1 t)]dt与 tnlntdt(n 1,2, )的大小,说明理由.

(2)记un

1

lnt[ln(1 t)]ndt(n 1,2, ),求极限limun.

x

x 2t t,5

(t 1)所确定，其中 (t)具有2阶导数，且 (1) ，

2 y (t),

d2y3

(1) 6，已知2 ,求函数 (t)。

dx4(1 t)

18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油

设函数y=f(x)由参数方程

17.2

3

b

罐中油面高度为2时，计算油的质量。

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为19.

kg/m3

）

2u 2u 2u

设函数u f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42 12 52 0.

x x y y 2u

确定a,b的值，使等式在变换 x ay, x by下简化 0

计算二重积分I r2sin r2cos2 drd ,其中D ｛(r, )0 r sec ,0 420.D

1

21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在

(0,), (,1),使得f ( ) f ( ) 2 2.

22.

1212

设A 0

1

1

1

1

1 a 0 ,b 1 .已知线性方程组Ax b存在2个不同的解。

1

（1）求 、a.

(2)求方程组Ax b的通解。

0 14 T

23.设A 13a ，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为

4a0

1

(1,2,1)T，求a、Q. 6

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

x x3

（1）函数f x 的可去间断点的个数，则（ ）

sinnx

A 1.

B 2. C 3.

2

D 无穷多个.

（2）当x 0时，f x x sinax与g x xln 1 bx 是等价无穷小，则（ ）

A a 1,b

1. 6

B a 1,b

111. C a 1,b . D a 1,b . 666

（3）设函数z f x,y 的全微分为dz xdx ydy，则点 0,0 （ ）

A 不是f x,y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点. C 是f x,y 的极大值点. D 是f x,y 的极小值点.

（4）设函数f x,y 连续，则

2

1

dx f x,y dy dy

x

1

224 y

y

f x,y dx （ ）

A

2

12

dx

4 x

14 y

f x,y dy. f x,y dx.

B

2

1

dx

4 x

x2

f x,y dy.

C 1dy 1 D . 1dy yf x,y dx

2

22

（5）若f x 不变号，且曲线y f x 在点 1,1 上的曲率圆为x y 2，则f x 在

区间 1,2 内（ ）

A 有极值点，无零点. B 无极值点，有零点. C 有极值点，有零点. D 无极值点，无零点.

（6）设函数y f x 在区间 1,3 上的图形为：

x

则函数F x

f t dt的图形为（ ）

B .

A .

C . D .

**

B=3，则分（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2块矩阵

0

BA

的伴随矩阵为（ ） 0 3B*

0 3A*

0

0 A . *

2A 0C. *

2B

0 B . *

3A 0D. *

3B

2B*

0 2A*

0

100 T

（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP= 010 ，若

002

T

P=（ 1， 2， 3），Q=（ 1+ 2， 2， 3），则QAQ为（ ）

210

110 A . 002 200

010 C . 002

110

120 B . 002 100

020 D . 002

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1-t u2

x= edu

（9）曲线 在处的切线方程为 0（0，0）

y t2ln(2 t2)

+ kx

（10）已知 edx 1,则k

（11）lim

1 x

esinnxdx n 0

y

d2y

（12）设y y(x)是由方程xy e x 1确定的隐函数，则2

dx1 上的最小值为 （13）函数y x在区间 0，

2x

x=0

= 200

TTT

(14)设 ， 为3维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 000 ，则 =

000

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限lim

x 0

1 cosx x ln(1 tanx)

sinx

4

（16）（本题满分10

分）计算不定积分ln(1

dx (x 0)

（17）（本题满分10分）设z f x y,x y,xy ，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与

2z

x y

（18）（本题满分10分）

设非负函数y y x x 0 满足微分方程xy y 2 0，当曲线y y x 过原点时，其与直线x 1及y 0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分其中D

x y dxdy，

D

x,y x 1 y 1

2

2

2,y x

（20）（本题满分12分） 设y y(x)是区间内过（（- ， ）

的光滑曲线，当- x 0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0 x 时，函数y(x)满足y y x 0。求y(x)的表达式

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f x 在 a,b 上连续，在 a,b 可导，则存在

a,b ，使得f b f a f b a （Ⅱ）证明：若函数f x 在x 0处连续，

f x A，则f 0 存在，且f 0 A。 在 0, 0 内可导，且lim

x 0

1 1 1 1

1 ， 1 1 （22）（本题满分11分）设A 11

2 0 4 2

2

（Ⅰ）求满足A 2 1,A 3 1的所有向量 2, 3

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 2, 3，证明： 1, 2, 3线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型f x1,x2,x3 ax1 ax2 a 1 x3 2x1x3 2x2x3

2

2

2

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

2

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12 y2，求a的值。

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设f(x) x(x 1)(x 2)，则f(x)的零点个数为（ ）

2

'

A 0 B 1. C 2 D 3

（2）曲线方程为y f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分

a

aft(x)dx（ ）

A 曲边梯形ABOD面积. B 梯形ABOD面积. C 曲边三角形ACD面积. D 三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以y C1e C2cos2x C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）

x

A C

y''' y'' 4y' 4y 0 y''' y'' 4y' 4y 0

''''''

B y y 4y 4y 0

D

y''' y'' 4y' 4y 0

（5）设函数f(x)在( , )内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ）

A 若 xn 收敛，则 f(xn) 收敛. B 若 xn 单调，则 f(xn) 收敛. C 若 f(xn) 收敛，则 xn 收敛.

（6）设函数f

连续，若F(u,v)

D 若 f(xn) 单调，则 xn 收敛.

Duv

22，其中区域Duv为图中阴影部分，则

F

u

v

f(u2) uv

C vf(u) D f(u)

u

A vf(u2) B

（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A 0，则（ ）

3

A E A不可逆，E A不可逆. C E A可逆，E A可逆.

（8）设A

B E A不可逆，E A可逆. D E A可逆，E A不可逆.

12

，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 21

A

21

.

1 2

B

2 1

.

12

21

C .

12

D

1 2

.

21

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且lim

x 0

1 cos[xf(x)](e 1)f(x)

x2

1，则f(0) ____.

（10）微分方程(y xe)dx xdy 0的通解是y ____.

（11）曲线sin xy ln y x x在点 0,1 处的切线方程为 . （12）曲线y (x 5)x的拐点坐标为______. （13）设z

23

2 x

z y

，则 x x

xy

(1,2)

____.

（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3, .若行列式2A 48，则 ___.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分9分）求极限lim

(16)（本题满分10分）

sinx sin sinx sinx. x 0x4

x x(t)

设函数y y(x)由参数方程 确定，其中x(t)是初值问题t2

y ln(1 u)du 0

dx x

2y 2te 0

的解.求2. dt

x xt 0 0

(17)（本题满分9分）求积分

(18)（本题满分11分）

求二重积分

1

.

max(xy,1)dxdy,其中D {(x,y)0 x 2,0 y 2}

D

(19)（本题满分11分）

设f(x)是区间 0, 上具有连续导数的单调增加函数，且f(0) 1.对任意的

t 0, ，直线x 0,x t，曲线y f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周

生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点

[a,b]，使得

b

a

f(x)dx f( )(b a) (2)若函数 (x)具有二阶导数，且满足

32

(2) (1), (2) (x)dx，证明至少存在一点 (1,3),使得 ( ) 0

（21）（本题满分11分）

求函数u x y z在约束条件z x y和x y z 4下的最大值与最小值.

（22）（本题满分12分）

2

2

2

2

2

2a1

2 a2a ，现矩阵A满足方程AX B设矩阵A ，其中 1 2

a2a n nX x1, ,xn ，B 1,0, ,0 ，

（1）求证A n 1 a；

n

T

（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵， 1, 2为A的分别属于特征值 1,1特征向量，向量 3满足

A 3 2 3，

（1）证明 1, 2, 3线性无关； （2）令P 1, 2, 3 ，求P 1AP.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当x

0等价的无穷小量是

（A

）1 （B

） （C

1 （D

）1 [ ]

(ex e)tanx

（2）函数f(x) 在 , 上的第一类间断点是x [ ] 1

x ex e

（A）0 （B）1 （C）

2

（D）

2

（3）如图，连续函数y f(x)在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 2,0 , 0,2 的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x) 则下列结论正确的是：

x

f(t)dt，

（A）F(3)

35

F( 2) (B) F(3) F(2) 4435

（C）F(3) F(2) （D）F(3) F( 2) [ ]

44

（4）设函数f(x)在x 0处连续，下列命题错误的是：

f(x)f(x) f( x)

存在，则f(0) 0 （B）若lim存在，则f(0) 0 .

x 0x 0xx

f(x)f(x) f( x)

（C）若lim存在，则f (0) 0 （D）若lim存在，则f (0) 0.

x 0x 0xx

（A）若lim

[ ] （5）曲线y

1

ln 1 ex 的渐近线的条数为 x

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0, )上具有二阶导数，且f (x) 0，令un f(n)，则下列结论正确的是：

(A) 若u1 u2 ，则 un 必收敛. (B) 若u1 u2 ，则 un 必发散

(C) 若u1 u2 ，则 un 必收敛. (D) 若u1 u2 ，则 un 必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点 0,0 处可微的一个充要条件是[ ] （A）

(x,y) 0,0

lim

f(x,y) f(0,0) 0.

（B）lim

x 0

f(x,0) f(0,0)f(0,y) f(0,0)

0,且lim 0.

y 0xy

（C）

(x,y)

0,0lim 0.

（D）lim fx (x,0) fx (0,0) 0,且lim fy (0,y) fy (0,0) 0.

x 0

y 01

（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分（A）（C）

dx

2

sinx

f(x,y)dy等于

1

1

01

dy

arcsiny

arcsiny

f(x,y)dx （B） dy

010

arcsiny

arcsiny

f(x,y)dx

f(x,y)dx

dy

2

f(x,y)dx （D） dy

2

（9）设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) 1 2, 2 3, 3 1

(B) 1 2, 2 3, 3 1

(C) 1 2 2, 2 2 3, 3 2 1. (D) 1 2 2, 2 2 3, 3 2 1. [ ]

2 1 1 100

（10）设矩阵A 12 1 ,B 010 ，则A与B

1 12 000

(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） lim

arctanx sinx

__________. 3x 0x

x cost cos2t

（12）曲线 上对应于t 的点处的法线斜率为_________.

4 y 1 sint

（13）设函数y

1(n)

，则y(0) ________. 2x 3

2x

（14） 二阶常系数非齐次微分方程y 4y 3y 2e（15） 设f(u,v)是二元可微函数，z f

的通解为y ________.

yx z z

, ，则x y __________.

x y xy

0

0

（16）设矩阵A

0 0100

010

，则A3的秩为 .

001

000

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设f(x)是区间 0,

上单调、可导的函数，且满足 4

f(x)

f 1(t)dt t

x

cost sint

dt，其中f 1是f的反函数，求f(x).

sint cost

（18）（本题满分11分） 设D

是位于曲线y

x

2a

(a 1,0 x )下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）

求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程y (x y ) y 满足初始条件y(1) y (1) 1的特解.

（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f (0) 1，函数y y(x)由方程

2

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