北方民族大学第7参赛队论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北方民族大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 车四方 2. 舒维佳 3. 杨光昊 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年9 月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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储油罐的变位识别与罐容表标定

摘 要

本文研究了卧式储油罐的变位识别与罐容表标定，主要通过微积分、空间解析几何、统计回归等理论知识建立了数学模型。运用SPSS、Matlab、Mathematica等数学软件对建立的模型进行求解，得出了比较满意的结果。

对于问题一,根据确定了储油量和纵向倾斜角是罐体变位后影响罐容表的两大主要因素，将建模分为储油罐的无位变化和有位变化两个阶段，运用SPSS对附件一中的数据分析得出油位高与储油量无论在两个阶段都呈线性变化。于是建立了二者之间的线性回归模型，并运用最小二乘法拟合曲线，对比有位变化和无位变化的图像得出了储油量对罐容表的影响，即随着储油量的增加，油位逐渐增高。又由于储油罐形状的限制，进一步分析并建立了空间几何模型。此时增加了纵向倾斜角对罐容表的影响，通过求解得出随着油量的增加或是纵向倾斜角的增大，油位高逐渐增大，而增长的速度先减慢然后逐渐增大，显然，这与实际非常吻合。对于油位间隔1cm的罐容表标定值，通过模型的求解和图像的拟合进行对比，得到了比较符合实际的结果。

对于问题二，在第一问的基础上增加了横向偏转这一条件，通过对空间几何图形的分析知，实际储油罐的体积可以看作是一个椭圆旋转体和一个圆柱体的体积之和，计算出储油罐纵向变位后油位的实际高度、油位的测量高度与倾斜角度之间的几何关系，以及横向偏转后二者油位高与横向偏转角之间的几何关系。引用储油罐中油量的计算公式，最终建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的空间几何数学模型。运用Mathematica软件对模型求解得出了比较符合实际的变位参数。最后利用附件二中的实际数据验证了该数学模型的正确性和方法的可靠性。

关键词：卧式储油罐；罐容表标定；空间解析几何；微积分；统计回归；最小

二乘法.

1

目录

一.问题的重述............................................................................................................... 3

1.1问题的背景....................................................................................................... 3 1.2问题的提出....................................................................................................... 3 二.问题的分析............................................................................................................... 3

2.1问题一的分析................................................................................................... 3 2.2问题二的分析................................................................................................... 3 三.符号说明................................................................................................................... 4 四．模型的假设............................................................................................................ 4

4.1问题一模型的假设........................................................................................... 4 4.2问题二模型的假设........................................................................................... 4 五.模型的建立与求解................................................................................................... 4

5.1问题一模型的建立........................................................................................... 4

5.1.1线性回归方程的建立............................................................................. 4 5.1.2微积分和空间几何模型的建立........................................................... 7 5.2问题一模型的求解........................................................................................... 9 5.3问题二模型的建立......................................................................................... 11

5.3.1模型的准备........................................................................................... 11

1. 问题的提出............................................................................................................. 11 2. 体积模型的形成..................................................................................................... 11

5.3.2问题二模型的建立............................................................................... 15 5.4问题二模型的求解......................................................................................... 17 六．模型的评价.......................................................................................................... 18

6.1优点................................................................................................................. 18 6.2缺点................................................................................................................. 18 七．模型的改进.......................................................................................................... 18 八．参考文献.............................................................................................................. 19 九．附录（见附件）.................................................................................................. 19

2

一.问题的重述

1.1问题的背景

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油 位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 1.2问题的提出

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为??4.1?的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二.问题的分析

2.1问题一的分析

要确定罐体变位后对罐容表的影响，关键是确定油位高与什么因素相关。而显然，无论有变位还是无变位情况下，都有油量越多，油位越高，但是随着油量的增加，油位先增高的较快，然后较慢，最后又增长较快直到储油罐被装满；在有变位且油量一定的情况下，纵向倾斜角?越大，油位越高。因此，可以得出油位高主要与油量和纵向倾斜角有关。于是我们分别从无位变化和有位变化两方面着手，根据微积分、空间几何、统计回归等知识建立数学模型。对于油位间隔1cm的罐容表，由附件1中有位变化进/油和无变位进/出油的数据，可以对数据进行拟合并得出图像，对图像对比分析即可得出结论。

2.2问题二的分析 由图1知，该储油罐的体积可以看作是一个圆柱体和一个椭圆旋转体的体积之和。而这个体积根据教材数学分析中微积分的应用可以求得，其中这个储油罐两边是对称的，把它平放时直接将两端拼在一起就成了椭圆旋转体。利用微积分的知识可以把储油罐的体积表示出来。又由图2，储油罐纵向变位，则变位后油位高以及油位的实际高度和纵向倾斜角之间能建立一定的关系。同理，由图3，储油罐发生横向偏转，此时的油位高和实际油位高以及横向偏角之间又能建立怎

3

样的关系。现在储油罐既发生纵向变位又发生横向变位，如果能建立此时油位高和变位角之间的关系，那么罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系自然就得到了。于是我们想到通过空间几何的知识建立数学模型。

三.符号说明

?表示储油罐纵向倾斜的角度; V满表示储油罐的总体积;

?表示储油罐横向旋转的角度; V(h)表油位高为h时油量的体积;

h1表示无变位时进/出油的油位的高度; h3表示纵向变位后油位高; ; h4表示横向变位后油位的高度;

h2表示有位变化时进/出油的油位的高度h5表示发生纵向和横向变位后的油位高度;

四．模型的假设

4.1问题一模型的假设

1.假设附件一中所给数据都真实可靠。 2.假设储油罐只发生了纵向倾斜，即??0。

3.假设进油和出油不相互干扰，即进油完了以后才允许车辆加油。

4.2问题二模型的假设

1.假设储油罐本身不发生形变，即它的体积可求。

2.假设储油罐内保持常温，即油量的体积不随温度的变化而变化。 3.假设附件二中所给的数据真实可靠。

五.模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立 5.1.1线性回归方程的建立

（1）无变位进油时，通过题中的数据用SPSS软件将罐内总油量（油量初值+累加进油量）和油位高度作散点图如图1.1，

4

图1.1.

显然，总油量与油位高成线性相关，其相关系数如表1所示，

由表2知，模型的拟合优度和调整后的拟合优度均为99.7%，非常高，而又由表1知，总油量的p=0.00<0.05，故总油量与油位高的回归方程为：

? h1?0.25x890.????????①991

方程①的拟合图像如图1.2所示，

图1.2.

5

（2）变位进油时，总油量与油位高度的散点图如图1.3，

图1.3.

显然由以上表3，表4知：变位后总进油量和油位高之间的拟合优度为100%，相关系数也能通过检验。故变位后总进油量和油位高之间的回归方程为：

? h2?0.23x9186.76????????②

方程②的拟合图像如图1.4所示，

图1.4.

（3）无变位出油时，经图像拟合知，无变位进油和无变位出油与油位高的关系相同，即， h3?h1???????????③

6

（4）变位出油时，经图像拟合知，变位进油和变位出油的相关关系相同，于是: h4?h2???????????④

虽然各种条件和图像都与一元线性回归方程吻合的很好，但是经过仔细的分析知：由于储油罐是椭圆柱体，油位的高与油量的变化显然较复杂，即油位与油量的变化不能简单的看作线性关系。于是进一步分析建立以下模型来讨论罐体变位后对罐容表的影响。

5.1.2微积分和空间几何模型的建立 （1）无变位时

由于储油罐是椭圆柱体，可将油位随油量的变化分为三个阶段：

?第一阶段：油位到达储油罐中点以下附近前??第二阶段：油位从中点以下到中点以上这一对称区域?第三阶段：第一阶段的对称区域?

图1.5.

显然，由图1.5知，第一阶段油位的变化随油量的增加而增加，但是其变化率?逐渐减小，这与因为储油罐的形状变化一致，即与实际相符合。

显然，由图1.6知，第三阶段油位的变化随油量的增加而增加，而其变化率?刚好与第一阶段相反（即增大），这也与实际吻合。

7

图1.6.

（2）有变位时

由图中几何关系可知，

h?[('油位探注油口 出油油浮子 1.2m 1.2m 油 α 水平线

0.4m 2.05m1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图

(b) 小椭圆油罐截面示意

图1.7小椭圆型油罐形状及尺寸示意

2.452?0.4)?10?tan??h]/cos??[825tan??h]/cos?（5.1.1.1）

3其中h是无变位时的油位高，h'是变位后的油位高。

V1?abL[(h?b)h(2b?h)?barcsin(2hb?1)?12?b]2【1】 （5.1.1.2）

其中v1表示小椭圆柱体储油罐在某一液面高度下的油量体积，a,b分别

表示小椭圆的长半轴和短半轴，h是无变位时的油位高。L表示椭圆的长

度。

由（5.1.1.1）和（5.1.1.2）两式有

v1?

ab[L(?hc?o's??8'b2?5ht?a?n'?)b (?h?co?s?barcsin(2hcos??825tan?b'?1)?12?b2]???????(5.1.1.3) 8

小椭圆方程：

x22890?y22600?1????????????????(5.1.1.4)

5.2问题一模型的求解

首先利用Matlab编程（程序详见附件）对附件一中的数据用最小二乘法拟合得出图1.8，图1.9，图1.10，图1.11，图1.12，图1.13。

再根据以上几式及图1.8得：

a?890mm，b?600mm，L?(2.05?0.4)m?2450mm，??4.1?，

将a,b,L带入式（5.1.1.3）中运用Mathematica求解得， 变位后油位的变化如表6所示：

表5.无变位时累计进油和油位高度的关系

?累加进油量

/L 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 累加进油量

/L 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

油位高度/mm 159.02 176.14 192.59 208.50 223.93 238.97 253.66 268.04 282.16 296.03 油位高度/mm 159.07914 176.19914 192.64914 208.55914 223.98914 239.02914 253.71914 268.09914 282.21914 296.08914

累加进油量

/L 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 累加进油量

/L 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

油位高度/mm 309.69 323.15 336.44 349.57 362.56 375.42 388.16 400.79 413.32 425.76 油位高度/mm 309.74914 323.20914 336.49914 349.62914 362.61914 375.47914 388.21914 400.84914 413.37914 425.81914

累加进油量

/L 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 累加进油量

/L 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500

油位高度/mm 438.12 450.40 462.62 474.78 486.89 498.95 510.97 522.95 534.90 546.82 油位高度/mm 438.17914 450.45914 462.67914 474.83914 486.94914 499.00914 511.02914 523.00914 534.95914 546.87914

表6.变位后累计进油与油位高的变化

通过图1.8~1.13以及表5和表6比较知，油量一定的情况下，变位后油位普遍比无变位的油位高。即变位后罐容表的变化主要通过油位来体现，且变位后罐容表的变化还与变位的角度?有关。当油量一定时，?越大，测得的油位会越高；相当于数读大了，然而实际油量确少了。通过空间几何的知识，已经建立了无变位和有变位的油位之间的关系。总之，罐体变位后对罐容表的影响为，随着油量

9

的增加或是纵向倾斜角的增大，油位高逐渐增大，但是增长的速度先慢直至为零再逐渐增大。

通过最小二乘法拟合纵向倾斜角??4.1?时进/出油的变化图像如图1.14示，由图像可以看出进油和出油几乎重合且成线性关系。于是根据此图像可以得到变位后的每隔1cm的罐容表，

图1.14.

罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值为41.853L. 表7. 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表 油位高度/mm 油位高度/mm 889.994 931.847 973.7 1015.553 1057.406 1099.259 1141.112 1182.965 1224.818 1266.671 1308.524 1350.377 1392.23 1434.083 1475.936 1517.789 1559.642 1601.495 1643.348 1685.201 累加进油量/L 油位高度/mm 1727.054 1768.907 1810.76 1852.613 1894.466 1936.319 1978.172 2020.025 2061.878 2103.731 2145.584 2187.437 2229.29 2271.143 2312.996 2354.849 2396.702 2438.555 2480.408 2522.261 10

累加进油量/L 油位高度/mm 2564.114 2605.967 2647.82 2689.673 2731.526 2773.379 2815.232 2857.085 2898.938 2940.791 2982.644 3024.497 3066.35 3108.203 3150.056 3191.909 3233.762 3275.615 3317.468 3359.321 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590

600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990

5.3问题二模型的建立

5.3.1模型的准备

卧式加油灌剩余油料体积的计算【2】

1. 问题的提出

随着社会经济的发展，汽车逐渐普及，路边上加油站的数目也不断增加。一般加油站都使用卧式油罐（如图2.1）存储油料。从图上可以看到，这种卧式油罐是由一个圆柱（如图2.1，记长为L，半径为２R）和两个相同的球缺（如图2.1，球缺半径r，截球缺的大圆的直径是2R，显然r>R）焊接而成的。现在的一个问题是，如何计算油罐中所剩油料的体积。这个问题在加油站管理中有很重要的意义。

图2.１ 卧式油罐

经典的方法是：通过长度测量工具在油罐上部的开口处向下测量油罐中油料的垂直高度h（如图2.2），然后查表得到体积。本文现在所要做的正是这个表格的建立。现在问题的困难在于，虽然我们可以测量得到参数R的值，但是不知道油罐的其他两个参数，也就是图2.2中的r和L。

图2.2 体积的测量

2. 体积模型的形成

本章在假设已知参数R,r和L的条件下，推导储油罐剩余油料高度为时体积的计算公式。 h(0?h?2R)为了计算简单，先计算如图2.3所示灰色部分的体积。

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图2.３ 体积计算的模型

分两部分：

（1）计算中间圆柱体部分所剩余油料的体积V1。这部分相当于圆柱体的一部分。

图2.4 圆柱部分油料剩余体积的计算

显然， V1?L?S截面 只需要计算截面面积S截面。利用微积分，

dS2截面?2R?h2dh 计算定积分

22 S22222hR?h截面=?h0R?hdh?hR?h?RArcTan[h2?R2] 所以，

22 V222hR?h1(h)?L?S截面=LhR?h?LRArcTan[h2?R2] （２）计算两端球缺部分所剩余油料的体积V2,

图2.5 球缺部分油料剩余体积的计算

由于左右是对称的，所以我们只需要计算其中一个。

12

2） 3）

4）

5）

（ （ （ （

同前面一样的思路，先计算水平截面的面积S水平(h)，然后在垂直方向上对积分h

hV2??S0水平(h)dh （6）

（3）下面求S水平(h)：

如图2.6，球的水平截面是一个圆，半径rh?r2?h2，

图2.6 水平截面的半径

如图2.7，S水平(h)就是阴影部分的面积。

图2.7 水平截面的面积

rh显然， S水平(h)?计算得，

?r?H2rh?sds?221nr?h22?r?H2r?h?sds222 （7）

S水平(h)?(H?h)2Hr?h?H22?12?(r?h)?(h?r)ArcTan(2222r?H2Hr?h?H22)

(8)

从而，

13

hV2(h)?h?S0水平(h)dh122??[(H?h)2Hr?h?H022??(r?h)?(h?r)ArcTan(22222r?H2Hr?h?H22)]dh???hr232??h623?2Hh2Hr?h?H33?h2hr2Hr?h?H3222

r?H2Hr?h?H22H?3Hr?2r32r33ArcTan(h(r?H)2Hr?h?H222)?h?3hr332ArcTan()?ArcTan()r2Hr?h?H（9）

于是，得到了图2.3所示部分的体积计算公式

V(h)?V1(h)?2V2(h)

另外，参数H并不是独立的。事实上，如图2.8可以看出，它可以由r和R计算得到。

图2.8 H的计算

利用勾股定理， (r?H)2?R2?r2 （10） 则可以计算得到：H?r?r2?R2 （11） 将式（11）代入V(h)?V1(h)?2V2(h)得

V(h)?V1(h)?2V2(h)??hr??(LR?2322?h3233?hLR?h?22222243hr?R22R?hh)22r?R(2r?R))ArcTan(r?RR?h2222 （12）

222R?h222?(h?3hr)ArcTan(3)?43rArcTan(3hr?RrR?h2) 14

（1）R?h?2R的情况 （2）0?h?R的情况

图2.9 剩余油料的体积公式

下面根据图2.3中阴影部分的体积V(h)来导出储油罐中体积和高度的关系式 （如图2.9所示，分两种情况）：

?V满?V(h?R),h?R??2V(h)?? （13）

V?满?V(R?h),h?R??2其中，V满表示储油罐的体积。根据圆柱体和球缺的体积计算公式，

2?H(3r?H)3(r?r?R)(2r?2222V满??RL???RL?222?3 （14）

r?R)22于是，得到了卧式储油罐所剩油体积和油面高度的关系表达式V(h)。V(h)含有两个参数：圆柱体半径R，圆柱体的长度L和球缺的半径r，并且r?R?0 其中参数R可以直接测量得到。 5.3.2问题二模型的建立

由题目中第二个图可知：

纵向变位后有：h3?h0?cos?（其中h3表示纵向变位后油位高，h0表示附件

二中显示的油位高度） （5.3.2.1）

由图2.10及空间几何知识可知:

横向变位后有：h4?h0?cos?(h4表示横向变位后油位的高度) （5.3.2.2）

15

地平线 油位探测装置 油位探针 地平线 油位探针 油 油 β 3m （a）无偏转倾斜的正截

地平线垂直线 （b）横向偏转倾斜后正截

图2.10储油罐截

表示发生纵向和横向变位

如果横向和纵向都有变位则有：h5?h0cos?cos?(h5后的油位高度) （5.3.2.3）

????h?h?2000tan??5?cos??cos?cos?? (5.3.2.4) ?h0cos?cos??h?2000tan??cos?cos??tan??200022?1?cos?cos??cos?cos??hcos?cos??h?200022?01?cos?cos??

V满??RL?2222?H(3r?H)322??RL?22?3(r?r?R)(2r?222r?R)（5.3.2.5）

22r?R?（r?H)

(5.3.2.6)

其中V满表示储油罐的总体积（此公式根据5.3.1得出来的），且H?1m，R?1.5m

L?8m，r?1.625m.将这些数据代入式（5.3.2.5）中得到：

7.75?3?20.583?m3V满?18?? （5.3.2.7）

?V满?V(h?R),h?R??2V(h)?? （5.3.2.8）

V?满?V(R?h),h?R??2 16

V(h)?V1(h)?2V2(h)??hr??(LR?2322?h3233?hLR?h?22222243hr?R22R?hh)22r?R(2r?R))ArcTan(r?RR?h2222 (5.3.2.9)

222R?h222?(h?3hr)ArcTan(3)?43rArcTan(3hr?RrR?h2)5.4问题二模型的求解

根据（5.3）中的各式得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系为：

V满?V满cos?cos??V(h?R)??V(2000?h0cos?cos??R),h?R?2221?cos?cos??2 V(h)??cos?cos??V满?V(R?h)?V(R?2000?h0cos?cos?),h?R22?21?cos?cos??运用Mathematica软件及附件二中的数据求解得： ??(2.8?,4?.，5??(0.3?,0.6?)

根据题目的图中的数据以及附件二中的数据对油量和变为参数等进行拟合

得图2.11.

图2.11.

由图2.11知，油量与油位呈线性关系，故可得罐容表如下表： 油位高度(mm) 油量容积(L) 476.40 576.40 676.40 776.40 876.40 976.40 8776.944 11281.628 13786.262 16290.896 18795.530 21300.164 油位高度(mm) 油量容积(L) 油位高度(mm) 1076.40 1176.40 1276.40 1376.40 1476.40 1576.40 23804.798 26309.432 28814.066 31318.700 33823.334 36327.968 1676.40 1776.40 1876.40 1976.40 2076.40 2176.40 油量容积(L) 38832.602 41337.236 43841.870 46346.504 48851.138 51355.772 17

六．模型的评价

6.1优点

1.建立了简单易懂的模型并得出了较为合理的解。

2.本文深入浅出，层层递进，第二问紧扣第一问，使得问题得以简化。

3．文章通过图像曲线的拟合，对问题进行对比分析得出结论，是一种简单而

实用的办法。

6.2缺点

1.本文说理性文字较少，图形过多，使得文章过于单一化。

2.本文在处理储油罐的变为识别时没有给出具体的方法，只注重了表面的说

理。

3.本文在处理数据时过于人为化，可能造成结果与实际情况产生较大偏差。

七．模型的改进

第一问中，要求确定出油位高间隔1cm时的罐容表的标定值，但是我们只通过拟合得到一个标定值，应该确定成一个表或是一个范围。于是可以从实际情况出发，根据采集数据时间等条件建立微分方程模型。第二问中，可以考虑建立不规则体积求解的微积分模型，这样与实际情况可能会更接近。通过对题中的数据分析，除了建立回归模型外，可以考虑建立图论等模型进一步对问题深入的理解。

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八．参考文献

【1】管冀年，赵海.卧式储油罐内油品体积的使用方法.http://www.cnki.net.

【2】王郑耀. 卧式加油灌剩余油料体积的计算. http://wangzhengyao.xiloo.com .

【3】黄永安，李文成，高小科.Matlab7.0/Simulink6.0应用实例仿真与高效算法

开发[M].北京：清华大学出版社.2008.6

【4】裘宗燕，李琦，李建国.科学程序设计引论—用Mathenatica和C求解计算

问题[M].北京：高等教育出版社,2001.7.

九．附录（见附件）

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八．参考文献

【1】管冀年，赵海.卧式储油罐内油品体积的使用方法.http://www.cnki.net.

【2】王郑耀. 卧式加油灌剩余油料体积的计算. http://wangzhengyao.xiloo.com .

【3】黄永安，李文成，高小科.Matlab7.0/Simulink6.0应用实例仿真与高效算法

开发[M].北京：清华大学出版社.2008.6

【4】裘宗燕，李琦，李建国.科学程序设计引论—用Mathenatica和C求解计算

问题[M].北京：高等教育出版社,2001.7.

九．附录（见附件）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/duia.html