2018年高考数学（文）二轮复习 专题突破讲义：专题四 数列、推理与证明专题四 第4讲

第4讲 推理与证明

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．

2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．

热点一 归纳推理

1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 例1 (1)(2017·日照市模拟)给出下列等式： π2＝2cos ，

4π

2＋2＝2cos ，

82＋2＋2＝2cos ?，

请从中归纳出第n(n∈N*)个等式：2＋2＋?＋2＝________.

答案 2cos

n＋1

π， 16

n个根号

π

2

1π

解析 因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足n＋1，所以

22π

2＋?2＋2＝2cosn＋1.

2

(2)(2017届云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵： 1 11 35

111 79111111 13151719

按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为____________． 答案

1 243

15?15＋1?11

解析 前15行共有＝120?所求为a122＝＝.

22×122－1243

思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

跟踪演练1 (1)(2017·贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式： 3

1·2<，

21·2＋2·3<4， 151·2＋2·3＋3·4<，

21·2＋2·3＋3·4＋4·5<12， ?，

照此规律，第n个不等式为________________________． 答案

n?n＋2?

1·2＋2·3＋3·4＋?＋n?n＋1?< 2

n?n＋2?

解析 由归纳推理可得，第n个不等式为1·2＋2·3＋3·4＋?＋n?n＋1?<. 2(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．

答案 503

503 603

解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，?，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖

503

上的概率是. 603热点二 类比推理

1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 2．类比推理的思维过程如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

1例2 (1)已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r；

2四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为( ) 1

A．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R

21

B．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R

31

C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R

4D．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R 答案 B

解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面1

体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．故选B.

3

x2y2

(2)若点P0(x0，y0)在椭圆2＋2＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，

abx0xy0yx2y2

P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为2＋2＝1.那么对于双曲线2－2＝1(a>0，b>0)，类似

abab地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________． 答案

x0xy0y

－＝1 a2b2x1xy1y

－＝1，a2b2解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为

x2xy2yx1x0y1y0x2x0y2y0y0)在这两条切线上，所以2－2＝1，2－2＝1，这说明P1(x1，2－2＝1.因为P0(x0，abababx0xy0yx0xy0y

y1)，P2(x2，y2)都在直线2－2＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为2－2＝1.

abab思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才

能有方法上的类比．

跟踪演练2 (1)(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，S△PABPA·PB点B，D为射线PN上的两点，则有＝；空间中，点A，C为射线PM上的两点，

PDS△PCDPC·VP－ABE

点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________.

VP－CDF

答案

PA·PB·PE

PC·PD·PF

VP－ABEVE－PABS△PABPE·sin θPA·PBsin∠BPA·PEPA·PB·PE

＝＝＝＝ (其中

PD·PFVP－CDFVF－PCDS△PCDPF·sin θPC·PDsin∠DPC·PFPC·

解析 由题设可得

θ是射线PL与平面PAB所成的角)．

ex－exex＋ex

(2)已知双曲正弦函数sh x＝和双曲余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余22

－

－

弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________________________． 答案 ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y(答案不唯一) 解析 ch xch y－sh xsh y

ex＋exey＋eyex－exey－ey

＝·－· 2222

－

－

－

－

1＋－－＋－－＋－－＋－－

＝(exy＋exy＋exy＋exy－exy＋exy＋exy－exy) 41－－－

＝(2exy＋2e(xy)) 4exy＋e＝

2

－

－?x－y?

＝ch(x－y)，

同理可得ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y， sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y， sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y. 热点三 直接证明和间接证明

直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．

例3 已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn?1?bn?2n，求证：bn·bn＋2

所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． 故an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)证明 由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n. bn＝(bn－bn－1)＋?＋(b2－b1)＋b1 ＝2

n－1

a＋2

n－2

1－2nn

＋?＋2＋1＝＝2－1 (n≥2)．

1－2

又b1＝1＝21－1，所以bn＝2n－1 (n∈N*)．

nn2

因为bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2

＋

＋

＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)

＋

＋

＋

＋

＝－2n<0， 所以bn·bn＋2

思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．

跟踪演练3 (1)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

113求证：＋＝；

a＋bb＋ca＋b＋c

x－2

(2)已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负根．

x＋1113

证明 (1)要证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c即证＋＝3，

a＋bb＋cca也就是＋＝1，

a＋bb＋c

只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立．

(2)假设x0是f(x)＝0的负根， 则x0<0，且x0≠－1，ax0x0??x0?2, x0?1所以0?a?1?0??x0?2?1, x0?11

解得

2

真题体验

1．(2017·全国Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是____________． 答案 乙、丁

解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 2．(2016·山东)观察下列等式：

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＝4×1×2；

3??3??3

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?sin 4π?－2＝4×2×3； 5?5?5??5????3?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?＋?sin 6π?－2＝4×3×4； 7?7?7??7????3?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?＋?sin 8π?－2＝4×4×5； 9?9?9??9????3

?

π－2π－3π－2nπ－

照此规律，?sin 2n＋1?2＋?sin 2n＋1?2＋?sin 2n＋1?2＋?＋?sin 2n＋1?2＝__________.

????????

4

答案 ×n×(n＋1)

3

4

解析 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.

33．(2017·北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数；

(2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； ②该小组人数的最小值为________． 答案 6 12

解析 (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.

(2)设男学生人数为x(x∈N*)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)＞x，解得x＞4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12. 押题预测

1．将正整数作如下分组：

(1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)，

?

分别计算各组包含的正整数的和如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175， ?，

试猜测S1＋S3＋S5＋?＋S2 015＝________.

押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力． 答案 1 0084

解析 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14； 当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；

当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44； ??，

猜想：S1＋S3＋S5＋?＋S2n－1＝n4. ∴S1＋S3＋S5＋?＋S2 015＝1 0084.

1427

2．已知下列不等式：x＋≥2，x＋2≥3，x＋3≥4，?，其中x>0，则第n个不等式为

xxx________________．

押题依据 根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大． nn

答案 x＋n≥n＋1

x

解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n＝1时，为1427

；当n＝2时，为2；当n＝3时，为3；?? xxx

显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn， nn所以不等式左边的式子为x＋n，

x显然不等式右边的式子为n＋1， nn

所以第n个不等式为x＋n≥n＋1.

x

3．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列． 押题依据 反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法．

22

证明 假设{Sn}是等比数列，则S2a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以2＝S1S3，即a1(1＋q)＝a1·

(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾， 故{Sn}不是等比数列．

A组 专题通关

1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是( )

A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1,1]

B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿

C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此

D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的

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