2015年高考数列综合题精选

1

高考数列大题理科专题

(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b

满足：1n a n *+∈N ．

1.设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2

n

n b a ???????? ???????

是等差数列；

2.

设1n

n n

b b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解：（1

）∵()2

2

2222

1111n

*n n n

n n n n n n n

a b

b b b a b b n N a a a a ++??

+

????????? ?-=-=-=∈ ? ? ? ? ???????????

? ?

??

+ （2）∵0n a >，0n b >

∴()()2

2

222n n

n n n n a b a b a b +≤+<+

∴11n a +<≤

∵{}n a 是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q ，则0q > ①当1q >时， ∵0n a >

∴数列{}n a

是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得1n a +>②当01q <<时 ∵0n a >

∴数列{}n a 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得11n a +< 由①②得：1q = ∴()1*n a a n N =∈

∵

1

1

n

a

+

<≤

得：

1

a=

1

1a

<

∴

1

n

b=

∵*

1

1

n

n n

n

b

b n N

a a

+

=∈

，

∴数列{}n b

是公比为

1

a

的等比数列

∵

1

1a

<≤

∴

1

1

a

≥

①

当

1

1

a

>时

数列{}n b

是单调递增的数列，这与

1

n

b=

②

当

1

1

a

=时

数列{}n b是常数数列，符合题意

∴

1

a

∴

n

b=

∴

1

b

（2010江苏）19.（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为n S，已知3

1

2

2a

a

a+

=，数列{}n S是公差为d的等差数列.

（1）求数列{}n a的通项公式（用d

n,表示）

2

3 （2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求

证：c 的最大值为2

9.

（2011高考）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==

1.求数列{}n a 的通项公式.

2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??????

的前项和.

解：

（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219

q =。有条件可知a>0,故13

q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113

a =。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n

b a a a =+++

(12...)

(1)2

n n n =-++++=- 故12112()(1)1

n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311

n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n

b 的前n 项和为21n n -+ （辽宁理17）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10

（I ）求数列{an}的通项公式；

（II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和．

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=??+=-?

4 解得11,1.a d =??=-?

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{

}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a

a S a S -=+++=故， 12

.2242n n n S a a a =+++

所以，当1n >时，

1211111222211121()

2422121(1)22n n n n n n

n n n n S a a a

a a a n

n

------=+++--=-+++--=---

.2n n

所以1.2n n n

S -=

综上，数列11{}.22n

n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 （天津理20）

已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n

n n n n n n b a a b a b ++++-++==，

*n ∈N ，且 122,4a a ==．

（Ⅰ）求345,,a a a 的值；

（Ⅱ）设*

2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；

（I ）解：由*

3(1),,2n

n b n N +-=∈

可得1,n n b ?=?

?为奇数

2,n 为偶数

5 又1120,n n n n n b a a b a +++++=

123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a （II ）证明：对任意*,n N ∈

2122120,n n n a a a -+++= ①

2212220,n n n a a a ++++= ②

21222320,n n n a a a +++++= ③

②—③，得 223.n n a a += ④

将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈

又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此1

1,{}

n n n c c c +=-所以是等比数列.

3.（17）（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足21

112,32n n n a a a -+=-=

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

（17）解：

（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++++

2(1)12n +-=。

而 12,a =

所以数列{n a }的通项公式为21

2n n a -=。

6 （Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?+

+? ①

从而 23572121222322n n S n +?=?+?+?+

+? ② ①-②得

2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。

即 211[(31)22]9

n n S n +=-+ 17．（本小题满分12分）

已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+2=3a n+1-2a n （n ∈N +）

（1）证明：数列{a n+1-a n }是等比数列；

（2）求数列{a n }的通项公式

（1）证明：2132,n n n a a a ++=-

21112*2112(),

1,3,

2().n n n n n n n n a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-

{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

（2）解：由（1）得*12(),n n n a a n N +-=∈

112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ 12*22 (21)

21().n n n n N --=++++=-∈

17．（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．

（1）证明数列{}n a n -是等比数列；

（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求n n S S 41-+的最大值。

17.证明：（Ⅰ）由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ． 又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的

前n 项和41(1)32

n n n n S -+=+．

7 1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++??-++-+-=+-+ ???

= )43(21

2-+-n n 故n=1，最大0. .(2011·东莞期末)(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的各项满足：k a 311-=)(R k ∈，1143n n n a a --=-.

(1) 判断数列}74{n

n a -是否成等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式； 解：（1）n n n n n n n a a a 473

37434741

1

1?+-=--=-+++ )74(3n

n a --=， k k a 373

7431741-=--=-． 当1

7k =时，0741=-a ，则数列}74{n

n a -不是等比数列； 当1

7k ≠时，0741≠-a ，则数列}74{n

n a -是公比为3-的等比数列．

（2）由（1）可知当1

7k ≠时，1)3()373

(74--?-=-n n

n k a ， 74)3()373(1n

n n k a +-?-=-．

当17k =时，74n

n a =，也符合上式，

所以，数列{}n a 的通项公式为74)3()373(1n

n

n k a +-?-=-．

(2011·佛山一检)（本题满分14分）

已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n

n n a b =的前n 项和为n T ，求n T .

解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2 又∵12a ，2a ，31a +成等比数列， ∴2

2132(1)a a a =?+，即2

2222()(a a d a =-?

+，

8 --------------------------------4分

解得，3d =或4d =-（舍去），

∴121a a d =-=，故32n a n =-； ---------------------------------------7分

（Ⅱ）法1：321(32)333

n n n n n a n b n -===-?， ∴231111147(32)3333

n n T n =?+?+?++-?， ① ①13?得，2341111111147(35)(32)333333

n n n T n n +=?+?+?++-?+-? ② ①-②得，234121*********(32)3333333

n n n T n +=+?+?+?++?--? 2111111(1)115111333(32)(32)133623313

n n n n n n -+-+-=+?--?=-?--?- ∴

2511321565144323443

n n n n n n T --+=-?-?=-?． ---------------------------------------14分

法2：1321123333n n n n n n

a n

b n --===?-?， 设231111112343333

n n A n -=+?+?+?++?， ① 则234111111234333333

n n A n =+?+?+?++?， ② ①-②得，2312111111333333

n n n A n -=+++++-? 1113313()1322313

n n n n -=-?=-+?- ∴9931()4423

n n A n =-+?， ∴11(1)9931156513

32()(1)14423344313

n n n n n n n T A n ?-+=-?=-+?--=-?-． 9.（2011·三明三校一月联考）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，111==b a ，1073=+a a ， 3b ＝4a

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式

9 （2）若n n n b a c ?=，求数列{}n c 的前n 项和n T .

解（1）依题意， {}n a 为等差数列，设其公差为d ； {}n b 为正项等比数列，设其公比为q ，则可知0>q

∵ 1073=+a a ∴可知2105=a ,即55=a

又11=a ∴ 4415==-d a a ，解得1=d

故 n d n a a n =-+=)1(1…………………………………………………………………3分 由已知3b ＝4a ＝4, ∴ 41

32==

b b q ，即2=q ∴ 1112--==n n n q b b

所以 n a n =， 12-=n n b ………………………………………………………………6分

（2）∵ n n n b a c ?=＝12-?n n

∴ n T ＝12102232221-?++?+?+?n n

∴ n T 2 ＝ n n n n 22)1(2322211321?+?-++?+?+?- 以上两式相减，得－n T ＝n n n 222221210?-++++- ………………………9分

＝n n n 221)21(1?---?＝12)1(-?-n n ∴ n T ＝12)1(+?-n n ………………………………………………………………12分

10.(2011·杭州一检)（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且

34-=n n a S (1,2,n =，

（1）证明:数列{}n a 是等比数列；

（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，

所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=． 5分

10

由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为

43

的等比数列． 7分 （2）解：因为14()3n n a -=，

由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114()3n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

＝1)34(33

1)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3

4(31-=-n n b ． （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）

在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +Cn （c 是常数，n=1,2,3…）,且a 1, a 2,a 3,成公比不为1的等比数列.

（Ⅰ）求c 的值；

（Ⅱ）求{a n }的通项公式.

解：（1）a 1=2,a 2=2+c,a 3=2+3c,（1分）

因为a 1,a 2,a 3成等比数列，

所以（2+c ）2=2(2+3c),

解得c=0或c=2.

当c=0时，a 1=a 2=a 3，不符合题意舍去

故c=2.

（2）当n ≥2时，由于

a 2 – a 1 =c ，

a 3 – a 2 =2c ，

a n – a n-1=（n-1）c,

所以a n –a 1 =［1+2+…+（n-1）］c=(1).2

n n c - 又a 1=2，c=2，故a n =2+n(n -1)= n 2- n +2(n =2,3,…). 当n=1时，上式也成立，

所以a n = n 2- n +2(n =1,2,…).

（2011·温州十校期末联考）（本题满分14分）已知等差数列{}n a 满足前2项的和为5，前

11 6项的和为3.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设)(,2)4(*∈?-=N n a b n n n ，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

解： (1)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d,则?????=?+=

?+3

25665

212211

d a d a ————2分

?

??-==13

1d a 解得 ———4分 n d n a a n -=-+=∴4)1(1 ————6分 （2）)(,22)4(*∈?=?-=N n n a b n n

n n ————7分

2222121n n n S ?++?+?= ① 13222)1(2221 2+?+?-++?+?=n n n n n S ② ①-②，得1212222+

?-++=-n n n n S —11分 1221)

21(2+?---=n n n —13分

22)1(1+?-=∴+n n n S -------------14分

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