第一章习题解答

1.1 计算下列数值： （a) 7503 mod 81 (b) (-7503) mod 81 (c) 81 mod 7503 (d) (-81) mod 7503\\

解: (a) 7503mod81?51 (b)(?7503)mod81?30 (c)81mod7503?81 (d)(?81)mod7503?7402

1.3 证明 a mod m =b mod m 当且仅当 a?b(modm)。

证：充分性:

设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2

∵0<=r1,r2

设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r,a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b), 故a≡b(mod m)。

1.5 使用穷尽密钥搜索方法破译如下利用移位密码加密的密文 BEEAK FYDJX UQYHY JIQRY HTYJI QFBQD UYJII KFUHC QD 解：依次试验所有可能的解密密钥d0,d1,?，可得如下不同的字母串： beeakfydjxuqyhyjiqryhtyjiqfbqduyjiikfuhcqd

addzjexciwtpxgxihpqxgsxihpeapctxihhjetqbpc zccyidwbhvsowfwhgopwfrwhgodzobswhggidsfaob ybbxhcvagurnvevgfnoveqvgfncynarvgffhcrezna xaawgbuzftqmudufemnudpufembxmzqufeegbqdymz wzzvfatyespltctedlmtcotedlawlypteddfapcxly vyyuezsxdroksbsdcklsbnsdckzvkxosdccezobwkx

uxxtdyrwcqnjrarcbjkramrcbjyujwnrcbbdynavjw twwscxqvbpmiqzqbaijqzlqbaixtivmqbaacxmzuiv svvrbwpuaolhpypazhipykpazhwshulpazzbwlythu ruuqavotznkgoxozyghoxjozygvrgtkozyyavkxsgt qttpzunsymjfnwnyxfghwinyxfuqfsjnyxxzujwrfs pssoytmrxliemvmxwefmvhmxwetperimxwwytivqer

orrnxslqwkhdlulwvdeluglwvdsodqhlwvvxshupdq nqqmwrkpvjqcktkvucdktfkvucrncpgkvuuwrgtocp mpplvqjouifbjsjutbcjsejutbqmbofjuttvqfsnbo lookupintheairitsabirditsaplaneitssuperman 至此，已可以得出有意义的明文“ look up in the air its a bird its a plane its superman”，得出相应的密钥K=16。

1.8 找出下列定义在?m上的所有可逆元， m=28 ，33 和 35。 解：在?28的情形下，可以找到与28互素的乘法的逆： 1-1=1 3-1=19 5-1=17 9-1=15 11-1=23 13-1=13

-1-1 15=15 27=27

在?33的情形下，可以找到与33互素的乘法的逆： 1=1 2=17 4=25 -1-1-15=20 7=19 8=29 -1-1-110=10 13=28 14=26 -1-1-116=31 23=23 32=32

在?35的情形下，可以找到与35互素的乘法的逆： 1=1 2=18 3=12 -1-1-14=9 6=6 8=22 -1-1-111=16 13=27 17=33 -1-1-119=24 23=32 26=31 -1-129=29 34=34

1.15 求出些列定义在?26上的矩阵的逆：

-1-1-1-1-1-1?1??25? 4(a)?? (b)?95?17???解：(a) det?1112??232? 159???25?（2?5-9?5）mod26=(10-45)mod26=17 ?=

?95??5-5?17mod26=23，相应的伴随矩阵??，由推论1.4可求得，其逆矩阵为：

-92??-1?25??1115???=?? 59120????

?1(b)

?1?det 4??17?1112??232?=159??mod26 1?23?9?11?2?17?12?4?15?（1?2?15+11?4?9+12?23?17）=(-3817)mod26=5

5-1mod26=21，相应伴随矩阵为

?2136???241320?? ?7165???由推论1.4可求得，其逆矩阵为：

?251122???10134?? ?17241????，8?上的置换： 1.16 (a)设下列的?是集合?1,2，x ?(x) 求出逆置换?1 4 ?12 1 。

3 6 4 2 5 7 6 3 7 8 8 5 (b) 解密下列使用置换密码加密的密文，密钥是(a)中的置换? TGEEMNELNNTDROEOAAHDOETCSHAEIRLM 解：(a) 逆置换??1：

1 2 2 4 3 6 4 1 5 8 6 3 7 5 8 7 x ??1(x) (b)

首先将密文字母分为每八个一组：

TGEEMNEL | NNTDROEO | AAHDOETC | SHAEIRLM

对每组的六个字母使用解密变换??1，则可得：

gentleme | ndontre | adeachot | hersmail

最后得到的明文如下 gentlemen do not read each others mail 1.21 (a)代换密码

EMGLOSUDCGDNCUSWYSFHNSFCYKDPUMLWGYICOXYSIPJCKQPKUGKMGOLICGINCGACKSNISACYKZSCKXECJCKSHYSXCGOIDPKZCNKSHICGIWYGKKGKGOLDSILKGOIUSIGLEDSPWZUGFZCCNDGYYSFUSZCNXEOJNCGYEOWEUPXEZGACGNFGLKNSACIGOIYCKXCJUCIUZCFZCCNDGYYSFEUEKUZCSOCFZCCNCIACZEJNCSHFZEJZEGMXCYHCJUMGKUCY 提示：F解密为w

解：这条密文的频数分析表如下：

字母 A B C D E F G H I J K L M 频数 5 0 37 8 12 9 24 5 15 7 8 7 5 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 频数 13 10 6 1 0 20 0 14 0 5 7 15 13 因为C出现的次数远高于任何其他字母，所以我们可以猜测dk(Z)=e，

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