近世代数ch2(1-6节)习题参考答案

第二章前6节习题解答 P35 §1

1．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？

解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。 2．举出一个有两个元的群例子。

解 {1，?1}对于普通乘法构成一个群。 {[0]，[1]}对于运算[i]?[j]?[i?j]构成群。 {[1]，[2]}对于运算[i][j]?[ij]构成群。

它们都是两个元的群。

3. 设G是一个非空集合，“?”是一个运算。若①“?”运算封闭；②结合律成立；③G中存在

?1?1右单位元eR：?a?G，有aeR?a；④?a?G，?aR?G，有aaR?eR。则G是一个群。

证(仿照群第二定义的证明)

?1?1先证aaR?aRa?eR。

?1?1∵aR?G，∴?a'?G，使aRa'?eR，

?1?1?1?1?1?1?1?1?1∴aRa?(aRa)eR?(aRa)(aRa')?aR(aaR)a'?aReRa'?aRa'?eR，?aRa?eR。

?1?1∴aaR?aRa?eR。

再证eRa?aeR?a，即eR是单位元。

?1?1?1?1?a?G，已证aaR?aRa?eR，∴eRa?(aaR)a?a(aRa)?aeR?a?eRa?a。

?1?1?1∴eRa?aeR?a。即eR就是单位元e。再由aaR就是a?1。 ?aRa?e得到aR这说明：G中有单位元， ?a?G都有逆元a?1。 ∴G是一个群。

P38 §2

1. 若群G的每一个元都适合方程x2?e，那么G是可交换的。 证∵ ?x?G，x2?e?x?x?1。 ∴?a,b?G?a?a?1,b?b?1。 ∴ab?a?1b?1?(ba)?1?ba。

∴ab?ba，即G是可换群。

2．在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。

证 令a是有限群G中一个阶?2的元，∵互逆元是同阶的，∴a?1的阶也大于2，且a?1?a (若a?1?a?a2?e,与a的阶?2矛盾)。

设G中还有阶?2的元b，且b?a,b?a?1，∴b?1的阶也大于2，且b?1?b。

1

我们还可以得出b?1?a，b?1?a?1。

这是因为若b?1?a?b?a?1，矛盾；若b?1?a?1?b?a，矛盾。 所以在有限群G中，阶?2的元成对出现，因此命题成立。

3. 假定G是一个阶是偶数的有限群，在G中阶等于2的元的个数一定是奇数。 证 由上题知阶?2的元的个数是偶数。

∵G是偶数，∴ 阶?2的元也必是偶数。但阶是1的元只有单位元e，∴阶等于2的元的个数为奇数。

4. 在有限群G中,每一元素具有一有限阶。

证?a?G,a?e，a,a2,a3,....,a|G|,a|G|?1?G，根据鸽巢原理，这|G|?1个幂至少有两个相同。不妨设ai?aj(1?i?j?|G|?1)，那么aj?i?e。所以命题成立。 P44§4

1. 假定两个群G与G的一个同态之下，

a?a，

那么a与a的阶是否相同？ 解 不一定。

?}。 取G?{e,o}，运算为e?e?e，显然G?{e,o}是一个群。取整数加群G?{Z，建立?:G?G，其中?(n)?e,?n?Z。

显然?是G到G的同态。G的单位元0是一阶元，它的象是一阶元e，G的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元e。

思考：若假定两个群G与G的一个同构?之下，

a?a，

那么a与a的阶是否相同？ 解 肯定相同。

nn?(a)?[?(a)]?a①若o(a)?n???，即a?e，∵?是同构，∴

?(e)?enn?n???a?e，∴a的阶也??是有限，记o(a)?m，∴m?n。

?1?1mm???(a)?[?(a)]?a又∵?是G到G的一个同构，且a?e，∴∴n?m。 ?am?e，??1??(e)?e??1mm 2

∴n?m。

②o(a)???，下证o(a)???。反证，若o(a)?m???，∵??1是G到G的一个同构，且

?1??(a)?[??1(a)]m?am?a?e，∴?am?e，即a的阶不超过m，矛盾。 ????1(e)?e?mmP50§5

?1?11.假设?是集合A的一个非一一变换。?会不会有一个左逆元?L，使?L???？(?是A上

恒等变换：?a?A,?(a)?a)

解 可能有。若合成是右合成，即??(a)??(?(a))，例子如下：

n?0?0取A=N(自然数集)，?(n)??是A上一个满射变换，但0的原象有两个：0和1，

n?1n?0?即不是一一变换。?(n)?n?1也是A上一个变换(也不是一一变换，0没有原象)，且

?1??(n)??(?(n))??(n?1)?n??(n)，∴?n?A,有??(n)??(n)，∴????，∴?L??。

若合成是左合成，即??(a)??(?(a))例子如下：

取A= N(自然数集)，?(n)?n?1是A上一个单射变换，但0没有原象，即不是一一变换。

?(n)??n?0?0也是A上一个变换(非单)，且??(n)??(?(n))??(n?1)?n??(n)，

n?1n?0??1∴?n?A,有??(n)??(n)，∴????，∴?L??。

2. 假定A是所有实数作成的集合。证明，所有A的可以写成 x?ax?b,a,b是实数，且a?0 形式的变换作成一个变换群，这个群是不是交换群？

证 f(a,b)(x)?ax?b,?x?R。作集合G?{f(a,b)|?a,b?R,a?0}，本题就是证明G是一个变换群。

G满足群的定义条件:

①?f(a,b),f(c,d)?G　?x?R, 我们有:

f(a,b)f(c,d)(x)　?f(c,d)[f(a,b)(x)]　?f(c,d)(ax?b)?c(ax?b)?d?acx?(bc?d)?f(ac,bc?d)(x)

∵a?0,c?0?ac?0,∴f(a,b)f(c,d)?f(ac,bc?d)?G,即合成满足封闭性。 ②映射的合成都满足结合律。∴G中的元也满足结合律。 ③显然f(1,0)?G是R的恒等变换?,它是G的单位元。

3

④?f(a,b)?G，∵ a?0?1 ?0，∴f(1,?b)?G。且f(a,b)f(1,?b)?f(1,?b)f(a,b)?f(1,0)，aaaaaaa1∴f(?a,b)?f(1,?b)。∴G?{f(a,b)|?a,b?R,a?0}是一个变换群。

aa取f(1,2)和f(2,1),那么f(1,2)f(2,1)?1??7，f(2,1)f(1,2)?1??5，∴f(1,2)f(2,1)?f(2,1)f(1,2)。这表明：此变换群是非交换群。

3．假定S是一个集合A上的所有变换构成的集合。我们暂时仍用旧符号

?:a?a'??(a)， 来说明一个变换。我们用

?1?2:a??1(?2(a))??1?2(a)

来规定一个S上的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对这个乘法来说?还是S的单位元素。 证 ??1,?2,?3?S,?a?A, ∵

(?1?2)?3(a)?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]]???(?1?2)?3(a)??1(?2?3)(a)?(?1?2)?3??1(?2?3)。

?1(?2?3)(a)??1[(?2?3)(a)]??1[?2[?3(a)]]?∴这种运算满足结合律。 ∵

??(a)??(?(a))??(a)?????(a)???(a)??(a)????????。

??(a)??(?(a))??(a)?∴?是S的单位元素。

4．一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 右合成证明如下：

设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即???G,e???e??。

对???G,?a?A，∵e???，∴?e(a)??(a)?e(?(a))??(a)。∵?是一一变换，∴?(a)能取遍A中的所有元素。∴?a?A,有e(a)?a。∴e是A上的恒等变换。

左合成如下证明如下：

设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即???G,e???e??。

对???G,?a?A，∵e???，∴e?(a)??(a)?e(?(a))??(a)。∵?是一一变换，∴?(a)能取遍A中的所有元素。∴?a?A,有e(a)?a。∴e是A上的恒等变换。

5．证明实数域上一切可逆的n阶矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群。 证 记G是一切可逆的n阶实矩阵的集合。

①?A,B?G?|A|?0，|B|?0?|AB|?|A||B|?0?AB?G，即矩阵乘法在G上是封闭的。 ②矩阵乘法满足结合律，当然在G上满足结合律。

③n阶单位阵In?G，且对?A?G,InA?AIn?A，∴n阶单位阵是幺元。 A?(逆阵）④?A?G，?B?，使AB?BA?In，∴A的逆矩阵就是A逆元。 |A| 4

∴G是一个群。 P55§6

?123?1． 找出S3中的不能与??231??交换的元。

???123??123??123??123??123??123?解 S3中共6个元：? ?132??，??213??，??231??，??312??，??321??。?123??，??????????????123??123??123?其中恒等置换??231??、??123??、??231?????????1?123??123???显然能与???231??交换。?312??????123??123??123??123???????通过验证其余三个：?、、都不能与?132??213??321??231??交换。

????????明示：给出群G的一个元a，要找与a可交换的元。因为结合律满足，首先要知道与a可交换的元至少有ak(k?Z)，其中包括e，a，a?1。对于不是ak(k?Z)的元，一般要通过验证。 2． 把S3的所有元写成不相连的循环置换的乘积。

?123??123??123??123????????(1)?(23)?(12)解：?，，，?213??231???(123)，?123??132??????????123??123?????(132)，?312??321???(13)。 ????3． 证明

(ⅰ)两个不相连的循环置换可以交换。

(ⅱ)(i1i2...ik)?1?(ikik?1...i1)。 证(ⅰ)

设?和?是Sn中任意两个不相连的置换(没有共同元)。分三种情况加以讨论：

?(j)?j。①数字i在?中出现，且?(i)?j。∵?和?不相连，∴i和j不在?中出现，即?(i)?i，

∴??(i)??(?(i))??(j)?j，??(i)??(?(i))??(i)?j。∴??(i)???(i)。

②数字m在?中出现，且?(m)?n。∵?和?不相连，∴m和n不在?中出现，即?(m)?m，?(n)?n。∴??(m)??(?(m))??(m)?n，??(m)??(?(m))??(n)?n。∴??(m)???(m)。 ③数字k在?和?中都不出现，这时有?(k)?k，?(k)?k。

∴??(k)??(?(k))??(k)?k，??(k)??(?(k))??(k)?k。∴??(k)???(k)。

这样得到?x?{1,2,...,n},都有στ(x)?τσ(x)，从而有?????。

(ⅱ)∵(i1i2...ik)(ikik?1...i1)?(ikik?1...i1)(i1i2...ik)?(1)，∴(i1i2...ik)?1?(ikik?1...i1)。 4． 证明一个k循环置换的阶是k。

5

证 设π?(i1i2...ik)是{1,2,...,n}上的一个k循环置换。

?1(i1)?i2，?2(i1)?i3，…, ?k?1(i1)?ik,?k(i1)?i1。

同理得?i?{i1,i2,...,ik},πk(i)?i?ε(i)，当0?n?k,?n(i)?i??(i)。 且当?j?{1,2,...,n}?{i1,i2,...,ik},π(j)?j?πk(j)?j?ε(j)。 ∴?k??且0?n?k,?n??。∴k循环置换的阶是k。 5．证明Sn中任何一个元都可以写成 (12),(13),...,(1n)

这n?1个2-循环置换中的若干个乘积。

证∵任意置换都可以表达为若干不相连的循环置换的乘积，

∴只需证明：一个循环置换可以表达成若干个(1i)形式置换的乘积。 设?为一个循环置换。我们分两种情况加以讨论： ① 1在?中出现，π?(1i1i2...ik)?(1i1)(1i2)...(1ik)；

② 1不在?中出现，π?(i1i2...ik)?(1i1i2...ik)(1i1)?(1i1)(1i2)...(1ik)(1i1)。

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dth7.html