概率论与数理统计第六章 课外练习题(含详细答案)

北京工商大学概率复习资料

第六章 课外练习题（含详细答案）

1. 设X1, ,Xn是总体X~N( , 2)的样本,则 n n 2 2 (1) E (Xi X) E (Xi X)2/ 2 ________. i 1 i 1

答案：(n 1) 2.

n n 2 4(2) D (Xi ) D (Xi )2/ 2 _____. i 1 i 1

4答案：2n .

解：因为X1, ,Xn是总体X~N( , )的样本,所以ES 且222(n 1)S2

2 2(n 1).

(n 1)S2 n2 22 从而(1)E ，所以E(X X) E(n 1)S (n 1) . (n 1) i2 i 1

n 1n2 2 22 或者E (Xi X) (n 1)E (X X) (n 1)ES (n 1) . i i 1 n 1i 1

(2) 由Xi

22n X Xi 2i～N(0,1)，则 ～ (n)，所以D 2n i 1 i 1 n

2 n Xi 2 n 2n Xi 2 44 D 2n . 故D (Xi ) D i 1 i 1 i 1

2. 设X1,X2, ,X10与Y1,Y2, Y15分别是正态总体N(20,3)的两个独立样本，求P{ 0.1}. 答案：0.8886.

3333110115

N(20,)N(20,)N(0,

), ~ 解：由题设可知， ～，～则X Y i i1015101510i 115i 1

即 ~N~N(0,1). 所以 P{ 0.1} 1 P{ 0.1} 1 P{

0.1}

1 P 1 2 1 2 2 (0.14) 2 2 0.5557. 0.8886.

3. 设总体X N(1,4),X1,X2,...,X100是来自总体X的一个样本，已知Y b～N(0,1),则 a, b 答案：a 5,b 5(即有两组解a 5,b 5,或a 5,b 5).

解：因为X N(1,4)且n 100，所以样本均值～N(1,

又因为Y b～N(0,1), 所以 4). 100

0 EY E(a b) aE b a b

4a2 1 DY D( b) aD .100

a 5 a 5所以 ,或 .

b 5 b 42

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4. 在总体X～ (n), X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本，则E ______, ______,ES2 _____. 答案：E n, 2,ES2 2n.

解：特别要注意区分样本容量和 2分布的自由度，两者在本题中都是字母n.

因为X～ 2(n)，所以EX n,DX 2n（注意这里的n是 2分布中的自由度n）， 2

1n

从而对 Xi（注意这里的分母n是指的样本容量的n）有： ni 1

E EX n,

DX2（n这个n是自由度） 2,样本容量(n)（这个nn是样本容量）

22 对样本方差S，有ES DX 2n.（这个n是自由度）

5. 在总体X～ 2(n), X1,X2,...,X10是来自总体X的一个样本，则E ______, ______,ES2 _____. 答案：注意本题中自由度为n，而样本容量是10.

E n， 这个n为自由度；

DX2nn ，分子的2n是总体方差，分母的10为样本容量; 样本容量105

ES2 2n,这个n为自由度.

6. 设总体X N(0,1), X1,X2,...,X16是来自总体X的样本，已知P{ } 0.01, 则 ______. 答案：0.58.

01116

4 N(0,1), 解：因为X N(0,1), 样本容量n=16，所以 Xi～N(0,), 即116ni 1

4

于是0.01 P{ } 1 P{ } 1 P 4 4 1 (4 )，

从而 (4 ) 0.99，查表得到4 2.33,故 0.58.

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