实变函数复习题

《实变函数》

一、单项或多项选择题

1、下列正确的是（ 2 3 4 ）

（1）A\\(B\\C)?(A\\B)\\C （2）A(BC)??AB??AC?

（3）?AB?\\C?A?BcC?c （4）(A\\B)\\C?A\\?BC?

2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集；

（2）超越数构成的集合是不可数集；

（3）若R中两个Lebesgue可测集A和B的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q表示全体有理数集，则Q2014是可数集. 3、在R中令A?{1,1,1,123n,},则（ 3 4 ） （1）A为闭集 （2）A为开集 （3）A'??0? （4）A为疏集 4、设A?R满足mA?0，则（ 1 3 ）

（1）A为Lebesgue可测集 （2）A为可数集 （3）任意可测函数f在A上可积 （4）A为疏集

5、在R上定义f(x)，当x为有理数时，f(x)?1，当x为无理数时，f(x)?0，则（ 3 4 ）

（1） f几乎处处连续 （2）

f不是可测函数

（3） f在R上处处不连续 （4）f在R上为可测函数 6、设f,fn?M(X),则（1 2 3 4 ）

（1）f??M?X? （2）f?M?X?

（3）f2?M?X? （4）limnfn?M?X?

7、若f在?0,1?上L可积，则下列成立的是（ 1 2 ）

（1）f???在?0,1?上几乎处处成立 （2）f在?0,1?上L可积

（3）f在?0,1?上几乎处处连续 （4）f2在?0,1?上非L可积

8、设fn,f?n?1,2,3,?是X上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 1

3 ）

（1）若fn?f,a.u.,则fn?f,a.e.;

（2）若fn?f,a.e.,则fn?f,a.u.; ?（3）若fn?f,a.u.,则fn?f; ?（4）若fn?f,则fn?f,a.u..

9、若{An}为降列，且?A1?2，则limn???An（ 4 ）

2）? （3）????A?4）???（1）0 （??n? （?An?

?n?1?n?1?10、有界实函数f在区间[a，b]上Riemann可积的充要条件是f的不连续点集为（（1）空集 （2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集 11、设f?BV?a,b?，则下列成立的是（ 1 4 ） （1）f在?a,b?上有界； （2）f在?a,b?上连续； （3）f在?a,b?上可微； （4）f是两个增函数之差.

12、整数集的内部和闭包分别为（ 1 ）

（1）?， （2）， （3）?， （4），

13、设f?x?????x,x??0,1?，令A???xf?x??1??2?x,x??1,2??，则mA?（ 2 ）

??2?（1）0 （2）1 （3）2 （4）3

14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（ 3 ）

（1） （2） （3）Cantor集 （4）

??310,x???1?15、设f?x?????n??，则??f?c?dm??0,x??0,1?\\??0,1??（ 1 ）

?1??n??（1）0 （2）1 （3）2 （4）310

16、超越数的个数为（ 3 ）

（1）2 （2）a （3）c （4）2c

） 4

17、f?AC[0,1],f(0)?2,且f??0,a.e，则f(x)= 3 （1）0 （2）1 （3） 2 （4）3

18、设A1,A2是

R的可测集，且A1?A2，则下列正确的是（ 2 4 ）

（1）mA1?mA2 （2）mA1?mA2

（3）mA1?mA2?m?A1\\A2? （4）mA1?m?A1\\A2??mA2 19、当f在?1,???上连续且Lebesgue可积时，则xlim???f(x)? 1 （1） 0 （2）1 （3）-1 （4）?? 20、A2n?1?[0,1]，A2n?[0,2],?n?1,2,?，则limnAn和limAnn分别为（（1） ?0,1?,?0,2? （2）?0,1?,?0,2? （3）?0,2?,?0,1? （4）?0,2?,?0,2? 21、下列正确的是（1 4 ） （1）?AB?\\C??A\\C??B\\C? （2）A(BC)??AB?C（3）A\\(B\\C)?(A\\B)\\C （4）(A\\B)\\C?A\\?BC?

22、设f:X?X是一个映射，A,B?X,下列正确的是（ 2 4 ） （1）A?ff?1?A? （2）f?1?AB??f?1?A?f?1?B?（3）B?f?1f?B? （4）f?1?AB??f?1?A?f?1?B?

23、下列与

有相同基数的集合是（ 2 3 ）

（1） ?0,1? （2） （3）

（4）

24、设A是?0,1?上所有有理数构成的集合，则A'?（3 ） （1） A （2）?0,1?\\A （3）?0,1? （4）以上都不对 25、下列说法正确的是（ 1 2 3 ）

（1）是上的闭集

（2）上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并

） 3

（3）是上的疏集

（4）的子集不是开集就是闭集 26、下列正确的是（ 1 ） （1）有理数集是可数集；

（2）代数数构成的集合是不可数集；

（3）若R中两个Lebesgue可测集A和B的测度相等，则它们的基数也相等； （4）?0,2?内包含的点比?0,1?内包含的点多。

27、下列说法不正确的是（ 2 4 ）

（1）凡外测度为零的集合都可测 （2）可测集的任何子集都可测 （3） 开集和闭集都可测 （4）不存在不可测集 28、设f?x?是X上的可测函数，则（ 4 ） （1）f?x?是X上的连续函数 （2）f?x?是X上的勒贝格可积函数 （3）f?x?是X上的简单函数 （4）f?x?可表示为一列简单函数的极限

29、设?fn?是X上一列可测函数，则supfn是X上的（ 3 ）

n（1）可导函数 （2）连续函数 （3）可测函数 （4）单调函数 30、下列说法正确的是（ 1 ）

（1）若f?x?是X上的Lebesgue可积函数，则f?x?在Xa.e.上有界； （2）若f?x?是X上的Lebesgue可积函数，则f?x?在X上有界；

（3）若f?x?是X上的Lebesgue可积函数，则f?x?在X上Riemann可积； （4）以上都不对。

31、设f?x?是X上的Lebesgue可积函数，则（ 1 2 3 4 ） （1）f?x?Lebesgue可积； （2）f（3）f??x?Lebesgue可积； ?x?Lebesgue可积；

?（4）f?x?在X的任意可测子集上的Lebesgue可积。 32、下列说法正确的是（ 2 3 4 ）

（1）有界变差函数是单调函数； （2）单调函数是有界变差函数； （3）绝对连续函数是有界变差函数； （4）Lipschitz函数是绝对连续函数。

33、关于A?1??11?,2???的说法正确的是（ 2 4 ）

nn?n?1??（1）A是开集 （2）A是闭集 （3）A??1,2? （4）A??1,2? 34、设A??0,1?，则A?（ 2 ）

o（1）? （2）?0,1? （3）?0,1? （4）?0,1? 35、设f?x?是

上的连续函数，则对任意实数a，xf?x??a是

??上的（1 3 ）

（1）开集 （2）闭集 （3）可测集 （4）零测度集

36、设fn,f?n?1,2,3,?是X上几乎处处有限的可测函数，则fn?f,a.u.,是

fn?f,a.e.的（ 1 ）

（1）充分条件 （2）必要条件

（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件

?1,x?1且x??37、设f?x???2,x?1且x??2x,x??，则

??0,2?f?x??（ 4 ）

（1）3 （2）2 （3）1 （4）4 38、设f?x?是X上的可测函数，若（1）f?x?在X上L可积； （2）f?x?在X上L积分存在； （3）f?x?在X上R可积； （4）f?x?在X上a.e.有限；

39、关于零测度集下列说法正确的是（ 2 4 ） （1）零测度集是可数集；

（2）零测度集的任何子集是零测度集； （3）无穷多个零测度集的并还是零测度集； （4）可数多个零测度集的并还是零测度机。

?f?x???，则（ 1 2 4 ）

X

40、设??X1????X2???，则X1和X2的关系是（4 ） （1）X1?X2 （2）X1?X2 （3）X1?X2 （4）X1，X2至多差一个零测度集

41、设f:X?X是一个映射，A,B?X,下列正确的是（ 1 2 4 ） （1）f?A（3）f?AB??f?A?B??f?A???f?B? （2）f?1?AB??f?1?A?f?B? （4）f?1?AB??f?1?A?f?1?B? f?1?B?

42、设A??n?1?n?n???,B??n?1??,?n?2,3,n?1?n?1???，则（3 4 ）

（1）A?B （2）B?A （3）A43、下列基数是c的集合为（2 4 ） （1）

（2）

（3）

B?? （4） d?A,B??0

（4）所有无理数构成的集合

44、下列说法正确的是（ 1 2 3 ）

（1）开集是可测集； （2）闭集是可测集； （3）可数集是零测度集； （4）零测度集是可数集。

45、设f,g,fn?M(X),则（ 1 2 3 4 ）

（1）fg?M?X? （2）f?g?M?X? （3）supf?M?X? （4）limfn?M?X?

n46、设fn,f?n?1,2,3,3 ）

?是X上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 2

（1）若fn?f,则fn?f,a.u..

（2）若fn?f,则存在fnk为?fn?的子列，使得fnk?f,a.u.. （3）若fn?f,a.u.,则fn?f; （4）若fn?f,a.e.,则fn?f,a.u.; 47、设f为[a,b]上增函数，则

?????f为（2 3 4 ）

（1）绝对连续函数 （2）可测函数 （3）有界变差函数 （4）有界函数 48、设f?x????0,x为超越数，则

?1，x为代数数?f?（ 1 ）

（1）1 （2）0 （3）?? （4）以上都不对 49、下列哪些函数是有界变差函数（ 1 3 4 ） （1）单调函数 （2）有界函数 （3）Lipschitz函数 （4）绝对连续函数 50、设fn?M??X??n?1,2,（1）limn?，则（3 4 ）

XnnX?nXfn??limf （2）?limf?lim?fn

Xn（3）

?Xlimfn?lim?fn （4）?nXX?f???nnnXfn

51、设M,N是两集合，则M\\?M\\N??（ 3 ） （1）M （2）N （3）M52、设fn,fn,2,3,??1N （4）?

?则fn?f,a.u.,是fn?f?是X上几乎处处有限的可测函数，

的

（ 1 ）

（1）充分条件 （2）必要条件

（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件 53、An?n?1,2,3,???是一列集合，则下列正确的是（2 3 ）

??（1）limAn?n??n?1m?n??Am （2） limAn?n??n?1m?n??Am

（3）limAn?n??n?1m?nAm （4）limAn?n??n?1m?nAm

?54、设A?n?1An基数为c，则对于An下列说法正确的是（ 4 ）

（1）An都是可数集 （2）An都是有限集

（3）An都是不可数集 （4）至少有一个An是不可数集 55、直线上的可测集个数为（4 ）

（1）a （2）c （3）2 （4）2

ca56、关于

，?01?上的有限减函数的说法，下列正确的是（ 1 3 4 ）

（1）是有界变差函数； （2）是连续函数； （3）是可测函数；

（4）是几乎处处连续的函数。

57、设f:X?X是一个映射，A,B?X,下列正确的是（ 1 2 ） （1）ff?1?A??A （2）f?1?A???f?A??

c?1c（3）B?f?1f?B? （4）f?1?A58、与实数集（1）

B??f?1?A?f?1?B?

上的点的 “个数一样多”的集合是（ 2 3 ）

（2）Cantor集 （3）?0,1? （4）

??

59、fn,f?n?1,2,3,（ 1 3 ）

?是X上几乎处处有限的可测函数且fn?f,下列说法正确的是

（1）存在?fn?的子列fnk，使得fn?f,a.u.； （2）任意?fn?的子列fnk，都有fn?f,a.u.； （3）存在?fn?的子列fnk，使得fn?f,a.e. （4）任意?fn?的子列fnk，都有fn?f,a.e. 60、设f?x????????????1,x??0,1?\\P0?0,x?P0Cantor集，则，P0为

??0,1?f?x??（ 1 ）

（1）1 （2）0 （3）2 （4）3

二、填空题

?1、?x?n?1??1?x??=?xx?0?

n???cosx,x?P012、 设 f?x???2，则?f?

?0,1?3?x,x??0,1?\\P03、有界实函数f在区间[a，b]上Riemann可积的充要条件是f的不连续点集的测度为 0 。

?1??x,x??0,1??4、设f?x???，令A??xf?x???，则mA?1 。

2????2?x,x??1,2?5、f,g?M??X?,f?g,a.e.,且?g?0，则?f? 0 。

XX6、A是闭集，B是开集，则A?B是 闭 集。

7、设f?x????sinx,x?x?e,x?，则

??0,2?f?e2?1 。

8、设f:X?X是一个映射，A?X，则A?f?1f?A?的充分必要条件是

f是单射。

9、fn?f，则对???0，lim?Xn????fn?f???? 0 。

1???10、?En?是X的降列，且mEn?n，则m?En?? 0 。

2?n?1?

三、证明题 1、A,C?n，则?AC??AC。

证明：设x??AC?,由闭包的定义，?r?0,Br?x?r??AC?\\?x????，故

Br?x??A\\?x???B?x???AC?\\?x????，再由定义可知x?A。同理，x?C，

因此x?AC，即?AC??AC.

2、设f2是可测函数，且集X?f?0?可测，则f可测。 证明：对?a?，分两种情况讨论：

2222（1）a?0.则X?f?a??X??f?a??，由f可测，可知X??f?a2??为可测集，从而

X?f?a?为可测集。

（

2

）

a?0.则

X?f?a??X?f?0?X?a?f?0?，此时

222=X?X??a?0?f?0?f?a??，由于f可测及X?f?0?可测可知，X?f?a?为可测

集。综上，f可测。证毕。

????An???A\\An?。 3、A,An?n?1,2,?是集合，则A\\??n?1?n?1?????????c??cAn??A?An??A?An???AAn???A\\An?。 证明：A\\??n?1??n?1??n?1?n?1n?1c4、设f?x??L，则?X11?f?n??0?n???。

证明：因为f?x??L，所以

?Xf??，令Xn?X?f?n?，则注意到

?X?n?0Xn，所以

n?Xn??n??XnXnf??f??，所

X以?Xn?1f，令n??，则?Xn?0，即?X?f?n??0 ?Xn5、?AC?'?A'C' 证明：设x??AC?',由导集的定义，?r?0,Br?x?r??AC?\\?x????，故

C'，

Br?x?所以x?A'或x?C'，故x?A'x???或者B?x??C\\?x????，?A\\??即?AC?'?A'C'。

另一方面， 设x?A'C'，则x?A'或x?C'，由导集的定义可知，对于

?r?0Br?x?=Br?x??A\\?x????或B?x??C\\?x????，所以B?x???ArrC?\\?x??

?A\\?x??Br?x??B\\?x????。因此，

x??AC?'，所以

A'

C?'?A?。综上，C'?AC?'?A'C'

6、设f?M?X?，对任何可测集A?X有

?Afd??0,则f?0,a.e..

证明：反证法。设存在A0为可测集有?A0???0，使得f?0在A0上都成立。因为

A0?f?0??1??A0?f???，因为?A0???0，所以必存在N使得

n??n?1?1???A0?f?????N?0，则

N??所以

7、?Ai?\\?Bi???A0fd???1??A0?f???N??fd???1?N?0，与题目矛盾。Nf?0,a.e..证毕。

?Ai\\Bi?。

证明：设x??Ai?\\?Bi?，则x??Ai?，x??Bi?。 由于x??Ai?，则必存在使得

Ai0,

x?Ai0，但x??Bi?，故对?Bi，x?Bi，从而x?Bi0，所以

x?Ai0\\Bi0?

?Ai\\Bi?，由x的任意性，?Ai?\\?Bi???Ai\\Bi?。证毕。

8、设?X??，fn,f,g?M?X?,n?1,2,。fn?g,a.e.

，若fn?f,a.e.且f?g,a.e.，则

证明：设X1,X2?X，满足??X\\X1????X\\X2??0，使得在X1上fn?f成立，在

X2上f?g成立。令X*?X1X2，则在X*上fn?f且f?g同时成立，即fn?g。

X2，故??X\\X*??

*下证?X\\X?0。因为X*?X1????X\\?X1X2??????X\\X1?fn?g,a.e.。证毕。

?X\\X2?????X\\X1????X\\X2??0，所以

x?Ai0\\Bi0?

?Ai\\Bi?，由x的任意性，?Ai?\\?Bi???Ai\\Bi?。证毕。

8、设?X??，fn,f,g?M?X?,n?1,2,。fn?g,a.e.

，若fn?f,a.e.且f?g,a.e.，则

证明：设X1,X2?X，满足??X\\X1????X\\X2??0，使得在X1上fn?f成立，在

X2上f?g成立。令X*?X1X2，则在X*上fn?f且f?g同时成立，即fn?g。

X2，故??X\\X*??

*下证?X\\X?0。因为X*?X1????X\\?X1X2??????X\\X1?fn?g,a.e.。证毕。

?X\\X2?????X\\X1????X\\X2??0，所以

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