弹性力学简明教程（第四版） - 课后习题解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答

徐芝纶

第一章 绪论

【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？

【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？

【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分

1

方程都简化为线性的微分方程。

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力

正的面力

【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。

【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。

【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。

【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。

正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。

正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。

2

【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。 【解答】

正的体力、面力

正的体力、应力

【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。 【解答】

fxfyfyxfxfxfyfyfxyOz

【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力?yz的合力与z面上切应力?zy的合力是否相等？

【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L?1MT?2，单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dx×dy×dz，则y面上切应力?yz的合力为：

?yz?dx?dz (a)

z面上切应力?zy的合力为：

?zy?dx?dy (b)

由式（a）(b)可见，两个切应力的合力并不相等。

【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。

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第二章 平面问题的基本理论

【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有?z??xz??yz?0，只存在平面应力分量?x,?y,?xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。

【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时?z?0，且不受切向面力作用，则

?xz??yz?0(相应?zx??zy?0)板边上只受x，y向的面力或约束，所以仅存

Oz在?x,?y,?xy，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。

【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件

y?MC试问将导出什么形?0改为对角点的力矩平衡条件，

式的方程？

【解答】将对形心的力矩平衡条件

?MC改为分别?0，

对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。

?MA?0

??xy??xdxdydy?ydx?1??(?x?dx)dy?1??(?xy?dx)dy?1?dx??ydy?1?2?x2?x2 (a)

??y??dxdydx?(?y?dy)dx?1??(?yx?yxdy)dx?1?dy?fxdxdy?1??fxdxdy?1??0?y2?y22?MB?0 (?x???yx??y??xdydxdx)dy?1??(?yx?dy)dx?1?dy?(?y?dy)dx?1??x2?y?y2 (b)

dydxdydx??xydy?1?dx??xdy?1???ydx?1??fxdxdy?1??fydxdy?1??022224

?MD?0

(?y?dxdy??xydy?1?dx??xdy?1???yxdx?1?dy?y22 (c)

??xdxdydydx??xdx?1??(?x?dx)dy?1??fxdxdy?1??fydxdy?1??02?x222dy)dx?1???y?ME?0

dxdydx??xdy?1???yxdx?1?dy??ydx?1???y222 (d)

????dydydx(?x?xdx)dy?1??(?xy?xydx)dy?1?dx?fxdxdy?1??fydxdy?1??0?x2?x22?(?y?dy)dx?1?略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令dxdy,dxdy都趋于0），并将各式都除以dxdy后合并同类项，分别得到?xy??yx。

【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。

【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？

【解答】微分单元体ABCD的边长dx,dy都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位。

22??yOx??????xyAxyB??????xAyxAyA??????ABfyOxyxDyDfxD??????xDxyD??xy?A??x?A

xyC??????yxAyA??????ABfyyxDyDfxD??x?D??xy?D

??????y各点正应力：

CxB??????yByxB????????x?C?????????xyBCxByCyxCy??????yxByB????????x?C???xyCyCyxC(a) (b)

(?x)A??x；

(?y)A??y

(?x)B??x?

??xdy； ?y

(?y)B??y?5

??y?ydy

（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；

（3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题； （4）对于多连体，还需满足位移单值条件。

【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）

【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-25）； （2）在边界S上的应力边界条件式（2-15），假设全部为应力边界条件； （3）若为多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

qqaaOqbxqh/2xbqOh/2y

yll?h 图2-20 图2-21

y2（a）图2-20，sx=2q，?y??xy?0。

b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx?fy?0

??x??yx??y??xy??0 ??0 显然满足 ?x?y?y?x（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

??2?2?2q等式左=?2?2???x??y?=2?0=右

b??x?y?应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。

MFsS*y，?xy?(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的（b）图2-21，由材料力学公式，?x?IbI

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x3y3qx222解答:?x??2q3，?xy?-(h?4y)。又根据平衡微分方程和边界条件得出：3lh4lh3qxyxy3qx。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 ?y??2q3?2lhlh2l【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）

h3的惯性矩I?，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

12q3qx2M(x)??x,F?x???。

6l2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

M?x?x3y?x?y??2q3

Ilh3Fs?x??4y2?3qx222?xy?1???.h?4y??。 ??2bh?h2?4lh3根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

??y?y???xy?x?0

3qxyxy3.?2q3?A 得： ?y?2lhlh根据边界条件

???yy?h/2?0

qxA??.

2l得

3qxyxy3qx.?2q3?. 故 ?y?2lhlh2l将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

x2yx2y左??6q.3?6q3?0?右 满足

lhlh第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

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??2?2?xyxy左??2?2???x??y???12q.3?12q.3?0?右

lhlh??x?y?应力分量不满足相容方程。

故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 【解答】（1）确定最大最小切应力发生位置 任意斜面上的切应力为?n2?lm??2??1?，用关系式l2?m2?1消去m，得

2422?n??l1?l??2??1???l?l??2??1???1/4??1/2?l由上式可见当

???2??1?

112???2时，?n为最大或最小，为 ??n?max??1。因此，?l?0时，即l??min222切应力的最大，最小值发生在与x轴及y轴（即应力主向）成45°的斜面上。

（2）求最大，最小切应力作用面上，正应力?n的值 任一斜面上的正应力为

?n?l2??1??2???2

最大、最小切应力作用面上l??1/2，带入上式，得

11?n???1??2???2???1??2?

22证毕。

【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求?1,?2,?1

(a)?x?100,?y?50,?xy?1050; (b)?x?200,?y?0,?xy??400;(c)?x??2000,?y?1000,?xy??400; (d)?x??1000,?y??1500,?xy?500.【解答】由公式（2-6）

2?1??x?1??x?1??x??y??x??y?2tan?1??1?arctan???????xy及?xy，得?xy ?2?22??2?1?100?50?100?50???????1050(a)

?2?22????2?150?? ?0?1?arctan150?100?35?16'

1050 13

2?1?200?0?5122?200?0?????400???????(b) ?2??3122?2???1?arctan512?200?arctan??0.78???37?57'

?4002?1??2000?1000?10522??2000?1000?????400???????(c) ?2?22????2052?1?arctan1052?2000?arctan??7.38???82?32'

?4002?1??1000?1500??691??1000?1500?2??????500???1809 (d)

?2?22????1?arctan?691?1000?arctan0.618?31?43'

500【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证sx=sy=-q及?xy?0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

【解答】（1）将应力分量?x??y??q,?xy?0，和体力分量

Oxq?xAfyfxqy?yfx?fy?0分别带入平衡微分方程、相容方程

???x??xy??fx?0??y??x （a） ????y???xy?f?0y??x??y?2??x??y??0 （b）

显然满足（a）（b）

（2）对于微小的三角板A，dx，dy都为正值，斜边上的方向余弦l?cos?n,x?,m?cos?n,y?，将?x??y?-q,?xy?0，代入平面问题的应力边界条件的表达式（2-15），且

fx?-qcos?n,x?,fy?qcos?n,y?，则有

?xcos?n,x???qcos?n,x?,?ycos?n,y???qcos?n,y?所以?x??q,?y??q。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

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该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，

?x?(???1)(??1)q,?y?q,?xy?0 （d） EE将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8），得

?u(?-1)?v(?-1)?v?u=q,=q,??0 （e） ?xE?yE?x?y前两式积分得到

（?-1）（?-1）u=qx?f1(y),v=qy?f2(x) （f）

EE其中f1?y?,f2?x?分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e）的第三式，得

?df1(y)df2(x)?dydx

等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数?，于是有

df1(y)df(x)???,2?? dydx积分后得f1?y????y?u0,f2?x???x?v0 代入式（f）得位移分量

(??1)?u?qx??y?u0??E （g） ?(??1)?v?qy??x?v0??E其中u0,v0,?为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得

从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解答。

【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力?y?0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。

【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x)??Fx，横截面对中性轴的惯性矩为

h/2xOh/2Iz?h3/12，根据材料力学公式

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1Fyl

hhfx(y?)??2ax, fy(y?)?ah

22③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx??y向主矢：Fy??主矩：M???h/2?h/2h/2(?x)x?0dy?0 (?xy)x?0dy?0

??h/2?h/2?h/2(?x)x?0ydy?0

?yxah?xyOx次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx???y向主矢：Fy??主矩：M?h/2?h/2h/2(?x)x?ldy?0 (?xy)x?ldy??h/2?h/2??h/2(?2al)dy??2alh

yah2al?h/2?h/2(?x)x?lydy?0

2al弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵??bxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

2?x?2bx，?y?0，?xy??yx??2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在y??h?h?h??主要边界，上边界上，面力为fx?y????bh,fy?y????0

2?2?2??在y?h?h?h??，下边界上，面力为fx?y????bh,fy?y???0

2?2?2??在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fx?x?0??0,fy?x?0??2by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx??????h2h?2h2h?2xx?0dy?0

h2h?2y向主矢：Fy??主矩；M??????xyx?0dy?????2by?x?0dy?0

?h/2?h/2(?x)x?0ydy?0

在右边界x=l上，面力分布为

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fx?x?l??2bl,fy?x?l???2by

面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx??y向主矢：Fy'?主矩：M'?h/2?????h/2h/2xx?ldy??h/2?h/22bldy?2blh

?h/2?h/2??xy?x?ldy??ydy??h/2?h/2??2by?dy?0

?????h/2h/2xx?l?h/22blydy?0

弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

ahO2alahx?xy（3）??cxy

3y?xy 将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

?x?6cxy,?y?0,?xy??yx??3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①上边界y??上，面力为

h2h?3h???fx?y????ch2,fy?y????0

2?42???② 下边界y=h上，面力为 2h?3h???fx?y????ch2,fy?y???0

2?42???次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得： ③左边界x=0上，面力分布为

fx?x?0??0,fy?x?0??3cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fx???y向主矢：Fy???主矩：M???

h/2-h/2h/2?h/2h/2??x?x?0dy?0

h/2?h/2???xyx?0dy????h/2ch??3cy?dy?1423??x?x?0ydy?022

④右边界x?l上，面力分布为

fx?x?l??6cly,fy?x?l???3cy2

面力的主矢、主矩为 x向主矢Fx???????h/2h/2xx?ldy??h/2?h/26clydy?0

y向主矢：Fy??主矩：M??h/2?h/2?h/2??y?x?ldy???????h/2xx?l132?3cydy??ch ???h/24h/21ydy??6cly2dy?clh3

?h/22h/2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

【3-6】试考察应力函数??Fxy(3h2?4y2)，32h能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

Oh/2h/2xyl图3-9(l?h)?4??4??4??222?4?0，显然满足 4?x?x?y?y（2）将?代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(1?2) ?x??,?y?0,?xy??yx??32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，y??h，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力2???yy??h/2?0,??yx?y??h/2?0

因此，在主要边界y??h?h?h??上，无任何面力，即fx?y????0,fy?y????0

2?2?2??②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F?4y2?x?0:fx?0,fy??1-2?

2h?h?

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x?l:fx??12Flyh33F?4y2?,fy???1?2?

2h?h?因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=?y向主矢：FS1=?主矩：M1=?h/2-h/2h/2?h/2h/2fxdy?0, FN2??fydy?F, FS2??h/2?h/2h/2fxdy?0fydy??Ffxydy??Fl

?h/2?h/2h/2fxydy?0, M2???h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

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qx2y3yqy2y3y(?43?3?1)?(23?)能满足相容方程，并考察它在【3-7】试证??4hh10hh图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。

【解答】(1)将应力函数?代入式（2-25）

h/2h/2xOyl图3-9(l?h)?4??4?24qy?0，4?3，4?yh?x?4??12qy?24qy222?2?? ?x?yh3h3代入（2-25），可知应力函数?满足相容方程。 （2）将?代入公式（2-24），求应力分量表达式:

?2?6qx2y4qy33qy?x?2?fxx??3?3?

?yhh5h?2?q4y33y?y?2?fyy?(?3??1)

?x2hh?xy??yx?2?6qxh2????3(?y2)

?x?yh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界y??h（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） 2h?h???fx?y???????yx??0,fy?y???????y??qy??h/2y??h/222????h在主要边界y??下面?，也应该满足?2?15?2 fx?y?h/2????yx??0,fy?y?h/2????y??0y?h/2y?h/2在次要边界x?0上，分布面力为fx?x?0?????x?x?03qy4qy3??3,fy?x?0?????xy??0x?05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

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