天津市高三数学总复习 综合专题 数列通项公式的求法 构造辅助数列(学生版)

- 1 - 1、递推公式满足()n g a c a n n +?=+1型

①当)(n g 为常数

思路：利用待定系数法，将d ca a n n +=+1化为()x a c x a n n +=++1的形式，从而构造新数列

{}x a n +是以x a +1为首项，以c 为公比的等比数列。

（待定系数法，构造等比数列） 例1：数列{}n a 满足21211=-=+a a a n n ，，求数列{}n a 的通项公式。

②当)(n g 为类一次函数

思路：利用待定系数法，构造数列}{b kn a n ++，使其为等比数列； 例2：已知数列{}n a 满足)12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求数列{}n a 的通项公式。

③当)(n g 为类指数函数

思路：观察)(n g 的形式，如果)(n g 的底数与n a 的系数c 相同时，则把()n g a c a n n +?=+1两边 同时除以1+n c ，从而构造出一个等差数列；如果)(n g 的底数与n a 的系数c 不相同时，可以利用待 定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。 例3：已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 例4：已知数列{}n a 满足11=a ，n n n a a 231+=+（+∈N n ），求数列{}n a 的通项公式。

例5：在数列{}n a 中，,342,1111-+?+=-=n n n a a a 求数列{}n a 的通项公式。

补充练习：

1、已知数列}{n a 满足11a =，121+=+n n a a ，求数列}{n a 的通项公式。

- 2 - 2、已知数列{}n a 中，11a =，1111()22n n n a a ++=

+，求数列{}n a 的通项公式。 3、已知11a =，当2≥n 时，

12211-+=-n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

注：若132313n n n a a a +=+?+=，中不含常数

1时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。 7、已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

8、在数列{}n a 中，21=a ，*11,2)2(N n a a n n n n ∈?-++=++λλλ，其中0λ>。求数列{}n a 的通项公

式。

2、递推公式满足11+=+n n n pa a a 、q pa a a n n n +=+1、d ca ba a n n n +=+1等型或其交叉相乘的整式形式 思路：①递推公式满足11+=+n n n pa a a 型，取倒数，构造数列??????n a 1，使其为等差数列。 ②递推公式满足q pa a a n n n +=

+1型或d ca ba a n n n +=+1型，构造数列??????+λn a 1，使其为等比数列。

- 3 - 例6：已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n

n a a a ，由这个数列的第n 项为（ ）

A 、12-n

B 、12+n

C 、121

-n D 、121

+n

例7：已知数列{}n a 满足,11=a 131+=+n n

n a a a ，求证：?

?????n a 1是等差数列，并求{}n a 的通项公式。

例8：在数列{}n a 中，已知,21=a 1

21+=+n n

n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

补充练习：

1、已知数列{}n a 中，其中11=a ，且当2≥n 时，1

211

+=--n n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列1,1211=+=+a a a

a n n n

n ，求数列{}n a 的通项公式。

3、数列{}n a 中，n n n

n n a

a a +?=+++11

1

22，21=a ，求数列{}n a 的通项公式。

3、间隔性数列的通项公式

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