必修5第三章总结与试题

第三章 不等式

一. 本章的知识网络

不等式的有关概念

实数的运算性质，不等式的基本性质及应用

不等关系与不等式

比较大小

比较法

用一元二次方程的根，二次函数的图像，

一元二次不等式的解之间的关系求解

一元二次不等式的解法

一元二次不等 含有参数的一元二次不等式的解法

一元二次不等式的概念 式及其解法 一元二次方程根的分布

一元二次不等式的应用 实际应用问题

二元一次不等式(组)与平面区域

相关概念

二元一次不等式（组）

简单线性规划 与简单线性规划问题

二元一次线性规划问题中，最优解的求法

基本不等式:

简单线性规划在实际生活中的应用

不等式 基本不等式:若a,b都是正数,则a?b?2ab,当且仅当a?b时,等号成立ab?a?b2基本不等式与 最大（小）值 正数x,y,若x?y?s(定值)，则当x?y时，s2积xy取得最大值4正数x,y,若xy?p(定值),则x?y时,和x?y取得最小值2p二． 方法技巧归纳

1. 比较两个数(式)的大小最基本的方法是比较法: a.作差比较法

(1).依据：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. (2).步骤：作差 变形 判断符号 结论.

其中变形是关键，一般通过因式分解、通分、配方、分母有理化等变形手段，将差变形为几个因式积的形式或配成完全平方形式。 b.作商比较法

(1).依据：若a?0,b?0,则

aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b. bbb 变形 判断商与1的大小 结论.

(2).步骤：作商 2. 含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的应用。其讨论标准是：

(1),对二次项系数进行大于零、小于零、等于零的分类讨论；

(2).当二次项系数不等于零时，再对判别式进行大于零、小于零、等于零的分类讨论； (3).当判别式大于零时，再对两根的大小比较进行讨论，最后确定出解集。

3. 一元二次不等式恒成立情况小结：

?a?0ax2?bx?c?0(a?0)恒成立??. ???0 ?a?0ax2?bx?c?0(a?0)恒成立??.??0 ?4. 二元一次不等式表示平面区域的判断方法

对于直线 Ax?By?C?0 同一侧的所有点(x,y)，代数式Ax?By?C 的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点(x0,y0)代入Ax?By?C，由Ax0?By0?C的符号即可判断出Ax?By?C?0(或?0) 表示的是直线哪一侧的点集。

当直线 Ax?By?C?0中的C?0时（即直线不过原点时），可选取(0,0)作为特殊点代入判断，这通常叫做“直线定界，原点定域”。当C?0时（即直线过原点时）,可选取(1,0)，

(?1,0)，(0,1)，(0,?1)等点作为特殊点代入判断。

画出二元一次方程 Ax?By?C?0 表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线。 5. 解决线性规划应用题的一般步骤：

审题 转化 求解 作答

6. 利用基本不等式求最值时应注意以下几点： (1) 各项或各因式必须为正数；

(2) 各项或各因式的和(或积)必须为常数； (3) 各项或各因式能够取相等的值。

以上三个条件常简称为“一正，二定，三相等”，三者缺一不可，在应用时应特别注意。常用方法有：拆项法、分离常数法。

不等式单元测试题

一、选择题

1．a,b是任意实数，且a?b，则下列结论正确的是（ ）

A.a2?b2 B.

b1?1 C.lg(a?b)?lg D. 3?a?3?b aa?b2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是 （ ）

A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0 C．x2－2x+3<0 D．2x2－3x－2>0

3．不等式ax?bx?2?0的解集是{x|?211?x?}，则a?b等于 （ ） 23A．-14 B．14 C．-10 D．10

4．若0＜a＜1，则不等式（x－a）(x－

1)>0的解集是 （ ） a11A．(a，) B．(，a)

aa11C．(－∞，a)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+∞)

aa?y?x?5．设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为

?y?3x?6?( )

A．2 B．3 C．4 D．9

14

6．设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为 ( )

xy

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

7．不等式

2?x?1的解集是（ ） x?2A、(?3,?2)?(0,??)

C、(?3,0)

B、(??,?3)?(?2,0) D、(??,?3)?(0,??)

8．已知平面区域D由以A(1，3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成，若在

区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z?x?my取得最小值，则m等于 ( )

A. －2 B. －1 C. 1 D.4

二、填空题

9．不等式x?x?2?0解集是__________.

?x?y?2≤0b?2?10．动点P(a，b)在不等式组?x?y≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则??a?1?y≥0?2的取值范围是_____________．

211. 已知 x?0，当x?_______时，x?81 的最小值，最小值是 x214+≥m恒成立的实数m的取值范围是xy12．已知两个正实数x、y满足x+y=4,则使不等式__________. 三、简答题

13.正数a,b,c，满足a?b?c

14. 设 f(x)??1，求证：(1?a)(1?b)(1?c)?8abc

16x (x?0) . 2x?8（1）求f(x)的最大值.

（2）证明对任意实数 a,b，恒有f(a)?b?3b?

221. 415. 如图所示，公园要把一块边长为 2a 的等边三角形地 ABC 修成草坪，DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上. （1）设AD?x(x?a),DE?y,试用 x 表示函数 y .

（2）如果DE 是灌溉水管，希望它最短，DE 的位置应该在哪里？

AxDB

答案

一、选择题

DCACB BAC 二、填空题

EyC

（-?，-2）?（1，??）9. ; 10．(??,?2]?[2,??); 11.?3 ,18 12.(－∞,

三、简答题

13. 证明：?a?b?c?1

?1?a?b?c 1?b?a?c 1?c?a?b ?a?0 b?0 c?0 ?b?c?2bc?0 a?c?2ac?0 a?b?2ab?0

9］ 4 ?(b?c)(a?c)(a?b)?8abc 即 (1?a)(1?b)(1?c)?8abc

14.（1）解：f(x)?16x16?. 28x?8x?x?x?0

?x?888?2x??42 （当且仅当x?，即 x?22 时，取\?\）.

xxx?当x?22 时，x?8 有最小值，f(x) 有最大值22 x（2）证明：令g(b)?b?3b? ?当 b?221,b?R. 43 时，g(b)min?3. 2 ?f(x)max?22,?g(b)min?f(x)max ?对任意实数a,b, 恒有f(a)?b?3b?221. 4

15.解:（1）? ?ABC 的边长为 2a， D在AB上且x?a，

?a?x?2a

?S?ADE?1S?ABC 2111?x?AEsin600??(2a)2sin600. 2222a2?AE?

x在?ADE中，由余弦定理得

4a4y?x?AE?2x?AE?cos60?x?2?2a2.

x222024a4?y?x?2?2a2 (a?x?2a)

x244a424a2 （2）?x?2?2x?2?4a

xx24a4 （当且仅当?x?2，即x?2a 时，取\?\），

x24a42 ? 当x?2a 时，x?2的最小值为 4a.

x2 ? 当x?2a 时，ymin?2a.

2a 时，线段DE最短.

?以A为基点，分别在AB、AC上截取AD?AE?

（2）证明：令g(b)?b?3b? ?当 b?221,b?R. 43 时，g(b)min?3. 2 ?f(x)max?22,?g(b)min?f(x)max ?对任意实数a,b, 恒有f(a)?b?3b?221. 4

15.解:（1）? ?ABC 的边长为 2a， D在AB上且x?a，

?a?x?2a

?S?ADE?1S?ABC 2111?x?AEsin600??(2a)2sin600. 2222a2?AE?

x在?ADE中，由余弦定理得

4a4y?x?AE?2x?AE?cos60?x?2?2a2.

x222024a4?y?x?2?2a2 (a?x?2a)

x244a424a2 （2）?x?2?2x?2?4a

xx24a4 （当且仅当?x?2，即x?2a 时，取\?\），

x24a42 ? 当x?2a 时，x?2的最小值为 4a.

x2 ? 当x?2a 时，ymin?2a.

2a 时，线段DE最短.

?以A为基点，分别在AB、AC上截取AD?AE?

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