导数相关概念练习

导数练习（二）

一、知识点

导数的概念

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限

存在，则此

极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或

导数的几何意义：

函数

在点

处的导数的几何意义就是曲线

在点P

在点

；

处的切线的斜率，，切线方程为

也就是说，曲线处的切线的斜率是

1

一些基本初等函数的导数表

（1）；

（2）；与此有关的如下：

；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）

导数的运算法则：

； （8）；

（1）（2）

；

；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）若

二、经典范例及练习

则。

（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）

2

（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点

及斜率，其求法为：设

方程为：

．若曲线

是曲线

在点．）

上的一点，则以

的切点的切线

的切线平行于轴（即导

数不存在）时，由切线定义知，切线方程为

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

例1 曲线

在点

处的切线方程为（ ）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线

的平行的抛物线

的切线方程是（ ）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线

上的点

的切线方程．

故所求切线方程为

，或

．

，或，即

评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以

为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用

待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 3

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4 求过点且与曲线相切的直线方程．

解：设为切点，则切线的斜率为．

切线方程为，即．

又已知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，即．

评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充

分反映出待定切点法的高效性．

例5 已知函数

，过点

作曲线

的切线，求此切线方程．

解：曲线方程为，点不在曲线上．

设切点为，

则点的坐标满足．

因，

故切线的方程为．

点在切线上，则有．

化简得，解得．

4

所以，切点为，切线方程为．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。

（二）判断分段函数的在段点处的导数

例 已知函数，判断在处是否可导？

分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．

解：

∴在处不可导．

说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即包括

；

，当；

，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、

右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．

三、课外练习

5

1、(1)设函数在处可导，且(2)已知

2．求下列函数的导数

(1) (2)

(5)

，求；

，求.

6

(3)

3．已知曲线.

（1） 求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线过点

的切线方程。

4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A． B． C． D．

5、已知抛物线称是和方程．

：的公切线．若

和和

：，如果直线同时是和的切线，

有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的

7

5、已知函数处的切线方程为

，求函数

为偶函数，它的图象过点的解析式．

，且在

7、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系

中，不可能正确的是（ ）

8、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )

A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3) C．(-∞,- 3)∪(3,+∞) D．(-∞,- 3)∪(0, 3)

＞

9、已知向量的取值范围．

若函数在区间上是增函数，求

10、已知函数， 8

（1）如，求的单调区间；

（2）若

在单调增加，在单调减少，证明.

11、已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式的最大值．

对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求

9

12、.已知函数的切线方程为单调区间.

. （Ⅰ）求函数

的图象过点P（0,2）,且在点M

的解析式；（Ⅱ）求函数

处的

13、设

恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

小结

1．当

时，

是增函数；当

时，

是减函数．用导数法研

究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的．

2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．

3．或仅是

在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在

10

某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是立．

4．本专题易错点主要有：

（）在该区间上恒成

①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；

②求函数的单调区间实际上是不等式已知函数在区间

（）对应的解集；但如果问题是

（或

上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式

）恒成立问题．

导数练习（二）

一、知识点

11

导数的概念

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限

存在，则此

极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或

导数的几何意义：

函数

在点

处的导数的几何意义就是曲线

在点P

在点

；

处的切线的斜率，，切线方程为

也就是说，曲线处的切线的斜率是

一些基本初等函数的导数表

12

（1）；

（2）；与此有关的如下：

；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）

导数的运算法则：

； （8）；

（1）（2）

；

；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）若

二、经典范例及练习

则。

（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）

（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点

13

及斜率，其求法为：设

方程为：

．若曲线

是曲线

在点．）

上的一点，则以的切点的切线

的切线平行于轴（即导

数不存在）时，由切线定义知，切线方程为

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

例1 曲线

在点

处的切线方程为（ ）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

解：由

，即

则在点处斜率，故所求的切线方程为

，因而选Ｂ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线

的平行的抛物线

的切线方程是（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

解：设为切点，则切点的斜率为．

．

由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用

14

法加以解决，即设切线方程为，

代入，得，又因为，得，故选Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线

上的点

的切线方程．

解：设想为切点，则切线的斜率为．

切线方程为．

．

又知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，或．

故所求切线方程为

，或

．

，或，即

评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以

为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用

待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4 求过点且与曲线相切的直线方程．

15

解：设为切点，则切线的斜率为．

切线方程为，即．

又已知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，即．

评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充

分反映出待定切点法的高效性．

例5 已知函数

，过点

作曲线

的切线，求此切线方程．

解：曲线方程为，点不在曲线上．

设切点为，

则点的坐标满足．

因，

故切线的方程为．

点在切线上，则有．

化简得，解得．

所以，切点为，切线方程为．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一

16

或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。

（二）判断分段函数的在段点处的导数

例 已知函数，判断在处是否可导？

分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．

解：

∴在处不可导．

说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即包括

；

，当；

，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、

右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数． 练习

1、(1)设函数在处可导，且，求；

(2)已知，求17

.

解：(1)由已知条件和导数的定义，可得： ，

当时，

.

(2)解法一：

解法二：令，则

从而由导数乘法的计算公式得

所以

2．求下列函数的导数

(1) (2) (3)

(5)

(1) ，

(2)

18

(3) .

(4)

(5)∵，

∴

归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力．

（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导．

（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．

3．已知曲线.

（1） 求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线过点的切线方程。

解：(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为19

即

(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率

为，切线方程为，因为点在切线上，所

以

或

，解得

或，故所求的切线的方程为：

注意区分在点处的切线方程与过点的切线方程

4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A． B． C． D．

分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积．

解：∵曲线在切点的切线的斜率为，

∴切线方程为.

当时，切线与轴交于点；当时，切线与轴交于点．

所以切线与坐标轴所围三角形面积为4、已知抛物线称是和方程．

：的公切线．若

和和

：

．

，如果直线同时是

和

的切线，

有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的

分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线和的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题．

20

解：设抛物线则在点

上的切点为， ，

处切线的斜率为

所以抛物线即

在点处的切线方程是：…………………①

.

同理，设曲线则曲线在点

上的切点为处的切线方程是

，

………………②

如果直线是过消去

得方程

和的公切线，则①式和②式都是的方程，则

.

若判别式时，即时，得，此时点和重合．

即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为

5、已知函数处的切线方程为

，求函数

为偶函数，它的图象过点的解析式．

，且在

解：∵函数图象过点，∴.

∵函数是偶函数，∴.

∴，即.

∴，∴.

当，，对于直线

21

可得，即切点为.

∴点也在函数图象上，即.

由，解得.

∴.

6、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系

中，不可能正确的是（ ）

分析：由

的图象可观察出

在不同区间的符号，从而判断出

的图象．

在不同

区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到

解：如图A、B、C三个图中两条曲线可分别作为意．对于D，若上一条曲线为曲线为

的图象，则

的图象，则

和的图象，符合题

为增函数，不符合；若下一条

为增函数，也不符合．故选D．

7、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )

A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3) C．(-∞,- 3)∪(3,+∞) D．(-∞,- 3)∪(0, 3)

＞

[解析]：∵当x＜0时,

∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，

＞0 ，即

又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0

22

故当时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，

当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0 故当故选D

时，f(x)g(x)＜0

8、已知向量的取值范围．

若函数在区间上是增函数，求

分析：已知在区间上单调递增，则在此区间上一定有恒

成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可．

解：依定义，

则.

若在上是增函数，则在上恒成立．

即在区间上恒成立．

令函数，

由于的图象的对称轴为，开口向上的抛物线，故使

．

在区间

上恒成立，只须

而当时，在上满足，即在上是增函数．

故的取值范围是．

9、已知函数，

23

（1）如，求的单调区间；

（2）若在单调增加，在单调减少，证明.

分析：第（2）问函数得到参数

在、、的左右两侧单调性相反，因此可以由

得到

是方程

的关系，从而进行消元；再由

的代数式，证明结论．

的根，求出

解：（1）当时，，

故

.

当或时，；

当或时，．

从而(2)

在上单调递增，在单调递减．

.

由条件得：，即，故，从而

因为，

所以

24

将右边展开，与左边比较系数得，．

故．

又，即．由此可得．

于是.

归纳小结：（1）本题考查函数的单调性、极值、导数、函数等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．

（2）本题可以推广为在上是增函数，在

在

上是减函数，则解决参上恒成立；②

数问题只能通过解决两个最值问题加以解决：①

在

上恒成立．

10、已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式的最大值．

对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求

分析：第（I）求单调区间可以利用解不等式或解决．第（Ⅱ）

问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解．

解：（1）函数的定义域是，

.

设，则25

．

令，则．

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数．

所以在处取得极大值，而，所以，

函数在上为减函数．

于是当时，，当时，．

所以，当时，在上为增函数.

当时，，在上为减函数．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）不等式等价于不等式．

由知，，∴

不妨令，，则设．

则．

由（Ⅰ）知，即

26

所以于是在上为减函数.

故函数在上的最小值为．

所以的最大值为．

归纳小结：本题考查了利用导数求复杂函数的单调区间和利用单调区间求最值问题，考查了转化和整合思想，对计算和恒等变形、归纳推理能力有较高的要求．

11、.已知函数的切线方程为单调区间.

. （Ⅰ）求函数

的图象过点P（0,2）,且在点M

的解析式；（Ⅱ）求函数

处的

解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，

所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得 当

27

当

故内是增函数，

在内是减函数，在内是增函数.

12、设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

解：

若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾

若， ∴ ，也只有一个单调区间，矛盾

若 ∵ ，此时恰有三个单调区间

∴ 且单调减区间为和，单调增区间为

小结

1．当

时，

是增函数；当

时，

是减函数．用导数法研

究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的．

2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．

3．或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在28

某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是立．

4．本专题易错点主要有：

（）在该区间上恒成

①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；

②求函数的单调区间实际上是不等式已知函数在区间

（）对应的解集；但如果问题是

（或

上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式

）恒成立问题．

29

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/drh7.html