人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 系数a?0，而b，? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，? 二次函数各种形式之间的变换

2? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其

b4ac?b2中h??，k?.

2a4a? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；

②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； ? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐

标）. ? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的

二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

? 二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

? 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式

y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点

c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?0，22?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

? 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. ? 二次函数y?ax2的性质

a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 0? ?0，对称轴 y轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小a?0 向下 0? ?0，y轴 值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 1

? 二次函数y?ax2?c的性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 c? ?0，y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 c? ?0，y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． ? 二次函数y?a?x?h?的性质：

2a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 0? ?h，X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 0? ?h，X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． ? 二次函数y?a?x?h??k的性质

2a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，k? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，k? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． ? 抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

? a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，

开口向下；

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a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??直线x?0.

b4ac?b2（?，）? 顶点坐标：

2a4a? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，

那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

? 抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系 ? 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，ab.特别地，y轴记作2a的大小决定开口的大小．

? 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

2a当b?0时，?⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

当b?0时，?总结：

? 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，

3

? 求抛物线的顶点、对称轴的方法

b?4ac?b2?2? 公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是

2a?4a?bb4ac?b2（?，），对称轴是直线x??.

2a2a4a2? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形

式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以

对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式

? 一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择

一般式.

2? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

y?a?x?x1??x?x2?.

? 直线与抛物线的交点

? y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

? 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点

(h,ah2?bh?c).

? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点

的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

? 平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

? 一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的

?y?kx?n图像G的交点，由方程组 ?的解的数目来确定：①方程2?y?ax?bx?c组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点. ? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点

为A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

bcx1?x2??,x1?x2?aa2AB?x1?x2?

?x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????

aaa?a?4

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? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式

或顶点式表达 ? 关于x轴对称 y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

22? 关于y轴对称 y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

22? 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c；

22 y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；

? 关于顶点对称

b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；

2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

22? 关于点?m，n?对称

y?a?x?h??k22关于点?m，n?对称后，得到的解析式是

y??a?x?h?2m??2n?k

? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定

不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

? 二次函数图象的平移

? 平移步骤：

2k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

?

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 5

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