高考题型专题冲刺精讲(数学)专题四:函数与导数(学生版)

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2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题四 函数与导数

【命题特点】

函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程,又是学习高等数学的基础,是高考数学中极为重要的内容,纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题,函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题,分值 26 分左右,函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制,这不仅是由教学内容要求的差异所决定的,也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题,其解析式只能选用多项式函数;而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题,充分与函数相结合.其主要考点:(1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值);

(2)考查原函数与导函数之间的关系;(3)考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点:①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值;②与导数的几何意义相结合的函数综合题,利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值,属于中档题;③利用导数求实际应用问题中最值,为中档偏难题.

复习建议:复习时,考生要“回归”课本,浓缩所学的知识,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。同时,许多高考试题在教材中都有原型,即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此,考生必须利用好课本,夯实基础知识。【试题常见设计形式】

函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大,考查时有一定的综合性,并与数学思想方法紧密结合,对数学思想方法进行深入的考查,这种综合地统揽各种知识、方法和能力,在函数的考查中得到了充分的体现,函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制,这既是由教学内容要求的差异所决定的,也与文、理科考生的思维水平差异有关,文科卷中的解答题,其解析式一般选用多项式函数;理科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题,充分与函数相结合.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;2考查以函数为载体的实际应用题,主要是首先建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解.

【突破方法技巧】

1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响

2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,扬长避短

3.对于含参数的函数,研究其性质时,一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对二次项含参数的

二次函数问题,应分a =0和a ≠0两种情况讨论,指、对数函数的底数含有字母参数a 时,需按a >1和0

<a <1分两种情况讨论

4.解答函数性质有关的综合问题时,注意等价转化思想的运用.

5.在理解极值概念时要注意以下几点:①极值点是区间内部的点,不会是端点;②若()f x 在(a ,b )内有极值,那么()f x 在(a ,b )绝不是单调函数;③极大值与极小值没有必然的大小关系;④一般的情况,当函数()f x 在[a ,b ]上连续且有有限个极值点时,函数()f x 在[a ,b ]内的极大值点和极小值点是交替出现的;⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条件(对于可导函数而言).而充分条件是导数值在极值点两侧异号

6.求函数的最值可分为以下几步:①求出可疑点,即/()f x =0的解x 0;②用极值的方法确定极值;③将(a ,b )内的极值与()f a ,()f b 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当()f x 在(a ,b )内只有一个可疑点时,若在这一点处()f x 有极大(小)值,则可以确定()f x 在该点处了取到最大(小)值

7.利用求导方法讨论函数的单调性,要注意以下几方面:①'()f x >0是()f x 递增的充分条件而非

必要条件('()f x <0亦是如此);②求单调区间时,首先要确定定义域;然后再根据'()f x >0(或'()f x <0)解出在定义域内相应的x 的范围;③在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明

8.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现,解决这类问题要注意:(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题;(2)及时地进行思维的转换,将问题等价转化; (3)不等式证明的方法多,应注意恰当运用,特别要注意放缩法的灵活运用;(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.

【典型例题分析】

考点一、利用导数求解函数的单调性问题

若f(x)在某区间上可导,则由f '(x)>0(f '(x)<0)可推出f(x)为增(减)函数,但反之则不一定,

如:函数f(x)=x 3在R 上递增,而f '(x)≥0.f(x)在区间D 内单调递增(减)的充要条件是f '(x 0)≥0(≤0),

且f '(x)在(a ,b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间;(2)根据函数的单调性函数求解参数问题;(3)求解与函数单调性相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.

【例1】2010课标全国Ⅰ、设函数2()1x f x e x ax =---。(Ⅰ)若0a =,求()f x 的单调区间;(II )

若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围

【例2】2010北京、已知函数f (x )=In(1+x )-x +22

x x (k ≥0)。(Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(Ⅱ)求f (x )的单调区间。

【例3】2010天津、已知函数()f x =xe -x

(x ∈R ).(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数y=()g x 的图象与函数y=()f x 的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,()f x >()g x (Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>

【例4】2010山东已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈.(Ⅰ)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)

设2()2 4.g x x bx =-+当14

a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数

b 取值范围.

考点二、 求函数的极值问题

极值点的导数一定为0,但导数为0的点不一定是极值点,同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型:(1)根据函数解析式求极值;(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.

【例5】2010江西文17.(本小题满分12分)设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.(1)若()f x 的两个极值点为12,x x ,且121x x =,求实数a 的值;(2)是否存在实数a ,使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.

【例6】2010全国I 文已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++(I )当16a =

时,求()f x 的极值;(II )若()f x 在()1,1-上是增函数,求a 的取值范围

【例7】2010北京文设定函数32()(0)3

a f x x bx cx d a =+++>,且方程'()90f x x -=的两个根分别为1,4。(Ⅰ)当a=3且曲线()y f x =过原点时,求()f x 的解析式;(Ⅱ)若()f x 在(,)-∞+∞无极值点,求a 的取值范围。

考点三、求解函数的最值问题

函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果,因此函数在闭区间[a ,b]上的端点函数值一定不是极值,但它可能是函数的最值.同时,函数的极值不一定是函数的最值,最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题,还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型:(1)根据函数的解析式求函数的最大值;(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.

【例8】2010福建文已知函数f (x )=

3213

x x ax b -++的图像在点P (0,f(0))处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b 的值;(Ⅱ)设g (x )=f(x)+1m x -是[2,+∞]上的增函数。 (i )求实数m 的最大值; (ii)当m 取最大值时,是否存在点Q ,使得过点Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。

【例9】2010江西设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。(1)当a=1时,求()f x 的单调区间。(2)若()f x 在(]01,上的最大值为12,求a 的值。

【例10】2010辽宁已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f (I )讨论函数)(x f 的单调性;(II )设1-

如果对任意),0(,21+∞∈x x ,||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围。

【例11】2010广东省文、已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+,其中常数k 为负数,且()f x 在区间[]0,2上有表达式()(2)f x x x =-.(1) 求(1)f -,(2.5)f 的值;(2)写出()f x 在[]3,3-上的表达式,并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性;(3)求出()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

考点四、函数与导数综合问题

导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情,对函数的命题已不再拘泥于一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于求定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性,周期性等,而是把高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象,试题的命制往往融函数,导数,不等式,方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思维,解决单调性,极值,最值,切线,方程的根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

【例12】2010全国I 理 (20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.(Ⅰ)若

2'()1xf x x ax ≤++,求a 的取值范围;

(Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ .

【例13】2010陕西、已知函数()f x g (x )=alnx ,a ∈R 。(Ⅰ)若曲线y=()f x 与曲线y=()g x 相交,且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程;(Ⅱ)设函数h(x)= ()f x ()g x -,当h(x)存在最小之时,求其最小值?(a )的解析式;对(Ⅱ)中的()a ?,证明:当a ∈(0,+∞)时,()a ?≤1. 考点五、导数与数学建模的问题

此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题,旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料,能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,这是高考中的一个热点. 解答类似于本题的问题时,可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量,建立函数模型,然后根据目标函数的结构特征(非常规函数),确定运用导数最值理论去解决问题.

【例14】2010湖北、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系:()()01035

k C x x x =≤≤+,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(Ⅰ)求k 的值及()f x 的表达式;(Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用()f x 达到最小,并求最小值.

【例15】某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管

道的总长为y km .

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:

①设∠BAO=θ(rad),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP x =(km) ,将y 表示成x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.

【突破训练】

1、已知函数()f x =x 3+bx 2

+ax +d 的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(Ⅰ)求函数y=()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数y=()f x 的单调区间.

2、已知定义在R 上的函数()f x =x 2(ax -3),其中a 为常数.(Ⅰ)若x =1是函数()f x 的一个极值点,求a 的值;(Ⅱ)若函数()f x 在区间(-1,0)上是增函数,求a 的取值范围

3、设函数()f x =(x +1)ln(x +1),若对所有的x ≥0,都有()f x ≥ax 成立,求实数a 的取值范围.

4、2010天津市文、已知函数()f x =3231()2

ax x x R -+∈,其中a>0. (Ⅰ)若a=1,求曲线y=()f x 在点(2,f (2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间11,22??-

????

上,()f x >0恒成立,求a 的取值范围. 5、2010浙江文、已知函数()f x =(π-a )(a -b )(a ,b ∈R ,a

6、已知函数()f x =kx +1x 2+c (c >0,且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x =-C

B P O A

D

c .(Ⅰ)求函数()f x 的另一个极值点;(Ⅱ)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求M -m≥1时k 的取值范围.

7、2010全国II 理、设函数()1x f x e -=-.(Ⅰ)证明:当x >-1时,()1x f x x ≥

+; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1

x f x ax ≤+,求a 的取值范围. 8、2010重庆、已知函数)1ln(1)(+++-=x a

x x x f ,其中实数1-≠a .(Ⅰ)若2=a ,求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程;

(Ⅱ)若)(x f 在1=x 处取得极值,试讨论)(x f 的单调性.

9、2010四川、设11x

x a f (x )a

+=-(0a >且1a ≠),g (x )是f (x )的反函数.(Ⅰ)设关于x 的方程217a t log g(x )(x )(x )

=--在区间[2,6]上有实数解,求t 的取值范围;(Ⅱ)当a =e (e 为自然对数的

底数)时,证明:2

2

n k g(k )=>∑;(Ⅲ)当0<a ≤12时,试比较1n k f (k )n =∣-∣∑与4的大小,并说明理由.

10、2010江苏、设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ,

其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质

)(a P .(1)设函数)(x f 2ln (1)1

b x x x +=+

>+,其中b 为实数.(i)求证:函数)(x f 具有性质)(b P ;(ii)求函数)(x f 的单调区间.(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ,给定12,(0,)x x ∈+∞,12x x <,设m 为实数, 21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,

且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围.

11、2010湖南文、已知函数()(1)ln 15a f x x a x a x

=++-+,其中a <0,且a ≠-1.(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)设函数322(23646)e ,1,()e (),1

x x ax ax a a x g x f x x ?-++--≤=??>?(e 是自然对数的底数).是否存

在a ,使()g x 在[a ,-a ]上为减函数?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

12、甲方是一农场,乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补

经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格),(Ⅰ)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(Ⅱ)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?

13、两县城A 和B 相距20km ,现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾

处理厂建在

的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065.

判断弧

(1)将y 表示成x 的函数;(11)讨论(1)中函数的单调性,并上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城A 的距离;若不存在,说明理由。

14、已知关于x 的函数3

21()3

f x x bx cx bc =-+++,其导函数为()f x '.令()()

g x f x '=,记函数()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M . (Ⅰ)如果函数()f x 在1x =处有极值4

3

-,试确定b 、c 的值:

(Ⅱ)若1b >,证明对任意的c ,都有2M >; (Ⅲ)若M k ≥对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值。

15、已知函数3

2

2

3

()39f x x ax a x a =--+.

(Ⅰ)设1a =,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)若14

a >,且当[]1,4x a ∈时,)('

x f ≤12a 恒成立,试确定a 的取值范围.

16、已知函数3

21()3

f x x ax bx =

++,且'(1)0f -=(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间;(2)令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点M (1x ,1()f x ),N(2x ,2()f x ),

P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:(I )若对任意的m ∈(1x , x 2),线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论;(II )若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点,请直接写出m 的取值范围(不必给出求解过程)

17、设函数()2()ln 1f x a x =x ++有两个极值点1212x x x x ,,且<。

(Ⅰ)求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)证明:212ln 2()4f x ->

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/drce.html

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