三、多维随机变量及其分布（参考答案）

概率论与数理统计练习题

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第三章 多维随机变量及其分布（一）

一、填空题：

?Axy2,0?x?1,0?y?11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则常数

?0,其他A? 6 。

2、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)???Aarctanx?arctany,x?0,y?0，则常数

?0,其他A? 4 。 2?二、计算题：

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

?0若第一次出的是正品?0若第二次出的是正品 X?? ， Y??

1若第一次出的是次品1若第二次出的是次品??试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样 （2）不放回抽样 Y 0 1 Y 0 1 X X 0 25/36 5/36 0 15/22 5/33 1 5/36 1/36 1 5/33 1/66

2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求

X Y 13（1）P{?X?,0?Y?4}，

22（2）P{1?X?2,3?Y?4}

1201/430041/161/40123 1/41/1601/161/16 解：（1）P{?X?123,0?Y?4} 21,Y?2)?P(X?1,Y? ?P(X?1,Y?1)?P(X? 3) ?1 4 （2）P{1?X?2,3?Y?4}

?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3)?P(X?2,Y?4) ?

3．设随机变量(X,Y)的联合分布律如表：

求：（1）a值； （2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y) （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y) 解：（1） 由归一性

Y ?1 0 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a 115?? 16416111p????a?1 ??ij446ij 解得 a?1 3 （2）(X,Y)的联合分布函数为

?0?1??4??5F(x,y)???12?1?2???1

x?0或y??11?x?2,?1?y?0x?2,?1?y?0 1?x?2,y?0x?2,y?0 （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数为：

?0?1? FX(x)???2??1

?0?5?1?x?2 Fy(y)???12x?2??1x?1y??1?1?y?0 y?04．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???k(6?x?y)0

0其他? （1）常数k； （2）求P{X?1,Y?3}； （3）P{X?1.5}； （4）P{X?Y?4} 解：（1）由归一性 F(??,??)? 所以 k?1

3111173dx(6?x?y)dy?(?x)dx? ???0208828411.511.527 （3）P{X?1.5}??dx?(6?x?y)dy??(6?2x)dx?

2808032?20dx?k(6?x?y)dy??k(6?2x)dx?8k?1

2042 （2） P{X?1,Y?3}? （4）P{X?Y?4}?1(6?x?y)dxdy ??8x?y?44?x12dx(6?x?y)dy ??02812(12?8x?x2)dx ??1602 ?

3 ?

概率论与数理统计练习题

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第三章 多维随机变量及其分布（二）

一、选择题：

221、设随机变量X与Y独立，且X?N(?1,?1),Y?N(?2,?2)，则Z?X?Y仍服从正态分布，

且有 [ D ]

22（A）Z?N(?1??2,?12??2) (B) Z?N(?1??2,?12??2) 22 (C) Z?N(?1??2,?12??2) (D) Z?N(?1??2,?12??2)

2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则 [ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布 （B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布 （D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题：

?2xy?x?,0?x?1,0?y?21、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??， 3?其他.?0,则P(X?Y?1)?

31 。 3611?x11xy2x25x231(x?)dy?1??(???x3)dx?

036363621?P(X?Y?1)?1??dx?00?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}与

??0,其他B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?3，则a? 4a034 。

P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x2a3dx?1? 88P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]2

a3a32a63? ?2(1?)?(1?)?1?88644三、计算题：

ab,P{Y??k}?2,(k?1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)kk的联合概率分布以及X?Y的概率分布。

1．已知P{X?k}? 解：由归一性

?P(X?k)?a?k6aa11a???1 所以 a?

1123636bb49b ???1 所以 b?494936 Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 由归一性

?P(Y??k)?b?k(X,Y)的联合概率分布

由于 P(X?Y??2)? P(X?Y??1)?24 539666? 5394925112672P(X?Y?0)? P(X?Y?1)? P(X?Y?2)?

539539539X?Y的概率分布为：

X?YP

?224539?16653901251126539539272 539?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率密度函

其他?0,数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z??f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy

?3?z0e?3x(1?e?4(z?x))dx

z ?(?e?3x?3ex?4z)|0 ?1?4e?3z?3e?4z

0? 即 FZ(z)???3z?4z?1?4e?3ez?0 z?00??3z?4z?12e?12ez?0 z?0 所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)?? 或 当z?0时，fZ(z)?0 当z?0时， fZ(z)? ??0????f(x,?zx) dx?z12e?3x?4(z?x)dx

z ?12e?4z?ex|0

?12e?4z?(ez?1)

所以 Z的概率密度函数为 fZ(z)??

（2）由于fX(x)? fY(y)?0??3z?4z12e?12e???z?0 z?0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydy?3e?3x

0??0?????f(x,y)dy??12e?3x?4ydx?4e?4y

则X与Y相互独立。 当z?0时，FM(z)?0

当z?0时，FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z)

?FX(z)FY(z)?(1?e?3z)(1?e?4z) 所以 fM(z)??0??3z?4z?4z?3z?3e(1?e)?4e(1?3)z?0 z?0z?0 z?00????3z?4z?7z??3e?4e?7e（3） 当z?0时，FN(z)?0 当z?0时，

FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z)

?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?e?3ze?4z?1?e?7z

所以 fN(z)??

3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。 解：（1）fZ(z)??0?7z?7ez?0 z?0??????z?x? 1)fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0 当z?0或z?2时，fZ(z)?0 当0?z?1时，fZ(z)? 当1?z?2时，fZ(z)??1z0dx?z dx?2?z

?z?10?z?1?z? 所以，fZ(z)??2?z1?z?2

?0其他?

（2）当u??1时，FU(u)?0；当u?2时，FU(u)?1 y?u 当?1?u?0时，FU(u)??1?udy?20dx??1y?u?u2dy?14(1?2u?u2)； 1y?u 当0?u?1时，FU(u)??20dy?0dx?14(1?2u)； 当1?u?2时，F12x?uU(u)?1??dy?u?u2udx2?04

??0u??1?1?(1?2u?u2)?1?u?0 即 U?2X?Y的分布函数为： F?4?1U(u)??(1?2u)0?u?1 ?4?u2?u?1?u??42??1u?2 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：

??1u2?2?1?u?0?f(u)?F(u)???10?u?1UU??

?2?1?u1?u?2?2??0其它

4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为f(x)???10?x?1?Ae?yX?0其它，fY(y)???0求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 解：（1） 由于1?F?yY(??)????0Aedy??Ae?y|??0?A，所以A = 1

（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

y?0y?0，

fZ?z???????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）

当Z?0时，fZ?z??0 当0?z?1时，fZ?z?? 当z?1时， fZ?z???z01?e?(z?x)dx?e?z?exdx?1?e?z

01z?1e?(z?x)dx?e?z?exdx?e?z?1?e?z

00

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