2021届高考数学一轮复习训练概率与统计

专题七

概率与统计

1.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图Z7-1)，将日均课外体育锻炼时间不低于40

分钟的学生评价为“课外体育达标”.

图Z7-1

(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01

分类课外体育不达标课外体育达标合计

男60

女110

合计

(2)8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

参考公式：K2＝n(ad－bc)2

.

P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 3.841 5.024 6.6357.87910.828

2.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图Z7-2.

(1)求获得复赛资格应划定的最低分数线；

(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人？

(3)从(2)抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X表示得分在(110,130]中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在(110,130]给予500元奖励，若该生分数在(130,150]给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望.

图Z7-2

3.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6个省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计

用电量

/千瓦时

(0,200](200，400](400，600](600，800](800，1000] 户数/户7815137

数学期望；

(2)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/千瓦时的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000千瓦时，试估计该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？

4.某重点中学将全部高一新生分成

A，B两个成绩相当(成绩的均值、方差都相同)的级部，

A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，得到如下数据：

A级部

B级部

图Z7-3

记成绩不低于130分者为“优秀”.

(1)根据频率分布直方图(图Z7-3)，分别求出A，B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值(精确到0.01)，根据这些数据初步分析A，B两个级部的数学成绩的优劣.

(2)根据频率分布直方图(图Z7-3)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握

分类优秀不优秀合计

A级部

B级部

合计

(3)①现从所抽取的B25人，再从这25人中随机抽出2人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，求抽出的两人中至少有一个为“优秀”的概率；

②将频率视为概率，从B级部所有学生中随机抽取25人去参加“信息化的自主学习”的

P(K2≥k)0.1000.050.0250.0100.001

k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828

附：K2＝n(ad－bc)

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

.

5.PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，

空气污染越严重.下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采用时间 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 第七周 “绿色出行”的人数x /万人

1 2 4 5 6 8 9 PM2.5的值y 100 80 50 40 35 25 20

(计算结果保留两位小数)

(2)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预测第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)

(3)若PM2.5的值在(0,50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中任意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.

附：b ^＝1

221n i i i n i i x y nx y x

nx ==--∑∑＝12

1()()()n i i

i n i i x x y y x x ==---∑∑，a ^＝y －b ^x .

6.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B ＋、B 、C ＋、C 、D ＋、D 、E 共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到

[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.

某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,169).

(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；

(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间

[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.

[附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997]

7.某水产品经销商销售某种鲜鱼，平均售价为每千克20元，平均成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，折价处理平均每千克损失3元.该经销商根据以往每天该种鲜鱼的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图Z7-4所示的频率分布直方图，视频率为概率.

(1)求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率；

(2)在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.

①求日需求量X的分布列；

②根据经验，该经销商计划每日进货300千克或400千克，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300千克还是400千克？

图Z7-4

8.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400

千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；

(2)为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图Z7-5所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的80%，求a，b的值；

(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望.

图Z7-5

专题七 概率与统计

1．解： (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，

∴K 2＝200×(60×20－30×90)90×110×150×50

＝20033≈6.061<6.635. ∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关．

(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：X 的所有可能取值为1,2,3，

P (X ＝1)＝C 16C 22C 38＝656＝328

； P (X ＝2)＝C 26

C 12C 38＝3056＝1528

； P (X ＝3)＝C 36C 38＝2056＝514

. 故X 的分布列为

故X 的数学期望为E (X )＝1×328＋2×1528＋3×514＝94

. 2．解：(1)由题意知分数在(30,90]内的频率为：20×(0.0025＋0.0075＋0.0075)＝0.35， 分数在(110,150]内的频率为：20×(0.0050＋0.0125)＝0.35， ∴分数在(90,110]的频率为：1－0.35－0.35＝0.3，

从而分数在(90,110]的频率组距＝0.320＝0.015, 假设最低分数线为x ，由题意得0.35＋(x －90)×0.015＝0.5，解得x ＝100.

故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分．

(2)在区间(110,130]与(130,150]的频率之比为0.0125∶0.0050＝5∶2,

在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，

应在区间(110,130]与(130,150]各抽取5人，2人．

(3)X 的可能取值为2,3,4，则：

P (X ＝2)＝C 25C 22C 47＝27

； P (X ＝3)

＝C 35C 12C 47＝47

； P (X ＝4)＝C 45C 02C 47＝17

. 从而Y 的分布列为

∴E (Y )＝2600×27＋2300×47＋2000×17＝16 4007

(元)． 3．解： (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600千瓦时为事件

A ，则P (A )＝35

. 由已知可得从该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600千瓦时的户数为X ，

X 服从二项分布，即X ～B ????10，35，故E (X )＝10×35

＝6. (2)设该县居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得E (Y )＝100×750＋300×850＋500×1550

＋700×1350＋900×750

＝520(千瓦时)，则该村年均用电量约156 000千瓦时． 又该村所装发电机组年预计发电量为300 000千瓦时，故该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能剩余电量约144 000千瓦时，能为该村创造直接收益144 000×0.8＝115 200元．

4．解： (1)设A 级部的数学成绩的中位数为x ，

则0.18＋0.23＋(x －110)×0.029＝0.5.解得x ≈113.10.

众数：110＋1202

＝115(分)． 设B 级部的数学成绩的中位数为y ，

则0.08＋0.16＋0.24＋(y －120)×0.028＝0.5.解得y ≈120.7.

众数：120＋1302

＝125(分)． 从A ，B 两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值看，B 级部的数学成绩的两个数据都大于A 级部的数据，故初步分析B 级部的数学成绩优于A 级部的数学成绩．

(2)

由列联表可知K 2的观测值＝200×(93×24－76×7)169×31×100×100

≈11.033＞6.635. ∴有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关．

(3)①依题意B 级部的100个样本利用分层抽样的方法再抽取的25人中“优秀”的有6人，“不优秀”的有19人．则从这25人中随机抽出2人至少有一个为“优秀”的概率为

p ＝1－C 219C 225＝43100

＝0.43. ②由题意可知，随机变量X 服从二项分布X ～B (25,0.24)， 则E (X )＝6；D (X )＝25×0.24×0.76＝4.56.

5．解：(1)由题意知：

x ＝1＋2＋4＋5＋6＋8＋97

＝5， y ＝100＋80＋50＋40＋35＋25＋207

＝50， 71i x =∑i y i

＝1250，71i x =∑2i ＝227，

∴b ^＝71

722177i i

i i i x y xy x x

==--∑∑＝1250－7×5×50227－7×5

2＝－9.62，a ^＝y －b ^x ＝98.10， 故y 关于x 的线性回归方程为：y ^＝－9.62x ＋98.10.

(2)当人数为10万人时，即x ＝10时，y ^＝－9.62×10＋98.10＝1.9，故人数为10万人时，

PM2.5的值为1.9.

(3)由题意可知，第一周到第七周内有五周空气质量为优．则随机变量X 的可能取值为1,2,3，

P (X ＝1)＝C 22C 15C 37＝535＝17

； P (X ＝2)＝C 12C 25C 37＝2035＝47

； P (X ＝3)＝C 02C 35C 37＝1035＝27

. ∴X 的分布列如下

∴E (X )＝1×17＋2×47＋3×27＝157

. 6．解：(Ⅰ)∵物理原始成绩ξ～N (60,132)，

则P (47<ξ<86)＝P (47<ξ<60)＋P (60≤ξ<86)

＝0.6822＋0.9542

＝0.818， ∴物理原始成绩在(47,86)的人数为2000×0.818＝1636(人)．

(Ⅱ)随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]的概率为25

， ∴随机抽取3人，则X 可取0,1,2,3，且X ～B ???

?3，25， P (X ＝0)＝????353＝27125；P (X ＝1)＝C 13·25·????352＝54125

；P (X ＝2)＝C 23·????252·35＝36125；P (X ＝3)＝????253＝8125

. ∴X 的分布列为

数学期望E (X )＝3×25＝65

. 7．解：(1)由频率等于概率，因此利用频率分布直方图结合频率＝组距×频率组距

，可求出各日需求量所在区间的概率；(2)先根据频率分布直方图计算出销售量不低于350千克和低于350千克的概率，结合相互独立事件公式求①；②分别计算出进货300千克和400千克时，利润的分布列，求出各期望值，通过期望值中的比较选择期望值较大的一个．

(1)由频率分布直方图可知，

日销售量不低于350千克的概率为

(0.002 5＋0.001 5)×100＝0.4，

则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192.

(2)①X 可取100,200,300,400,500，

P (X ＝100)＝0.001 0×100＝0.1；

P (X ＝200)＝0.002 0×100＝0.2；

P (X ＝300)＝0.003 0×100＝0.3；

P (X ＝400)＝0.002 5×100＝0.25；

P (X ＝500)＝0.001 5×100＝0.15.

∴X 的分布列为

②当每日进货300千克时，利润Y 1可取－100,700,1500，

此时Y 1的分布列为

此时利润的期望值E (Y 1)＝1180(元)； 当每日进货400千克时，利润Y 2可取－400,400,1200,2000，

此时Y 2的分布列为

此时利润的期望值2×0.4＝1 200(元)． ∵E (Y 1)＜E (Y 2)，

∴该经销商应该选择每日进货400千克．

8．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；

当200

当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140，

∴y 与x 之间的函数解析式为：

y ＝????? 0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200

x －140，x >400.

(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，

结合频率分布直方图可知：?

???? 0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，100a ＋0.05＝0.2， ∴a ＝0.0015，b ＝0.0020；

(3)由题意可知X 可取50,150,250,350,450,550.

当x ＝50时，y ＝0.5×50＝25，∴P (y ＝25)＝0.1，

当x ＝150时，y ＝0.5×150＝75，∴P (y ＝75)＝0.2，

当x ＝250时，y ＝0.5×200＋0.8×50＝140，

∴P (y ＝140)＝0.3，

当x ＝350时，y ＝0.5×200＋0.8×150＝220，

∴P (y ＝220)＝0.2，

当x ＝450时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，

∴P (y ＝310)＝0.15，

当x ＝550时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410，

∴P (y ＝410)＝0.05，

故Y

∴随机变量Y E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dr1e.html