应用统计学（含答案）

概率论与数理统计复习题一

1.设A，B是两个事件，P(A)?P(B)?解：P(A|B)?11,P(A|B)?，求P(A|B)。 36P(AB)1?P(A?B)1?P(A)?P(B)?P(AB)7???

1?P(B)1?P(B)12P(B)

2.有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有一门火炮命中目标的概率。 解：设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙火炮命中目标

（1）P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?0.8?0.7?0.5?0.72

（2）

P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?0.47

3.盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求： （1） X的分布律；

（2） 求概率P{X?3}。 解：X的全部可能取值为1，2，3，4 (1)

P{X?1}?1013，

P{X?2}?310?1312，

P{X?3}?3210??131211，

P{X?4}?1?P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}

X的分布律为: X 1 2 3 4 5 2625(2)P{X?3}?P{X?1}?P{X?2}?

26pk 10 135 1431 286

2

4.某汽车加油站的油库每周需油量X(kg)服从N（500，50）分布.为使该站无油可售的概率

)?0.99） 小于0.01，这个站的油库容量起码应多大？（注：?(2.325解：设这个站油库容量为h（kg）时能满足题目要求，则

P(X?h)?0.01

即P(X?h)??(h?500h?500)?0.99，?2.325，由已知得：则h?616.25(kg). 5050

5.从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:

甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140 设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%

1

置信区间。

2（注：X?140.5,Y?138.5,S12?7.5,S2?7.1,t0.025(10)?2.2281）

____解?1???0.95,???0.05,__?2?0.025

__212222S12?S2?7.3可得 由已知可得X?140.5,Y?138.5,S?7.5,S?7.1,S??2S??2.7，两工厂生产的蓄电池的容量均值差的0.95的置信区间为 [X?Y?t0.025(6?6?2)S?____113?]?[140.5?138.5?2.2281?2.7?]?[2?3.47]=663[-1.47，5.47]

6.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,得子样观察值为：

甲：25，28，23，26，29，22； 乙：28，23，30，25，21，27。

假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平α=0.05，）？ （注s1?2.74;s2?3.33,t0.025(10)?2.228） 解：H0:?1??2H1:?1??2

检验统计量为t?X?Ysw11?n1n2，H0的拒绝域为W?{|t|?t?2(n1?n2?2)}

由已知得：n1?6,x?25.5,s1?2.74;于是

n2?6,y?25.67,s2?3.33.

sw?

2(n1?1)s12?(n2?1)s2?3.049n1?n2?2t?swx?y11?n1n2?25.5?25.673.04911?66??0.097.

对a?0.05,自由度n1?n2?2?10,由已知得ta2(n1?n2?2)?t0.025(10)?2.228.因为t?0.097?2.228,所以不拒绝H0,即可以认为两种香烟的尼古丁含量没有显著差异.

7.某公司所属8个企业的产品销售资料如下表：

2

企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 产品销售额（万元） 170 220 390 430 480 650 950 1000 销售利润（万元） 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0 要求： ①计算产品销售额与利润额之间的相关系数。 ②确定利润额对产品销售额的直线回归方程。

③确定产品销售额为1200万元时利润额的估计值。 解答：（1）r=0.9934

（2）b=0.0742， a=-7.273

（3）x=1200时，y=-7.273+0.0742×1200=81.77（万元）

8.在其他条件不变的情况下，某种商品的需求量（y）与该商品的价格（x）有关，现对给定时期内的价格与需求量进行观察，得到下表所示的一组数据。 价格x（元） 需求量y（吨） 10 60 6 72 8 70 9 56 12 55 11 57 9 57 10 53 12 54 7 70 要求：①计算价格与需求量之间的简单相关系数。

②拟合需求量对价格的回归直线。

③确定当价格为15元时，需求量的估计值

解答：（1）r=-0.8538

（2）b=-3.1209 a=89.74

（3）x=15 时，y=89.74-3.1209×15=42.93（吨）

9.若机床使用年限和维修费用有关，有如下资料： 机床使用年限（年） 维修费用（元） 2 40 2 54 3 52 4 64 5 60 5 80 计算相关系数，并判断其相关程度。 解：r?n?xy??x?yn?x?(?x)?n?y?(?y)2222?6?1300?21?3506?83?21?6?21316?35022?0.81

说明使用年限与维修费用间存在高度相关。

10.设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问： （1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？

解：（1）?0.7?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(S)?1，

即：0.3?P(AB)?0.6，所以（1）当A?B时，P(AB)最大，且P(AB)?P(A)?0.6，

3

（2）当A?B?S时，P(AB)最小，且P(AB)?P(A)?P(B)-P(A?B)?0.3。

11.袋中有3个白球和一个红球，逐次从袋中摸球，每次摸出一球，如是红球则把它放回，并再放入一只红球，如是白球，则不放回，求第3次摸球时摸到红球的概率？ 解:设Ai:第i次摸球时摸到红球(i?1,2,3)

P(A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)3213121321231?????????????4324344544562

12.从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差??40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。（注：z0.025=1.96）

解：这批显像管平均寿命的置信区间为

(X?z?/2??n)?(10000?z0.025?40)?(10000?1.96?4)?(9992.16,10007.84) 100

13.为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一个试验，用两架仪器同时对一组10只热炽灯丝作观察，得数据如下：

X（℃） 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 Y（℃） 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 其中X和Y分别表示用第一架和第二架高温计观察的结果，假设X和Y都从正态分布，且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（α

22=0.05）?（注：t0.05(18)?2.1009.2,y?1178,Sx?51975.21,SY?50517.33） .x?1169解：根据条件X~N(?1,?1),Y~N(?2?2),且?1??2.这里的问题归结为假设

2222H0:?1??2,对H1:?1??2检验问题。

由于两个总体X和Y的方差未知，但根据条件DX=DY，所以用t检验. 检验统计量为

t?swX?Y11?nm.

根据条件n?10,m?10,v?m?n?2?18,a?0.05.由已知得

t?(v)?t0.05(18)?2.1.于是，由知假设H0的否定域为

2W?{t?2.1}.

22由已知得x?1169.2,y?1178,Sx?51975.21,SY?50517.33.

4

S?

2w22(n?1)Sx?(m?1)Sym?n?2X?Y?9?51975.21?9?50517.33?51246.42.

18

t?Sw11?nm?1169.2?11781151246.42(?)1010??0.09.

由于t?0.09?2.10,所以不能否定假设H0.因此可以认为两架高温计所确定的温度读数之间无显著差异.

11，P(B)?。在下列三种情况下求P(BA)的值： 321（1）AB??；（2）A?B；（3）P(AB)?。

814.设P(A)?解：（1）由AB??，得B?A，所以BA?B。 P(BA)?P(B)?1； 21； 6 （2）当A?B时， P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)? （3）P(BA)?P(B)?P(AB)?3。 8

15.设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 解：设事件A=“从甲袋放入乙袋的是白球”， 事件B=“从乙袋中取出两白球”。

22C3C2311已知P(A)?,P(B|A)?2?,P(B|A)?2?

5515C6C6P(B)= P(BA)P(A)+P(BA)P(A)=

121311???? 1555575

16.从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是

1，求： 3（1）以X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律；

（2）以Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律； （3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。 解：（1）X~B(6,)

k?1?C6??13P{X?k}??2????3??3?k6?k,k?0,1,2,...,6

5

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