3-9章物理习题解答

第三章 流体的运动

习题解答

1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？

答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。

答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：

S0v0= S1v1+S2v2 +……+Snvn，则

12?dv2S2v2422d2v2502?1.4v1?????0.72 m/s

12n1d12n1S119?162n1?d14

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。

解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，p1=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：

S1v14.0?10?4?5.0v2???2.5( m/s） ?4S28.0?10(b) 根据伯努利方程知：

33

?水=1.0×10 kg/m

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，h2=0，22p2?112?v12??gh1?p1??v2??gh22211??1.0?103?52?1.0?103?10?10?1.5?105??1.0?103?2.5222?2.6?105(Pa)6．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？ 解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，p1=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2

12?dvS1v1411d12v1(2d2)2v2???2??1.00?4.00(m/s) 212S2d2d2?d24112?p2 (b) 根据伯努利方程知（水平管）：?v12?p1??v22211112p2??v12?p1??v2??103?1.002?1.96?105??103?4.002?1.885?1052222(Pa)

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？

解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，p1=p0，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2 22 由于S1<< S2，则v2=0，因此

11p2?p0??v12??gh1??103?1.22?103?9.8?0.6?6.6?103 (Pa)

22

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？

解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，p1=5.5×104Pa，p2=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1?p2)1222(p1?p2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?(5.5?4.1)?104 22??3.14?0.25?0.1?4103?(0.254?0.14)?4.2?10?2(m3/s)

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。

解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，?=0.645kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1-p2)1222?'g(h1?h2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?1.0?103?9.8?(0.040?0.098) 22??3.14?0.2?0.1?40.645?(0.24?0.14)?0.525(m3?s )

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。

解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：

v?2g(h1?h2)?2?9.8?(0.054?0.005)?0.98(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。

解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，?=2kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：

v?2?'gh??2?1.0?103?9.8?0.02?14(m/s)

2所以5min采集的CO2为：

V?Svt?10?10?4?14?5?60?4.2(m3)?4.2?103 (L)

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h1=0.30m，p1?p2?p0，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，由于S1>> S2，则v1=0，因此 22v2?2gh1?2?9.8?0.3?2.42 (m/s)

(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？

解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：?p?f4.9??4.08?104(pa)，根据水平管的伯努利方程知： ?4S11.2?10112?v12?p1??v2?p2 22 由于p1?p0??p，p2?p0，S1>> S2，则v1≈0，因此

v2?2?p1?p2)??2?p2?4.08?104??9 (m/s) 3?1?10根据连续性方程知：S1v1=S2v2

S2v20.25?10?6?9v1???0.0188(m/s) ?4S11.2?10t?l0.04??2.13(s) v10.0188

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最

高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，

pA?pD?p0=1.013×105 Pa，应用伯努利方程，则有：

1122?vA??ghA??vD??ghD 22vD?2g(hA?hD)?2ghAD?2?9.8?0.6?3.43 (m/s)

B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得： ?ghB?pB??ghD?pD

pB?pD??g(hD?hB)?1.013?105?103?9.8?(?0.60?1.20)?0.84?105(pa) (b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。 解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：

v2?2gh和Q2?S22gh

2Q2(1.50?10?4)2h?2??0.45(m) ?52S2?2g(5.0?10)?2?10

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？

解：已知截面积SC?S1SD，由连续性方程得vC?DvD?2vD，考虑到A2SC槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

vD?2gh

对C、D两点列伯努利方程：

3．一轻弹簧受29.43N的作用力时,伸长为9.0×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P=24.5N的重物，求此这重物的振动周期。

k?解：由胡克定律 F??kxF29.43?x9

??kmT?2???2?m k带入相关数值 T?2?

m24.5/9.82.5 ?2??2??2k32729.43/9?104．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。

5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1.0m/s2，乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz，求车辆振动振幅的最大允许值。

解：由加速度a?A?2有

A?a?1?1.13?10?2m

?2?2??1.5?2

6．质量为m、长圆管半径为r的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为

T?

2πm

rg?证：设坐标x向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被

向下压入水中偏离平衡位置的位移为x，比重计排开水的体积为V??r2x，其所受浮力为

F??V?gx???r2?gx

其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律F?ma有

d2xF???r?gx?ma?m2

dt2d2x?r2?gx?0 整理有 2?mdt令

?r2?gmd2x??，方程化为振动方程2??2x?0

dt2则 T?

2???2?m?r2?g?2m? 证毕

r?g7.当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是多少?找出dT/T与dg/g之间的关系式。

解：单摆周期与加速度关系为T?2?l1gdg

两边取微分，则当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是

dT??2?l?g?dT/T与dg/g之间的关系式

?3/2dT2?l?g???TT

?3/2dg??ldg 2g8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x1=4cos(3πt+π/3)和x2=3cos（3πt－π/6），试求它们的合振动的运动方程。

解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有

2A?A12?A2?2A1A2cos??42?32?2?3?4?cos(?)?5

36???3sin(?)36?0.128??tan?1???4cos?3cos(?)364sin??rad

?) 合振动方程为：x?5cos(3?t?0.128

9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x=Asinωt+Bsin2ωt。(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动？

解：(a)

v?dx?A?cos?t?2Bcos2?tdt

dva???A?2sin?t?4B?2sin2?tdt(b)不是简谐振动

10．已知平面波源的振动方程为y=6.0×10-2cos

π

t（m），并以2.0m/s的速度9

把振动传播出去，求：(a)离波源5m处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。 解：(a)

由已给方程可直接得到：??将x=5m代入波动表达式

?9,???11?,T??18s 2?18?m

?x?5y?6.0?10?2cos(t??)?6.0?10?2cos(t??)9u9185? (b)相位差???18

11．一平面简谐波，沿直径为0.14m的圆形管中的空气传播，波的平均强度为8.5×10-3Js-1m-2 ，频率为256Hz，波速为340ms-1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中有多少能量？

解：已知D=0.14m，平均强度I=8.5×10-3Js-1m-2，ν=256Hz,u=840m/s。 (a)平均能量密度和最大能量密度

I8.5?10?3W???2.5?10?5J?m?3 u340Wmax?2W?5.0?10?5J?m?3(b)两个相邻相面间的空气能量E

Du0.142340E?W??()2?2.5?10?5?()?5.11?10?7J

2?2256

12．为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m和1.00m处的能流密度（设介质不吸收能量）。 解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m处的能流密度为

I?P4?2 ??1.273Wm224?x4?(0.5)同理有：1m处为0.318Wm-2

13．设平面横波1沿BP方向传播，它在B点振动的运动方程为y1=2.0×10-3cos2πt，平面横波2沿CP方向传播,它在C点振动的运动方程为y2=2.0×10-3cos（2πt+π），两式中y的单位是m，t的单位是s。P处与B相距0.40m，与C相距0.50m，波速为0.20m/s，求：(a)两波传到P处时的相位差；(b)在P处合振动的振幅。

解：(a)求两波在P点相位差： 1点在P点引起的振动为：

y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.40)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.202点在P点引起的振动为：

y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.50??)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.20相位相同，相位差???0。

(b)合振动振幅：由于相位相同，合成波的振幅为两波振幅相加

A?4.0?10?3

m

14．平面波斜入射到两种介质（各向同性）的界面，进入到介质2时将发生折射，设该波在介质1和介质2的波速比为5：3，试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。

解：注意两波在不同介质中的波速不一样。图4-1以波在介质1中波速快为例作图。

15．已知飞机马达的声强级为120dB，求它的声强。 解：已知声强级为120dB，由声强级定义可知

120dB?10logI,I0?10?12Wm?2I0

logI?logI0?12?0I?1Wm?2

16．两种声音的声强级相差1dB，求它们的强度之比。 解：设两种声音的声强级分别为A和A+1，

A?1?10log导出 I(A?1)?10A?10logA10I(A?1)I0

A?110I0

IA I0IA?10I0

消去I0,有

I(A?1)IA?10A?110A10?10110?1.26

10

17．频率为50000Hz的超声波在空气中传播，设空气微粒振动的振幅为0.10×10-6m，求其振动的最大加速度和最大速度。

解：

vmax?A??A2???0.10?10?6?2??50000?3.14?10?2ms?2amax?A??A(2??)?9.97?10ms

223?2

18．装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s。

解：本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射，所以潜水艇首先是接收者，其次是发射者，这是一个双向多普乐效应问题。设超声波波速为u,潜水艇速度为ν，运用双向多普乐公式，再根据拍频的定义有：

u?v????241 u?v解出??6ms?1

19．对遥远星系发来的光谱分析表明，有一些在实验室已确认的谱线显著地移向了长波端，这种现象叫做谱线红移。谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。例如，钾光谱中易辨认的一对吸收线K线和H线，在地面实验室中是出现在395nm附近；在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm处观测到了这两条谱线。试问该星云正以多大的速度离开地球？

电介质球外：E?q4??0r2R；

R?d11(a)：W???0?rE2dV???0?rE24?r2dr?22011q2= (?)?8??0?rRR?d8??0(R?d)(b)

q

?R11?0?rE24?r2dr???0E24?r2dr 22R?d?第七章 直流电路

习题解答

1．把截面相同的铜丝和钢丝串联起来，铜的电导率为5.8?107Sm，钢的电导率为0.2?107Sm，横截面积为2mm2，如通以电流强度为1?A的恒定电流，求铜丝和钢丝中的电场强度。

解：铜丝中的电场强度E1??I??8.6?10?9V/m ?1?1S钢丝中的电场强度E2?

?I??2.5?10?7V/m ?2?2S2．平板电容器的电量为2?10?8C，平板间电介质的相对介电常数为78.5，电导率为2?10?4Sm，求开始漏电时的电流强度。

解：电介质中的场强为E?q?0?rS

则电流密度为：???E??q ?0?rS漏电时的电流强度I??S?

?q?5.76?10?3A ?0?r3．一个用电阻率为?的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为a，外半径为b，求内球面与外球面间的电阻。

解：厚为dr，半径为ｒ的薄同心半球壳的电阻为dR??dr 22?r?则所求电阻为R??dR?2?

?R2R1dr?11?(?) r22?ab4．两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为10??m的均匀电介质，内电极半径为10cm，外电极半径为20cm，圆筒长度为5cm。(a)求两极间的电阻；(b)若两极间的电压为8V，求两圆筒间的电流强度。

解：设内圆筒半径为R1，外圆筒半径为R2，圆筒长为Ｌ。电阻率为?，则半径为ｒ，长为l厚度为dr的薄同心圆筒的电阻为：

drdR??,R1?r?R2

2?rl电极间的电阻为R??dR?R2?Rdr??ln?22? ?R2?lr2?lR121两筒间电流强度为I?

U8??0.36A R225.图7-3中E1?24V，r1?2?，E2?6V，r2?1?，R1?2?，R2?1?，R3?3? 求：(a)电路中的电流；(b)a、b、c和d点的电势；(c)Uab和Udc。

解：(a)电路中电流为I? (b) 因ｅ接地 Ue?0

a点电势为：Ua?Uae?IR2?2V

b点电势为：Ub?Ube?IR2?Ir1??1??18V c点电势为：Uc?Ucb?Ube?IR1?Ub??14V d点电势为：Ud?Ude??IR2??6V (c) Uab??1?Ir1?20V，Udc??2?Ir2?8V

6.图7-4中E1?12V，r1?3?， E3?4V，r3?1?，R1?3?，r2?2?，E2?8V，计算Uab、Ucd、Uac和Ucb。 R2?2?，R3?5?，I1?0.5A，I2?0.4A，I3?0.9A。

解： Uac?I1R1?IrV5 2?1(??)?11

?1??2r1?r2?R1?R2?R3?2A

Ucb??I2r2?IR?3(???6 2?2Ir22)??3VUab?Uac?Ucb?9V Ucd?I3R3?4.5V

7．图7-5中 E1?4V，r1?2?，E2?4V，r2?1?，E3?6V，r3?2?，

E4?2V，r4?1?，E5?0.4V，r5?2?，R1?3?，R2?4?，R3?8?，R4?2?，

R5?5?，计算Uab、Ubc、Uad、Uac和Ued。

解：?1aR3?3bR2?2R1环路电流I??1??2??3r1?R3?r3?R2?r2?R1 ?0.1A，方向逆时针。

则 Uab?I(R3?r3)??3?V7

Ubc?I(R2?r2)??2??3.5V Uad?Uab?Ubd?Uab??4?9V Uac?Uab?Ubc?3.5V Ued???5?IR2??4?1.2V

8．图7-6中E1?6V，r1?0.2?，E2?4.5V，r2?0.1?，E3?2.5V，r3?0.1?，

R1?0.5?，R2?0.5?，R3?2.5?，求通过电阻R1、R2、R3的电流。

解：通过R1,R2,R3的电流为I1,I2,I3，方向如书中的图。 则由基尔霍夫定律得：

I1R1?I2R2?I3R3?0

??2??1?I1R1?(I1?I2)r2?(I1?I3)r1 ??3??2?I2R2?(I2?I3)r3?(I1?I2)r2

则可解得I1?2A,I2?3A,I3?1A，均为正值，表示电流方向与假设方向相同。

119．图7-7中，已知支路电流I1?A，I2?A。求电动势E1，E2。

32解：?2?I2(r2?R2)?I3R3?9V

?1?I1(r1?R1)?I3R3?6V

10．求图7-8中的未知电动势E。 解：I2?I1?I3

?2??I2(r2?R2)?I3R3

故 I3??10A 92又 ?1??2?I(I(2?r1r?1R)?1故 ?1?

64V 3 )R11．直流电路如图7-9所示，求a点与b点间的电压Uab。 解： I?12?8?0.25A

10?5?0.5?0.5 Uab?0.25(5?0.5)?(4?8)?5.37V

12．直流电路如图7-10所示，求各支路的电流。

解：设左右侧电池电动势分别为?3,?1，则由基尔霍夫定律得：

?1??3?I1?1?(I1?I2)?2?I3?1

?1??3?I1?1?I2?3?(I1?I2?I3)?2?I3?1?1?I1?1?I2?3

则可得563614562034I1?A,I2??A,I3??A,I1?A,I1?I2?A,I1?I2?I3?A

414141414141

13．在图7-11中，要使Ib?0，试问R1的值应为多少？

证明：根据基尔霍夫定律，

I1R?IRi??1

I2R?IRi??2I3R?IRi??3I?I1?I2?I3

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