1.3.1 利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

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∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<x< ∴y=x2(1-x)3 的单调增区间 是(0,

2 . 5

2 2 ) 令 x(1-x)2(2-5x)<0,解得 x<0 或 x> 且 x≠1. 5 5 2 ,+∞) 5

∵ x = 1 为拐点

,∴y=x2(1-x)3 的单调减区间是(-∞,0),(

5.求 例 5. f ( x) = ln

1 + x2 的单调递增区间 1 x22

解：由函数的定义域可知， 1 x > 0

即 1 < x < 1

又

f ( x) = ln

1 + x2 1 = [ln(1 + x 2 ) ln(1 x 2 )] 2 1 x 2

所以 f ′( x ) =

1 2x 2 x x x ( )= + 2 2 2 2 1+ x 1 x 1 + x 1 x2 x < 1 或 0 < x < 1

令 f ′( x ) > 0 ,得

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综上所述， f ( x ) 的单调递增区间为(0,1) 课堂巩固： 课堂巩固：

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1 的单调递增区间是( ) x 1 B ( ,+∞) C ( ∞, 1) D A (0,+∞) 2 2.已知函数 y = x 3 3 x ,则它的单调递减区间是(1.函数 y = 4 x +2

1 ( ∞, ) 2)

A. ( ∞,0) 3. 函数 4.当 k ∈ 归纳反思： 归纳反思： 反思

B. ( 1,1)

C.

(0,+∞)

D. ( ∞, 1) 及 (1,+∞)

f ( x) = ln( x 2 x 2) 的单调递增区间是__________________.时， f ( x) = x 3 + kx 2 在 [0, 2] 上是减函数.

合作探究： 合作探究： 探究1.求函数 f ( x ) = 2 x ln x 的单调区间2

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2.已知函数 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + d 的图象过点 P (0, 2) ,且在点

M ( 1, f ( 1)) 处的切线方程为 6 x y + 7 = 0 。(1)求函数 y = f ( x) 的解析式； (2)求函数 y = f (x ) 的单调区间。

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