第四章随机变量的数字特征单元测试题

随机变量的数字特征章节测试题

一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝( ) A．2

B．8 C．18

D．20

45

2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的

4值分别是( )

1

A．50，

4

13

B．60， C．50，

44

3

D．60，. 4

3．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )

A．68.26%

B．95.44% C．99.74%

D．31.74%

4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）

Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小

Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同

5．设随机变量X和Y独立同分布，若记随机变量U?X?Y,V?X?Y，则随机变量U与V必然（ ）

Ａ．不独立

Ｂ．独立

Ｃ．相关系数不为零

Ｄ．相关系数为零

214

6．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)

3332

＝，则x1＋x2的值为( ) 9

5A. 3

711

B. C. D．3 33

7．已知X为随机变量，且E(X), D(X)均存在，则下列式子不成立的是( )

A.E[E(X)]?E(X)C.E[X?E(X)]?0B.E[X?E(X)]?2E(X)

D.D[E(X)]?E(X)18．设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，若E(X)?2,D(X)?，则均匀分布中的常

3数a,b的值分别为( )

A.a?1,b?3B.a?1,b?2C.a?2,b?3D.a?2,b?2

9．设X服从参数为1的指数分布，且Y?X?e?2X，则E(Y)?()

A.34B.43C.141D. 310．设X,Y为两个任意的随机变量，若E(XY)?E(X)E(Y)，则( )

A.D(X?Y)?D(X)?D(Y)C.X和Y相关B.D(XY)?D(X)D(Y)D.X和Y相互独立

1n11.设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且方差为??0，令Y??Xi，则

ni?12( )

nn?22C.D(X1?Y)??nA.Cov(X1,Y)??2B.Cov(X1,Y)??2n?12D.D(X1?Y)??n

(Y?)DX?()DY?()12.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则DX是X和Y( )

A.不相关的充分条件，但不是必要条件 B.独立的充分条件，但不是必要条件 C.不相关的充分必要条件 D.独立的充分必要条件

13．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件是( )

A.E(X)?E(Y)B.E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2C.E(X2)?E(Y2)D.E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2

14. 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( ) A.X与Y一定独立C.X与Y未必独立B.(X,Y)服从二维正态分布D.X?Y服从一维正态分布

15. 设随机变量Xij(i,j?1,2,?,n;n?2)独立同分布，并且E(Xij)?2，则行列式X11Y?X21?Xn1X12?X1nX22?X2n的数学期望E(Y)?( )

??Xn2?XnnA.?2B.0C.1D.2

二、填空题(本大题共10个小题，每小题２分，共20分．)

1．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.

2．一离散型随机变量X的概率分布列为

X P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 且E(X)＝1.5，则a－b＝________. ?2e?2x,x?03．设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为fX(x)??，Y分布律为

其他?03ke?3P{Y?k}?,k?0,1,2,?，且Z?X?3Y?2，则 D(Z) =________．

k!4.设E(X)??,D(X)??2(??0)，则由切比雪夫不等式P{X???3?}?________． 5．若X~N(0,1),Y~N(3,4)，且X与Y相互独立，则2X+ Y ~ ________．

6．设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1~U(0,6),X2~N(0,2，若记2),X3~P(3)Y?X1?2X2?4X3，则E(Y)?________．

7．设X服从参数为2的指数分布，则E(X2)?________． ?asinx8．设随机变量X的密度函数为f(x)???0(0?x??)，，则D(X)?________．

(其他).9．投掷一枚均匀的硬币100次，设随机变量X表示出现正面的次数，试用切比雪夫不等式估计概率P(0.4?X?0.6)?________． 10010．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(1,1;32,32;0.5)，令随机变量Z?X?Y，则协方差Cov(X,Z)?________．

三、解答题(本大题共10个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．

2．已知连续型随机变量X的分布函数为

?0,x?0,?x?F(x)??0?x?4,

4???1,x?4.求E(X)和D(X)．

3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次

烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，

Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．

???cosx,0?x?4．设随机变量X的概率密度为f(x)??令随机变量Y=X2，试求D(Y). 2，

?其他?0,

5. 设随机变量X,Y,Z互不相关，且D(X)?52,D(Y)?102,D(Z)?62，令随机变量U?X?Y,V?Y?Z，试求随机变量U和V的相关系数.

6．设二维随机变量(X,Y)在区域

D?{(x,y)0?x?1,y?x}

上服从均匀分布，试求

（1）关于X和Y的边缘概率密度； （2）P(X?Y?1);

（3）随机变量Z?2X?1的方差.

7．设随机变量X和Y的联合分布律为

YX01?1010.070.180.15 0.080.320.20试求X和Y的相关系数?

8. 使仪器停止工作的元件故障数X是一个随机变量，其分布函数为

F(x)?1?e?ax,a?0,x?1,2,?

试求E(X)和D(X)．

9．设随机变量X和Y相互独立，X和Y的概率密度分别为

?ae?ax,x?0f1(x)??,x?0?0,其中a,b为正实数，又设随机变量Z???be?bx,y?0 f2(y)??y?0?0,?1,X?Y2，试求Z的分布律和数学期望E(Z)．

?0,X?Y10．设随机变量X和Y相互独立，并且都服从正态分布N(0,?2)，又设随机变量

???X??Y，?=?X??Y(?,?为不相等的常数)，试求

（１）数学期望E(?)和E(?)，方差D(?)和D(?)，?和?的相关系数???； （２）当?和?满足什么条件时，随机变量?和?不相关．

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