哈工大机电控制第三章答案

第3章系统的时域分析

3-1 题图3-1所示的阻容网络中，ui(t)?[1(t)?1(t?30)](V)。当t=4s时，输出uo(t)少？当t为30s时，输出uo(t)又约为多少？

值为多

Uo(s)111????6?6解：U(s)1RCs?11?10?4?10?14s?1 iR?sC

1sCuo(4)?0.632(V)，uo(30)?1(V)

3-2 某系统传递函数为?(s)?s?1，试求其单位脉冲响应函数。

s2?5s?6Xo(s)s?1?12??? 解：

Xi(s)s2?5s?6s?2s?3其单位脉冲响应函数为

x?(t)?(?e?2t?2e?3t)?1(t)

3-3 某网络如图3-3所示，当t≤0-时，开关与触点1接触；当t≥0+时，开关与触点2接触。

试求输出响应表达式，并画出输出响应曲线。

1MΩ4 μF4?F 1M? 1100 kΩ100k?21Vuou(o t()t)100k?100 kΩuu((tt)ii uo t)ut)o((1V1V1V10?F10 μF

题图3-1 题图3-3

解：

Uo(s)RCss?1???

1Ui(s)R?(R?)2RCs?12s?1sCR?1sCui(t)?ui0?ui1?1?(?2)?1(t)(V)

Uo1(s)?s?1s?1?212Ui1(s)??? 2s?12s?1ss?1s2则

第3章系统的时域分析

uo1(t)?(e?2)?1(t)(V)?12?t2

uo(t)?uo0?uo1?1?(e?2)?1(t)(V)其输出响应曲线如图3-3所示

图3-3 题图3-4

3-4 题图3-4所示系统中，若忽略小的时间常数，可认为

dy?0.5?B(s?1)。其中，ΔB为阀dx芯位移，单位为cm，令a=b（ΔB在堵死油路时为零）。

Y(s)(1) 试画出系统函数方块图，并求。

X(s)(2) 当xi(t)?[0.5?1(t)?0.5?1(t?4s)?1(t?40s)]cm时，试求t=0s,4s,8s,40s,400s时的y(t)值，?B(?)为多少？ (3) 试画出x(t)和y(t)的波形。

解：（1）依题意可画出如图3-4所示的系统函数方块图，

图3-4-1

则

第3章系统的时域分析

10.5?Y(s)2s?1 ?X(s)1?1?0.54s?12s（2）该一阶惯性环节的时间常数为 T?4(s)

当x(t)?[0.5?1(t)?0.5?1(t?4)?1(t?40)](cm)时，

y(0)?0(cm)

y(4)?0.5?0.632?0.316(cm)

y(8)?0.5?0.866?0.5?0.632?0.749(cm) y(40)?1(cm) y(400)?0(cm) ?B(?)?0(cm)

（3）x(t)和y(t)的波形如图3-4-2(a)、(b)所示。

图3-4-2

3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?脉冲响应。

解：系统闭环传递函数为

4，试求该系统的单位阶跃响应和单位

s(s?5)4Xo(s)44s(s?5)??2?

4Xi(s)1?s?5s?4(s?1)(s?4)s(s?5)1 s(1)当xi(t)?1(t)时，Xi(s)?

第3章系统的时域分析

41X(s)411Xo(s)?oXi(s)????3?3

Xi(s)(s?4)(s?1)sss?1s?4则

41xo(t)?1(t)?e?t?1(t)?e?4t?1(t)

33(2)当xi(t)??(t)时，Xi(s)?1

44X(s)4Xo(s)?oXi(s)??1?3?3

Xi(s)(s?4)(s?1)s?1s?4则

4xo(t)?(e?t?e?4t)?1(t)

33-6 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?最大超调量和调整时间。当G(s)?的输出动态过程特性的影响。

1，试求系统的上升时间、峰值时间、s(s?1)K时，试分析放大倍数K对单位阶跃输入产生s(s?1)1Xo(s)12s(s?1)??2 解：（1）

1Xi(s)1?s?2?0.5?1s?12s(s?1)得

?n?1(rad/s)

则

??0.5

?d??n1??2?11?0.52?3(rad/s) 2

第3章系统的时域分析

??arccos??arccos0.5?所以

?3(rad)

??tr??3?2.418(s) 32tr?????3.628(s) ?d32???1??2Mp?e?e?0.5?1?0.52?16.3%

tr?3?n??3?6(s)（进入5%误差带） 1?0.5KXo(s)(K)2s(s?1)?? （2）

1Xi(s)1?K22s?2?Ks?(K)s(s?1)2K得

?n?K(rad/s)

则

??1 2K?d??n1??2?K1?(12)?2K4K?1(rad/s) 2??arccos??arccos(1)(rad) 2K则（Ⅰ）当??11?1时，即K?时，系统为临界阻尼，系统不产生振荡。 2K4（Ⅱ）当??11?1时，即K?时，系统为过阻尼，系统不产生振荡。 2K4

第3章系统的时域分析

（Ⅲ）当??1?0时，即K??时，系统为零阻尼，系统产生振荡。 2K（Ⅳ）当0???1，即

1?K??时，系统为欠阻尼，此时 4tr??????d??arccos(1)2K(s) 4K?12K增大时，tr减小。

tp????d?4K?12(s)

K增大时，tp减小。

????1??2Mp?e?e2K?121?()2K?e??4K?1

K增大时，Mp也增大。

ts?3?n??31K2K?6(s)

当K较大时，ts基本不受K变化的影响。 3-7 已知一系统由下述微分方程描述：

d2ydy?2??y?x，0???1 dtdt当x(t)=1(t)时，试求最大超调量。 解：将微分方程两边取拉氏变换得

s2Y(s)?2?sY(s)?Y(s)?X(s)

则

第3章系统的时域分析

Y(s)1?2，0???1 X(s)s?2?s?1?y(t)|max?y(?)?Mp?ey(?)??1??2

2ωn3-8 设有一系统的传递函数为G(s)?22，为使系统对阶跃响应有5%的超调量s?2ξωns?ωn和2 s的调整时间，试求ζ和ωn。

????25?e1????100 ?解：3??2????n解之，得

ζ?0.69，ωn?2.2(rad/s)

Xo(s)3-9 证明对于题图3-9所示系统，在右半s平面上有零点，当xi(t)为单位阶跃时，求

Xi(s)y(t)。

Y(s)642(s?1)???

解：X(s)s?2s?1(s?1)(s?2)由上式可见，s=1是系统在右半s平面的零点。当x(t)?1(t)时

2(s?1)1431

Y(s)????(s?1)(s?2)ss?1s?2s则

y(t)?(4e?t?3e?2t?1)?1(t)

3-10 设一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?10，该系统的阻尼比为0.157，无阻s(s?1)尼自振角频率为3.16 rad/s，现将系统改变为如题图3-10所示，使阻尼比为0.5。试确定Kn值。

6s?24s?1

Xi(s)??Xi(s)Xo(s)

?-10s(s+1）XO(s)

1+Kns第3章系统的时域分析

题图3-9 题图3-10

10Xo(s)s(s?1)?

解:X(s)10(1?Kns)i1?s(s?1)

?10s2?(1?10Kn)s?103.162?2s?(1?10Kn)s?3.162

依题意，有1?10Kn?2??n?2?0.5?3.16?3.16 解之，得Kn?0.216，即为所求。

3-11 二阶系统在s平面中有一对复数共轭极点，试在s平面中画出与下列指标相应的极点

可能分布的区域：

(1) ??0.707，?n?2rad/s； (2) 0???0.707，?n?2rad/s； (3) 0???0.5，2rad/s??n?4rad/s；

?n?2rad/s。 (4) 0???0.707，解：（1）所求区域为图3-11(a)中阴影部分。

（2）所求区域为图3-11(b)中阴影部分。 （3）所求区域为图3-11(c)中阴影部分。

（4）所求区域为图3-11(d)中阴影部分。

第3章系统的时域分析

(a) (b)

(c) (d)

图3-11

3-12 设一系统如题图3-12(a)所示。

(1) 当控制器Gc(s)?1时，求单位阶跃输入时系统的响应。设初始条件为零，讨论L和

J对响应的影响。

(2) 设Gc(s)?1?Tds，J=1000，为使系统为临界阻尼，求Td值。

(3) 现在要求得到一个没有过调的响应，输入函数形式如题图3-12(b)所示。设Gc(s)?1，

L和J参数同前，求K和t1。

Xi(s)??E(s)Gc(s)ULJs2Xo(s)

(a)

xo(t)10t1txi(t)1K0t1t

(b) 题图3-12

第3章系统的时域分析

LL2Xo(s)JsJ??解：（1）X(s)LLi1?2s2?JsJ

则

Xo(s)?11s??Ls2?sss2?(L)2JJ

LJ对上式进行拉氏反变换，得

Xo(t)?1(t)?cosLt?1(t)J由此可知，其单位阶跃响应为等幅振荡，当L增大、J减小时，角频率ω增大。

L2Xo(s)1?TdsJs??（2）

Xi(s)1?(1?Ts)LJ22()s?Tds?1d2JsL(1?Tds) 为使系统为临界阻尼，需使ζ?1，即

Td?2由（1）知

J1000?2?20 L10L2)Xo(s)J?Xi(s)L2s2?()J( 当

xi(t)?1(t)时

xo(t)?(1?cosLt)?1(t) J

第3章系统的时域分析

所以

t1?πωn1?ξ2?ππ??10π L10J1000另有

K(1?cost?t1?10πLLt)?(1?K)[1?cos(t?t1)]?1 JJ当，L?10，J?1000代入上式，得

K[(1?cos(解之，得

1010?10π)]?(1?K)[1?cos?0]?1 10001000K?0.5

3-13 题图3-13所示为宇宙飞船姿态控制系统方块图。假设系统中控制器时间常数T=3 s，

力矩与惯量比为

K2?rad/s2。试求系统阻尼比。 J9Xi(s)??K(Ts+1)宇宙飞船1Js2Xo(s)

题图3-13

12Xo(s)Js?

解：Xi(s)11?K(Ts?1)2JsK(Ts?1)K(Ts?1)J? TKKK22s?2?s?()2JJJ则

第3章系统的时域分析

??T2K322 ???0.707J292?(s)K?3-14 设一伺服电动机的传递函数为。假定电动机以?0的恒定速度转动，当电U(s)Ts?1动机的控制电压uo突然降到0时，试求其速度响应方程式。 解：电动机的控制电压如图3-14所示

图3-14

?2(s)?KK?UoKUoKUo

U2(s)???1Ts?1Ts?1sss?T则

?2(t)?KUo(e又有

?tT?1)?1(t)

?1(t)??0?KUo

所以

?(t)??1(t)??2(t)??0e?1(t)

3-15 对于题图3-15所示的系统，如果将阶跃输入θi作用于该系统，试确定表述角度位置θ0的方程式。假定该系统为欠阻尼系统，初始状态静止。

kJD?tT?i?o

题图3-15

第3章系统的时域分析

解：依题意，有

K[?i(t)??o(t)]?D?o(t)?J?o(t)

???得

K2)J

1KK2s?()KJJJ?o(t)K?2??i(t)Js?Ds?K(s2?2?D2则

?n?所以，当?i(t)?a?1(t)时

DK?? ，2KJJ?o(t)?a[1?e???nt1??2e?Dt2Jsin(?n1??2t?arccos?)]?1(t)

?a[1?1?D4KJ224KJ?Dsin(t?2JDarccos?2KJt )]1()3-16 某系统如题图3-16所示，试求单位阶跃响应的最大超调量Mp、上升时间tr和调整时

间ts。

Xi(s)?-9s(s?3)XO(s)

题图3-16

9Xo(s)32s(s?3)??22 解：Xi(s)9s?2?0.5?3s?31?s(s?3)则

??0.5

第3章系统的时域分析

?n?3(rad/s)

所以

???1??2?0.5?1?0.52Mp?etr??e?16.3%

??arccos??n1??2???arccos0.531?0.52?0.806(s)

3ts???2(s)??n0.5?333-17 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K。其中，K>0，T>0。问放大器增益减

s(Ts?1)少多少方能使系统单位阶跃响应的最大超调由75%降到25%？

KK2()Xo(s)s(Ts?1)T?? 解：KXi(s)1?1KK2s2?2s?()s(Ts?1)T2KTT则

??所以

1 2KT????1??2Mp?e?e?2KT11?4KT?e??4KT?1

即

1?K??2(lnMp)2 4T令

Mp1?75%，Mp2?25%

则

第3章系统的时域分析

1?K1?(ln0.75)2 4T?21?K2?(ln0.25)2 4T?2所以

K1?K21?1??2(ln0.75)2?2(ln0.25)2?19.6

3-18 单位阶跃输入情况下测得某伺服机构的响应为xo(t)?1?0.2e-60t-1.2e-10t。试求：

(1) 系统的闭环传递函数；

(2) 系统的无阻尼自振角频率及阻尼比。

解：（1）xo(t)?(1?0.2e?60t?1.2e?10t)?1(t) 则

10.21.2600Xo(s)????

ss?60s?10s(s?60)(s?10)又已知

xi(t)?1(t)

则

1Xi(s)?

s所以

Xo(s)6001600?/? Xi(s)s(s?60)(s?10)s(s?60)(s?10)

X(s)600?（2）o?Xi(s)(s?60)(s?10)(106)2 76s2?2??106s?(106)212

第3章系统的时域分析

所以

?n?106(rad/s)

??7612

K，阻尼比为0.5时，求K值，并求

s(s?10)3-19 某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?单位阶跃输入时该系统的调整时间、最大超调量和峰值时间。

KXo(s)(K)2s(s?10)??

解：Xi(s)K51?s2?2Ks?(K)2s(s?10)K由

??得

5?0.5 KK?100

则

?n?K?10(rad/s) ts?3??n??3?0.6(s)

0.5?10?0.5?1?0.52??1??2

Mp?etp??e?16.3% ?0.363(s)

??n1??2??101?0.523-20 试比较题图3-20所示两个系统的单位阶跃响应。

Xi(s)+K（1+Khs）s(Ts+1）XO(s)Xi(s)+--

Ks(Ts+1）1+KhsXO(s)

第3章系统的时域分析

题图3-20

解：对于图（a）所示系统

K(1?Khs)Xo1(s)KKhs?Ks(Ts?1)??2

K(1?Ks)Xi(s)1?Ts?(1?KKh)s?Khs(Ts?1)Xo1(s)?KKhs?KXi(s) 2Ts?(1?KKh)s?K

?对于图（b）所示系统

KKhKsX(s)?Xi(s) i22Ts?(1?KKh)s?KTs?(1?KKh)s?KKXo2(s)Ks(Ts?1)??2Xi(s)1?K(1?Khs)Ts?(1?KKh)s?K

s(Ts?1)Xo2(s)?

KXi(s)

Ts2?(1?KKh)s?K可见，两系统的单位阶跃响应是不同的，图（a）所示系统的响应相当于在图（b）所

示系统的单位阶跃响应上再叠加对于闭环传递函数为脉冲响应。

KKh系统的一个单位

Ts2?(1?KKh)s?K?0V,t?0?ui(t)??5V,0?t?0.1s?0V,t?0.1s?3-21 一电路如题图3-21所示，当输入电压时，试求的响应函数。

第3章系统的时域分析

ui(t)10k?uo(t)10μF

题图3-21

解：ui(t)?[5?1(t)?5?1(t?0.1)](V) 则

55Ui(s)??e?0.1

ssUo(s)11?? Ui(s)RCs?10.1s?1Uo(s)?Uo(s)155Ui(s)?(?e?0.1s) Ui(s)0.1s?1ss5555?(?)?(?)e?0.1s ss?10ss?10

所以

uo(t)?(5?5e?10t)?1(t)?[5?5e?10(t?0.1)]?1(t?0.1)(V)

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