高考导数压轴题 - 函数与导数核心考点（精编完美版）

导数与函数核心考点

目 录

题型一 切线型

1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数

题型二 单调型

1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性，求参数范围

题型三 极值最值型

1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数

题型四 零点型

1.零点(交点，根)的个数问题 2.零点存在性定理的应用 3.极值点偏移问题

题型五 恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题 2.单变量型存在性问题

3.双变量型的恒成立与存在性问题 4.等式型恒成立与存在性问题

题型六 与不等式有关的证明问题

1.单变量型不等式证明

2.含有ex与lnx的不等式证明技巧 3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

1

题型一 切线型

1.求在某处的切线方程

3x2

例1.【2015重庆理20】求函数f(x)＝ex在点(1，f(1))处的切线方程. 6x－3x23x233

解：由f(x)＝ex，得f ′(x)＝ex，切点为(1，e) ，斜率为f ′(1)＝e

3333

由f(1)＝e，得切点坐标为(1，e)，由f ′(1)＝e，得切线斜率为e；

33

∴切线方程为y－e＝e(x－1)，即3x－ey＝0.

1

例2.求f(x)＝ex(＋2)在点(1，f(1))处的切线方程.

x111

解：由f(x)＝ex(x＋2)，得f ′(x)＝ex(－x2＋x＋2)

由f(1)＝3e，得切点坐标为(1,3e)，由f ′(1)＝2e，得切线斜率为2e；

∴切线方程为y－3e＝2e(x－1)，即2ex－y＋e＝0. 1－x

例3.求f(x)＝ln在点(0，f(0))处的切线方程.

1＋x解：由f(x)＝ln

1－x11

＝ln(1－x)－ln(1＋x)，得f ′(x)＝－－ 1＋x1－x1＋x

由f(0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2； ∴切线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0.

x2

例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与

4

直线l：y=kx＋a(a＞0)交于M，N两点，当k＝0时，分别求C在点M与N处的切线方程.

x2

解：由题意得：a=，则x＝±2a，即M(－2a，a)，N(2a，a)，

4x2x

由f(x)＝，得f ′(x)＝，

42当切点为M(－2a，a)时，切线斜率为f ′(－2a)＝－a， 此时切线方程为：ax＋y＋a＝0；

当切点为N(2a，a)时，切线斜率为f ′(2a)＝a， 此时切线方程为：ax－y－a＝0；

2

解题模板一 求在某处的切线方程

⑴写出f(x)； ⑵求出f ′(x)；

⑶写出切点(x0，f(x0))； ⑷切线斜率k＝f ′(x0)；

⑸切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0). 2.求过某点的切线方程 点P不在曲线上 点P在曲线上 点P在曲线上 不是切点 不确定是切点 切点

OP OOP P

Step1 设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f ′(x0)，切线方程为： y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)

Step2 因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f ′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2 Step2 当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f ′(x0)(x－x1) 当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f ′(x0)(x－x2)

14

例1.求f(x)＝x3＋过点P(2，4)的切线方程.

33

14

解：设切点为(x0，3x03＋3)，则切线斜率f ′(x0)＝x02，

14

所以切线方程为：y－3x03＋3＝x02 (x－x0)，

14

由切线经过点P(2，4)，可得4－3x03＋3＝x02 (2－x0)，整理得：x03－3x02＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2

当x0＝－1时，切线方程为：x－y＋2＝0； 当x0＝2时，切线方程为：4x－y－4＝0. 例2.求f(x)＝x3－4x2＋5x－4过点 (2，－2)的切线方程. 解：设切点为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，则切线斜率f ′(x0)＝3x02－8x0＋5，

所以切线方程为：y－(x03－4x02＋5x0－4)＝(3x02－8x0＋5) (x－x0)， 由切线经过点P(2，4)，可得4－(x03－4x02＋5x0－4)＝(3x02－8x0＋5) (2－x0)， 解得x0＝1或x0＝2

当x0＝1时，切线方程为：2x＋y－2＝0； 当x0＝2时，切线方程为：x－y－4＝0.

例3.过A(1，m)(m≠2)可作f(x)＝x3－3x的三条切线，求m的取值范围. 解：设切点为(x0，x03－3x0)，则切线斜率f ′(x0)＝3x02－3，切线方程为

y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

∵切线经过点P(1,m)，

3

∴m－(x03－4x02＋5x0－4)＝(3x02－8x0＋5) (1－x0)， 即：－2x03＋3x02－3－m＝0，即m＝－2x03＋3x02－3 ∵过点A(1，m)(m≠2)可作f(x)＝x3－3x的三条切线， ∴方程m＝－2x03＋3x02－3，有三个不同的实数根.

∴曲线H(x0)＝－2x03＋3x02－3与直线y=m有三个不同交点， H′(x0)＝－6x02＋6x0＝－6x0(x0－1)

令H′(x0)＞0，则0＜x0＜1；令H′(x0)＜0，则x0＜0或x0＞1 ∴H(x0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减， ∴H(x0)的极小值＝H(0)＝－3，H(x0)的极大值＝H(1)＝－2， 由题意得－3＜x＜－2.

例4.由点(－e，e－2)可向曲线f(x)＝lnx－x－1作几条切线，并说明理由.

1

解：设切点为(x0，lnx0－x0－1)，则切线斜率f ′(x0)＝x－1，切线方程为

0

1

y－(lnx0－x0－1)＝(x－1)(x－x0)，

0

∵切线经过点(－e，e－2)，

1e

∴e－2－(lnx0－x0－1)＝(x－1)(－e－x0)，即lnx0＝x

0

0

e

∵y=lnx与y=x只有一个交点 e

∴方程lnx0＝x有唯一的实数根

0

∴由点(－e，e－2)可向曲线f(x)＝lnx－x－1作一条切线. 解题模板二 求过某点的切线方程

⑴设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f ′(x0)，切线方程为： y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)

⑵因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f ′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2 ⑶当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f ′(x0)(x－x1) 当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f ′(x0)(x－x2) 3.已知切线方程求参数

解题模板三 已知切线方程求参数

已知直线Ax＋By＋C＝0与曲线y=f(x)相切 ⑴设切点横坐标为x0，则

4

Ax0＋C

?f(x)＝－0??切点纵坐标＝切点纵坐标?B

?即?

A?切线斜率＝切线斜率?

??f ′(x0)＝－B

⑵解方程组得x0及参数的值.

alnxb

例1.函数f(x)＝＋在(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值.

x＋1xa(x＋1)

x－alnxbalnxb

解：∵f(x)＝＋，∴f ′(x)＝－x2 x＋1x(x＋1)2

???f(1)＝1?b＝1

1，即?a1 由题意知：?

f ′(1)＝－－b＝－??22??2∴a＝b＝1

bex1

例2.f(x)＝aelnx＋x在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值.

x－1 be111

解：∵f(x)＝aexlnx＋x，∴f ′(x)＝aex(x＋lnx)＋bex－1(－x2＋x)

???f(1)＝2?b＝2

由题意知：?，即?

?f ′(1)＝－e?ae＝e??

－

x

∴a＝1，b＝2

例3.若直线y＝kx＋b是y=lnx＋2的切线，也是y=ln(x＋1)的切线，求b.

解：设y＝kx＋b与y=lnx＋2相切的切点横坐标为x1，y＝kx＋b与y=ln(x＋1)相切的切点横坐标为x2，

lnx1＋2＝kx1＋b ①1

x1＝k ②

ln(x2＋1)＝kx2＋b ③，由②③得：x1＝x2＋1， 1

＝k ④x2＋1

由①－③得：lnx1－ln(x2＋1)＋2＝k(x1－x2)，将上式代入得：k＝2

1

∴x1＝，代入①得：－ln2＋2＝1＋b

2

?????

∴b＝1－ln2.

例4.若f(x)＝x与g(x)＝a lnx相交，且在交点处有共同的切线，求a和该切线方程.

??x0＝alnx0 ①

a解：设切点横坐标为x0，则?1，由②得x0＝2a， ＝ ②??2x0x0

5

11

综上所述：当k＞0时，f(x)的增区间为(－k，＋∞)，减区间为(－∞，－k).

11

当k＜0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)，减区间为(－k，＋∞).

例6.求函数f(x)＝x－alnx (a∈R)的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

ax－a

f ′(x)＝1－x＝x 当a≤0时，f ′(x)≥0，则f(x)的增区间为(0，＋∞)

当a＞0时，令f ′(x)＞0，则x＞a，令f ′(x)＜0，则0＜x＜a， ∴f(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a).

综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0，＋∞).

当a＞0时，f(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a). 重要方法二 一次函数型(一)

11

当导函数可表示为常见已知函数，(例如：ex，x＋，，x2－2x)与一个常参数(例

xx

1

如：a，2k，a，－a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论.

重要方法三 一次函数型(二)二级分类法

当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法 ⑴判断最高次项系数的正负；

⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小. 3.主导函数为“二次函数”型 例1.求函数f(x)＝x2－2x＋alnx的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

－2x＋aa－(－2x2＋2x)a2x2

f ′(x)＝2x－2＋x＝＝

xx

1

当a≥2时，f ′(x)≥0，则f(x)的增区间为(0，＋∞)

1－1－2a1＋1－2a1

当0＜a＜2时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x＝ 2

221－1－2a1＋1－2a

令 f ′(x)＞0，则0＜x＜，或x＞

22 令 f ′(x)＜0，则

1－1－2a1＋1－2a＜x＜， 22

1－1－2a1＋1－2a

∴f(x)的增区间为(0，)和(，＋∞) 22

11

1－1－2a1＋1－2a

减区间为(，)

22当a≤0时，令f ′(x)＞0，则x＞

1＋1－2a

， 2

令f ′(x)＜0，则0＜x＜

1＋1－2a

， 2

∴f(x)的增区间为 (

1＋1－2a1＋1－2a

，＋∞)，减区间为(0，) 22

1

综上所述：当a≥2时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，

1－1－2a1＋1－2a1

当0＜a＜2时，f(x)的增区间为(0，)和(，＋∞)

22

1－1－2a1＋1－2a

减区间为(，)

22

1＋1－2a1＋1－2a

当a≤0时，f(x)的增区间为 (，＋∞)，减区间为(0，)

22ex

例2.求函数f(x)＝(k＞0)单调区间.

x2＋k

解：f(x)的定义域为R

ex(x2＋k)－2xexex(x2－2x＋k)ex[k－(－x2＋2x)]f ′(x)＝＝＝ (x2＋k)2(x2＋k)2(x2＋k)2当k≥1时，f ′(x)≥0，f(x)的增区间为R

当0＜k＜1时，令f ′(x)＝0，则x1＝1－1－k，x2＝1＋1－k 令 f ′(x)＞0，则0＜x＜1－1－k，或x＞1＋1－k 令 f ′(x)＜0，则1－1－k＜x＜1＋1－k， ∴f(x)的增区间为(0，1－1－k)和(1＋1－k，＋∞)

减区间为(1－1－k，1＋1－k) 综上所述：当k≥1时，f(x)的增区间为R，

当0＜k＜1时，f(x)的增区间为(0，1－1－k)和(1＋1－k，＋∞)

减区间为(1－1－k，1＋1－k)

12

2

例3.讨论函数f(x)＝x－x＋a(2－lnx)的单调性. 解：f(x)的定义域为(0,＋∞)

2x＋x－a

－ax＋22ax2

f ′(x)＝1＋x2－x＝x2＝x 当a≤22时，f ′(x)≥0，f(x)的增区间为(0,＋∞)

a－a2－8a＋a2－8当a＞22时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝

22 令 f ′(x)＞0，则0＜x＜

a－a2－8a＋a2－8，或x＞ 22

a－a2－8a＋a2－8

令 f ′(x)＜0，则＜x＜，

22∴f(x)的增区间为(0，

a－a2－8a＋a2－8

)和(，＋∞) 22

a－a2－8a＋a2－8

减区间为(，)

22

综上所述：当a≤22时，f(x)的增区间为(0,＋∞)， 当a＞22时，f(x)的增区间为(0，

a－a2－8a＋a2－8

)和(，＋∞) 22

a－a2－8a＋a2－8

减区间为(，)

22

重要方法四 二次函数型(一)

11

当导函数可表示为常见已知函数(例如：ex，x＋x，x，x2－2x)与一个常参数(例1

如：a，2k，a，－a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论. 例如：2x2－2x＋a，x∈(0，＋∞) 可化为a－(－2x2＋2x) x2－2x＋k，x∈R k－(－2x2＋2x)

2

x2－ax＋2，x∈(0，＋∞) x＋x－a

ex

例4.求函数f(x)＝(x－k)2ek的单调区间.

13

解：f(x)的定义域为R

1ex1ex

f ′(x)＝[2x－2k＋k(x2－2kx＋k2)]ek＝k((x2－k2)ek 当k＞0时， f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)，减区间为(－k，k). 当k＜0时， f(x)的增区间为(k，－k)，减区间为(－∞，k) 和(－k，＋∞). 综上所述：当k＞0时， f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)，

减区间为(－k，k).

当k＜0时， f(x)的增区间为(k，－k)，

减区间为(－∞，k) 和(－k，＋∞).

例5.求函数f(x)＝lnx＋ax2＋x(a∈R)的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

2ax2＋x＋11

f ′(x)＝＋2ax＋1＝ xx

当a≥0时，f ′(x)＞0，则f(x)的增区间为(0，＋∞).

－1＋1－8a－1－1－8a

当a＜0时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝ 4a4a(此处x1＜0＜x2)，故将x1舍去.

1

(注意：此处x1·x2＝2a＜0，可知一根为正，一根为负)

－1－1－8a－1－1－8a 令f ′(x)＞0，则0＜x＜，f(x)的增区间为(0，)

4a4a 令f ′(x)＞0，则x＞

－1－1－8a－1－1－8a

，f(x)的减区间为(，＋∞)

4a4a

综上所述：当a≥0时， f(x)的增区间为(0，＋∞).

－1－1－8a

当a＜0时， f(x)的增区间为(0，)，

4a－1－1－8a

减区间为(，＋∞).

4a

1

例6.求函数f(x)＝a(x－x)－2lnx的单调区间.

解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

－2x＋aa2ax2

f ′(x)＝a＋x2－x＝

x2

当a≤0时，f ′(x)＜0，则f(x)的减区间为(0，＋∞). (注意：此处ax2＜0，－2x＜0，a＜0，故ax2－2x＋a＜0) 当a＞0时，由ax2－2x＋a＝0，得△＝4－4a2

⑴当△≤0，即a≥1时，f ′(x)≥0，∴f(x)的增区间为(0，＋∞)

1－1－a21＋1－a2

⑵当△＞0，即0＜a＜1时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝

aa

14

1－1－a21＋1－a2

令f ′(x)＞0，则0＜x＜或x＞

aa令f ′(x)＜0，则

1－1－a21＋1－a2＜x＜ aa

1－1－a21＋1－a2

)和(，＋∞) aa

∴f(x)的增区间为(0，

1－1－a21＋1－a2

减区间为(，)

aa

综上所述：当a≤0时， f(x)的减区间为(0，＋∞). 当0＜a＜1时， f(x)的增区间为(0，

1－1－a21＋1－a2

)和(，＋∞) aa

1－1－a21＋1－a2

减区间为(，)

aa

当a≥1时， f(x)的增区间为(0，＋∞) 例7.求函数f(x)＝alnx＋

x－1

的单调区间. x＋1

解：f(x)的定义域为(0，＋∞).

af ′(x)＝x＋a(x＋1)2＋2xax2＋(2a＋2)x＋a2

＝＝ (x＋1)2x(x＋1)2x(x＋1)2

⑴当a≥0时，f ′(x)＞0，∴f(x)的增区间为(0，＋∞).

(注：此处因a≥0，x＞0，所以ax2＞0，(2a＋2)x＞0，a＞0，即f ′(x)＞0) ⑵当a＜0时，由ax2＋(2a＋2)x＋a＝0，得△＝8a＋4

1

①当△≤0即a≤－2时，f ′(x)＜0，∴f(x)的减区间为(0，＋∞).

1

②当△＞0即－2＜a＜0时，令f ′(x)＝0，

－(a＋1)－2a－1－(a＋1)＋2a－1

则x1＝，x2＝

aa

2a＋22

(注：此处由x1＋x2＝1＞0，x1·x2＝－a＝－2－a＞0，则x1＞0，x2＞0)

令f ′(x)＞0，则0＜x＜

－(a＋1)－2a－1－(a＋1)＋2a－1

或x＞

aa

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dqao.html