导数与积分经典例题以及答案

高三数学 导数与积分经典例题以及答案

一. 教学内容：

导数与积分

二. 重点、难点： 1. 导数公式：

y?f(x)?c

f?(x)?0 f?(x)?n?xn?1

y?f(x)?xn

y?f(x)?sinx y?f(x)?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?logax

2. 运算公式

f?(x)?cosx f?(x)??sinx f?(x)?axlna

f?(x)?1logae x[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

[f(x)?g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)?g?(x) [f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]?? 2g(x)g(x) 3. 切线，过P（x0,y0）为切点的y?f(x)的切线，y?y0?f?(x0)(x?x0) 4. 单调区间

不等式f?(x)?0，解为y?f(x)的增区间，f?(x)?0解为y?f(x)的减区间。 5. 极值

（1）x?(a,x0)时，f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)极大值

（2）x?(a,x0)时f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)的极小值。

【典型例题】

[例1] 求下列函数的导数。

（1）y?13x?3x3?7x2?1；

（2）y?ln|x|； （3）y?x；

1?x?x2xxx（4）y?3e?2?e； （5）y?lnx； 2x?1（6）y?xcosx?sinx。

分析：直接应用导数公式和导数的运算法则 解析：（1）y??(13x)??(3x3)??(7x2)??(1)?

41??(x)??3(x)??7(x)??0??x3?9x2?14x

3?32131； x11当x?0时，y?ln(?x)，y??(?)?(?1)?

xx1∴ y??

x（2）当x?0时，y?lnx,y??x?(1?x?x2)?x(1?x?x2)?（3）y?? 22(1?x?x)1?x?x2?x(0?1?2x)1?x2 ??(1?x?x2)2(1?x?x2)2xxx（4）y??(3e)?(2)??(e)?

?(3x)?ex?3x(ex)??(2x)??0

?3xln3?ex?3xex?2xln2?(3e)xln3e?2xln2 (lnx)?(x2?1)?lnx?(x2?1)?（5）y??

(x2?1)212(x?1)?2xlnxx2?1?2x2lnxx??

(x2?1)2x(x2?1)2（6）y??(xcosx)??(sinx)?

?cosx?xsinx?cosx??xsinx

[例2] 如果函数f(x)??222a?1ln(x?1)的图象在x?1处的切线l过点（0，）并且l与圆

bbC：x?y?1相离，则点（a,b）与圆C的位置关系 。

2a12aa ∴ l切 y???ln2??(x?1)

bx?1bb112aln2a? l过（0，?） ∴ ??bbbb1∴ a?

ln4?1解：f?(x)??l与圆相离

2aaln2?bb1?ab22?1，

1ba?bb22?1

1a2?b222∴ 2? ∴ a?b?1

bb∴ 点（a,b）在圆内

[例3] 函数y?f(x),y?g(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?g?(x)，则x?(a,b)时有（ ）

A. f(x)?g(x) B. f(x)?g(x)

C. f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D. f(x)?g(b)?g(x)?f(b) 解：令F(x)?f(x)?g(x) ∴ F?(x)?f?(x)?g?(x)

∴ x?(a,b) F?(x)?0 ∴ x?(a,b) F(x)?

∴ 任取x?(a,b) F(x)?F(a) ∴ f(x)?g(x)?f(a)?g(a) 即f(x)?g(a)?g(x)?f(a) 故选C

[例4] f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数。

x?0时，f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)?0,g(?3)?0，则不等式f(x)?g(x)?0的解

为 。

解：令F(x)?f(x)g(x) ∴ F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)

x?(??,0) F?(x)?0

∴ x?(0,??) F(x)?

f(x)奇，g(x)偶?F(x)奇函数 ∵ g(?3)?0

∴ F(?3)?0

∴ F(x)?0解为(??,?3)?(0,3) [例5] 已知函数f(x)?ax在x?1处取得极值2。 2x?b（1）求f(x)的解析式；

（2）m满足什么条件时，区间（m,2m?1）为函数增区间；

（3）若P（x0,y0）为y?f(x)图象上任一点，l与y?f(x)切于点P求l的倾斜角的正切值的取值范围。

a(x2?b)?ax(2x)解：f?(x)?

(x2?b)2∴ ??f(1)?2?a?4???f?(x)?0?b?1f(x)?4x 2x?14(1?x2)∴ f?(x)?2?0?x??1

(x?1)2列表 ∴ (??,?1)? （－1，1）↑ （1，+∞）↓

?m?1??2m?1?1??1?m?0 ?2m?1?m?4(1?x2)?(x2?1)?221f?(x)?2?4??4?[?] 222222(x?1)(x?1)(x?1)x?1令

1?t?(0,1] x2?111f?(x)?4?[2t2?t]?4?[2(t?)2?]

481∴ f?(x)?[?,4]

2

[例6] f(x)?131x?(b?1)x2?cx 32（1）f(x)在x=1，x=3处取得极值，求b,c；

（2）f(x)在(??,x1),(x2,??)?,(x1,x2)?，且x2?x1?1，求证：b?2(b?2c) （3）在（2）的条件下，t?x1比较t?bt?c与x1大小关系。 解：（1）f?(x)?x?(b?1)x?c

222?f?(1)?0?b?c?0?b??3 ??????f(3)?06?3b?c?0c?3???∴ f(x)?13x?2x2?3x 32（2）f?(x)?x?(b?1)x?c

x1?x2?1?b x1x2?c x2?x1?1 (x2?x1)2?1 (x1?x2)2?4x1x2?1

1?2b?b2?4c?1 ∴ b2?2(b?2c)

（3）x?(b?1)x?c?(x?x1)(x?x2)

2t2?bt?c?x1?t2?(b?1)t?c?t?x1?(t?x1)(t?x2)?(t?x1)

?(t?x1)(t?1?x2)*

∵ x2?x1?1 ∴ x2?x1?1?t?1

∴ *式?0 ∴ t?bt?c?x1

[例7] 已知抛物线C1:y?x?2x和C2:y??x?a。如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

（1）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

分析：分别利用曲线C1,C2 方程求切线l的方程再比较，从而求得a满足条件；对于（2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。

解析：（1）函数y?x?2x的导数y??2x?2，曲线C1在点P(x1,x1?2x1)的切线方程是

22222y?(x12?2x1)?(2x1?2)(x?x1)

即y?(2x1?2)x?x1 ① 函数y??x?a的导数y???2x 曲线C2在点Q(x2,?x2?a)的切线方程是

2y?(?x2?a)??2x2(x?x2)

222即y??2x2x?x2?a ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程

2?x1?1??x2所以? 22??x1?x2?a消去x2得方程2x1?2x1?1?a?0 若判别式??4?4?2(1?a)?0，即a??即当a??211时解得x1??，此时点P与Q重合 221时，C1和C2有且仅有一条公切线 21由①得公切线方程为y?x?

41（2）由（1）可知，当a??时C1和C2有两条公切线

2设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,x2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有

x1?x2??1

2y1?y2?x12?2x1?(?x2?a)

?x12?2x1?(x1?1)2?a??1?a

线段PQ的中点为(?,1?1?a)

221?1?a,) 22同理，另一条公切线段P?Q?的中点也是(?所以公切线段PQ和P?Q?互相平分

[例8] 已知抛物线y?ax?bx?c过点(1,1)，且在点(2,?1)处与直线y?x?3相切，求

2a,b,c的值。

解析：∵ y?f(x)?ax?bx?c ∴ y?f?(x)?2ax?b

∵ 抛物线在点(2,?1)处与直线y?x?3相切 ∴ f(2)??1，且f?(2)?1

2?4a?2b?c??1(1)即?

4a?b?1(2)?又抛物线过点（1，1） ∴ a?b?c?1 （3）

将（1）（2）（3）联立解得a?3,b??11,c?9

[例9] 设函数y?ax?bx?cx?d的图象与y轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x?y?4?0，若函数在x?2处取得极值为0，试确定函数的解析式。

解析：∵ y?ax?bx?cx?d的图象与y轴交点为P ∴ 点P的坐标为(0,d)

∵ 曲线在P点处的切线方程为y?12x?4，故P点坐标适合此方程，将P(0,d)代入后得d??4

3232又切线的斜率为k?12

而y??3ax?2bx?c，y?|x?0?c ∴ c?12

又函数在x?2处取得极值0 ∴ y?|x?2?0且f(2)?0 即?2?12a?4b?12?0(1)

?8a?4b?20?0(2)由（1）（2）解得a?2,b??9 ∴ y?2x?9x?12x?4

[例10] 已知曲线y?321。 x（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程； （2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程； （3）求满足斜率为?1的曲线的切线方程。 31解析：（1）∵ y???2，又P（1，1）是曲线上的点

x∴ P为切点，所求切线的斜率为k?f?(1)??1

∴ 曲线在P点处的切线方程为y?1??(x?1)，即y??x?2 （2）显然Q（1，0）不在曲线y?该切线斜率为k1?f?(a)??11上，则可设过该点的切线的切点为A(a,)，则

ax1 2a11则切线方程为y???2(x?a)（*）

aa111将Q（1，0）代入方程（*）得0???2(1?a)得a?。故所求切线方程为

2aay??4x?4

（3）设切点坐标为A(a,)，则切线的斜率为k2??解得a??3

1a11?? 23a∴ A(3,3331)或A?(?3,?)，代入点斜式方程得y???(x?3)或3333y?31??(x?3) 33即切线方程为x?3y?23?0或x?3y?23?0

[例11] 已知a?0，函数f(x)?x?a,x?[0,??)，设x1?0，记曲线y?f(x)在点

3M(x1,f(x1))处的切线为l。

（1）求l的方程；

（2）设l与x轴交点为(x2,0)，证明：

① x2?a；② 若x1?a，则a?x2?x1。

2解析：（1）求f(x)的导数：f?(x)?3x，由此得切线l的方程：

131313y?(x13?a)?3x12(x?x1)

（2）依题意，切线方程中令y?0

x13?a2x13?a x2?x1??223x13x11323① x2?a?(2x?a?3xa) 1123x11?2(x1?a3)2(2x1?a3)?0 3x1∴ x2?a 当且仅当x1?a时等号成立

131313111x13?a3② 若x1?a，则x1?a?0，x2?x1???0，且由①x2?a3，所以23x1a?x?x2?x1

[例12] 设函数f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)，其中a??1，求f(x)的单调区间。

解析：由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f?(x)?13131ax?1(a??1) x?1（1）当?1?a?0时，由f?(x)?0知，函数f(x)在(?1,??)上单调递减

（2）当a?0时，由f?(x)?0，解得x?1 af?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x 1(?1,) a－ ↓ 1 a0 极小值 1(,??) a+ ↑ f?(x) f(x) 从上表可知 当x?(?1,)时，f?(x)?0，函数f(x)在(?1,)上单调递减 当x?(,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在(,??)上单调递增 综上所述：

当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减

当a?0时，函数f(x)在(?1,)上单调递减，f(x)在(,??)上单调递增

[例13] 已知函数f(x)?ax?3x?x?1在R上是减函数，求a的取值范围。

分析：因为f(x)在R上为减函数，即f?(x)?0在R上恒成立，再解不等式即可得解。 解析：求函数f(x)的导数：f?(x)?3ax?6x?1 （1）当f?(x)?0(x?R)时，f(x)是减函数

2321a1a1a1a1a1a3ax2?6x?1?0(x?R)?a?0，且??36?12a?0?a??3

所以，当a??3时，由f?(x)?0知f(x)(x?R)是减函数；

3（2）当a??3时，f(x)??3x?3x?x?1??3(x?)?32138 9由函数y?x在R上的单调性，可知 当a??3时，f(x)(x?R)是减函数；

（3）当a??3时，在R上存在一个区间，其上有f?(x)?0 所以，当a??3时，函数f(x)(x?R)不是减函数 综上，所求a的取值范围是(??,?3]

3

[例14] 设a为实数，函数f(x)?x?ax?(a?1)x在(??,0)和(1,??)上都是增函数，求a的取值范围。

解析：f?(x)?3x?2ax?(a?1) 其判别式??4a?12a?12?12?8a

2（1）若??12?8a?0，即a??222223226 2当x?(??,)或x?(,??)时，f?(x)?0，f(x)在(??,??)上为增函数

a3a3∴ a??6 22（2）若??12?8a?0，恒有f?(x)?0，f(x)在(??,??)上为增函数

2∴ a?663)?(,??) 即a?(??,?2222（3）若??12?8a?0，即?66?a?，令f?(x)?0 22a?3?2a2a?3?2a2解得x1?，x2?

33当x?(??,x1)或x?(x2,??)时，f?(x)?0，f(x)为增函数 当x?(x1,x2)时，f?(x)?0，f(x)为减函数 依题意x1?0得x2?1 由x1?0得a?3?2a2，解得1?a?6 2由x2?1得3?2a2?3?a解得?66?a? 22从而a?[1,6) 2666]?[,??)?[1,) 222综上，a的取值范围为(??,?即a?(??,?

6]?[1,??) 2【模拟试题】（答题时间：60分钟）

x21?3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 1. 已知曲线y?42A. 3

B. 2

2C. 1 D.

1 22. 设a?0，f(x)?ax?bx?c，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,?4]，则P到曲线y?f(x)对称轴距离的取值范围是（ ）

3A. [0,]

1aB. [0,1] 2aC. [0,|b|] 2aD. [0,|b?1|] 2a3. 在函数y?x?8x的图象上，其切线的倾斜角小于是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

4. y?ln[ln(lnx)]的导数为（ ）

?的点中，坐标为整数的点的个数4A.

1

xln(lnx) B.

1

lnxln(lnx)1

ln(lnx)C.

1

xlnxln(lnx)D.

5. 已知函数f(x)在x?1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ） A. f(x)?(x?1)?3(x?1) C. f(x)?2(x?1)

23

B. f(x)?2(x?1) D. f(x)?x?1

6. 设f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时，

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，且g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集是（ ）

A. (?3,0)?(3,??) C. (??,?3)?(3,??)

2

B. (?3,0)?(0,3) D. (??,?3)?(0,3)

7. 函数y?(x?2a)(x?a)的导数为（ ）

A. 2(x?a) C. 3(x?a)

2222

B. 3(x?a) D. 2(x?a)

22228. 设f?(x)是函数f(x)的导函数，y?f?(x)的图象如下图所示，则y?f(x)的图象最有可能的是（ ）

9. 函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数等于（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

210. 已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x?0时的函数值为0，且f(x)?g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）

A. 0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B. 0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C. 0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D. 0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

11. 已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f?(x),f?(0)?0，对于任意实数，都有

2f(x)?0，则

A. 3

f(1)的最小值为（ ） ?f(0)B.

5 2 C. 2 D.

3 212. 设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y?f(x)在x?5处的切线的斜率为（ ）

A. ?1 5 B. 0 C.

1 5 D. 5

13. 已知对任意实数x，有f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)，且x?0时，f?(x)?0，

g?(x)?0，则x?0时（ ）

A. f?(x)?0,g?(x)?0 C. f?(x)?0,g?(x)?0

4

B. f?(x)?0,g?(x)?0 D. f?(x)?0,g?(x)?0

14. 若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A. 4x?y?3?0 C. 4x?y?3?0

B. x?4y?5?0 D. x?4y?3?0

15. 设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

16. 若对任意x?R,f?(x)?4x，f(1)??1，则f(x)是（ ）

A. f(x)?x

343

B. f(x)?x?2 D. f(x)?x?2

44C. f(x)?4x?5

17. f(x)是定义在(0,??)上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)?0 任意正数a,b，若a?b，则必有（ ）

A. af(a)?f(b) C. af(b)?bf(a) 18. 曲线y?A. 30°

B. f(b)?f(a) D. bf(a)?af(b)

137x?2在点(?1,?)处切线的倾斜角为（ ）

33B. 45°

C. 135°

D. －45°

19. 设f0(x)?sinx，f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1(x)，……，fn?1(x)?fn(x)，n?N则f2005(x)等于（ ）

A. sinx

2???

B. ?sinx C. cosx

D. ?cosx

20. 抛物线y?x到直线x?y?2?0的最短距离为（ ）

A.

2

B.

72 83C. 22

2D. 以上答案都不对

21. 已知函数y?f(x)?x?px?qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y最小值??4。

（1）求p,q的值；

（2）函数y?g(x)?x?x，若函数F(x)?f(x)?mg(x)(x?R) 在区间[2,??)上单调，求m的取值范围。

3 22. 已知函数f(x)?ax?cx?d(a?0)是R上的奇函数，且f(1)?0，f?(1)?2。

2（1）求a,c,d的值；

（2）在y?f(x)的图象C上任取一点P，在点P处的切线l与图象C的另一个交点为Q，设点P的横坐标为t，线段PQ中点R的纵坐标为u。

① 用t表示u；

② 当t?0时，求u的最大值。 23. 已知函数f(x)?lnx，g(x)?12（a为常数），若直线l与y?f(x)，y?g(x)x?a2的图象都相切，且l与y?f(x)的图象相切的切点横坐标为1。

（1）求直线l的方程及a的值； （2）当?2?m?11时，求h(x)?f(x)?f?(x)[2g(x)?m?1]在[,2]上的最大值。

2432 24. 已知函数f(x)?x?ax?3x。

（1）若f(x)在x?[1,??)上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若方程f(x)?(a?3)x?1(a?0)至多有两个解，求实数a的取值范围。

2

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