第七章 重要知识点(电路理论)

第7章 一阶电路的时域分析重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定； 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定； 动态电路方程的建立及初始条件的确定 2.一阶电路的零输入响应、 2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全 一阶电路的零输入响应 响应的概念及求解； 响应的概念及求解；

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7.1 动态电路的方程及其初始条件1. 动态电路动态元件——元件上的电压电流的约束关系是通过 元件上的电压电流的约束关系是通过 动态元件 导数(或积分)表达的，如电感和电容。 导数(或积分)表达的，如电感和电容。 动态电路——含有动态元件电容和电感的电路称动 含有动态元件电容和电感的电路称动 动态电路 态电路。 态电路。

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如果电路仅含有一个动态元件， 电路的无源元件都 如果电路仅含有一个动态元件 ， 是线性时不变的， 是线性时不变的 ， 则可以把该动态元件以外的电阻电路 用戴维宁定理或诺顿定理等效为电压源和电阻的串联组 或电流源和电阻的并联组合， 从而把它变为RC和 合 ， 或电流源和电阻的并联组合 ， 从而把它变为 和 RL电路。这种电路称为一阶动态电路。 电路。 一阶动态电路。 电路 这种电路称为一阶动态电路 当动态电路状态发生改变( 换路) 当动态电路状态发生改变 ( 换路 ) 时 ， 可能使电路改 变原来的工作状态，转变到另一种新的工作状态， 变原来的工作状态 ， 转变到另一种新的工作状态 ， 这种 转变需要经历一个变化过程。这个变化过程称为电路的 转变需要经历一个变化过程 。 这个变化过程称为 电路的 过渡过程。 过渡过程。

换路———电路的结构或元件的参数发生(如电路中电 电路的结构或元件的参数发生( 换路 电路的结构或元件的参数发生 源或无源元件的断开或接入等)变化。 源或无源元件的断开或接入等)变化。 稳态———电路中的电流和电压在给定的条件下已达到 电路中的电流和电压在给定的条件下已达到 稳态 某一稳定值。 某一稳定值。 暂态———电路在过渡过程中的工作状态。由于电路的 电路在过渡过程中的工作状态。 暂态 电路在过渡过程中的工作状态 过渡过程为是短暂，过渡过程又称为暂态过程。 过渡过程为是短暂，过渡过程又称为暂态过程。

分析过渡过程的经典法根据KCL、 KVL和支路的 、 和支路的VCR建立描述电路的方程 ， 建立描述电路的方程， 根据 和支路的 建立描述电路的方程 方程是以时间为变量的线性常微分方程， 方程是以时间为变量的线性常微分方程 ， 然后求解常微 分方程，从而得到电路所求变量(电流和电压) 分

方程，从而得到电路所求变量(电流和电压)。 为了叙述方便，把换路前的最终时刻记为 -,把换路 为了叙述方便，把换路前的最终时刻记为t=0 把换路 后的最初时刻记为t=0 换路经历的时间为 换路经历的时间为0 后的最初时刻记为 +,换路经历的时间为 -到 0+。 用经典方法求解常微分方程时， 用经典方法求解常微分方程时 ， 必须根据电路的初 始条件确定解答中的积分常数。 始条件确定解答中的积分常数。 电容电压u 的初始值， 电容电压 C和电感电流 iL的初始值，即uC(0+)和 称为独立的初始条件， iL ( 0+)称为独立的初始条件，其余称为非独立的初始 条件。 条件。

换路定律

独立初始条件的确定

qc (0+) = qc (0-)

换路瞬间， 换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压(电荷) 为有限值，则电容电压(电荷) uC (0+) = uC (0-) 换路前后保持不变。 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 换路瞬间， ψL (0+)= ψL (0-) 为有限值，则电感电流(磁链) 为有限值，则电感电流(磁链) iL(0+)= iL(0-) 换路前后保持不变。 换路前后保持不变。

注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。 换路定律反映了能量不能跃变。返 回 上 页 下 页

非独立初始条件的确定电路的非独立初始条件，即电阻的电压和电流、 电路的非独立初始条件，即电阻的电压和电流、电容 电流、电感电压等则需要通过已知的独立初始条件求得。 电流、电感电压等则需要通过已知的独立初始条件求得。

稳态分析和动态分析的区别 稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解 动态 任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的通解

dx 直流时 a + a0x =US 1 dt dx t ∞ = 0 a0x =US dt返 回 上 页 下 页

动态电路的方程电路 例 RC电路 应用KVL和电容的 和电容的VCR得： 应用 和电容的 得

(t >0) + Us -

R i + uC –

C

Ri + uC = uS(t) duC i =C dt若以电流为变量： 若以电流为变量：

duC RC +uC = uS(t) dt dt 1 Ri + ∫idt = uS(t) C

di i duS(t) R + = dt C dt返 回 上 页 下 页

RL电路 电路 应用KVL和电感的 和电感的VCR得： 应用 和电感的 得

Ri + uL = uS(t)di uL = L dt

(t >0) R i + + uL Us – -

R 若以电感电压为变量： 若以电感电压为变量： ∫uLdt +uL = uS(t) LR duL duS(t) uL + = L dt dt返 回 上 页 下 页

di Ri + L = uS(t) dt

结论

有源 电阻 电路

一个动 态元件

一阶 电路

含有一个动态元件电容或电感的线性电 其电路方程为一阶线性常微分方程， 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。 一阶电路。

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描述动态电路的电路方程为微分方程； 结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件, 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。 电路的方程是一阶线性微分方程。

二阶电路

dx a1 + a0x = e(t) t ≥ 0 dt2

二阶电路中有二个动态元件, 二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。 电路的方程是二阶线性微分方程。

dx dx a2 2 + a1 + a0x = e(t) t ≥ 0 dt dt返 回 上 页 下 页

求初始值的步骤: 小结 求初始值的步骤:1.由换路前电路(稳定状态) 1.由换路前电路(稳定状态)求uC(0-)和iL(0-); 由换路前电路 和 ； 2.由换路定律得 2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 。 3.画 等效电路。 3.画0+等效电路。 a. 换路后的电路 电容(电感)用电压源(电流源)替代。 b. 电容(电感)用电压源(电流源)替代。 时刻值，方向与原假定的电容电压、 (取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电 感电流方向相同)。 感电流方向相同)。 4.由 电路求所需各变量的0 4.由0+电路求所需各变量的 +值。返 回 上 页 下 页

7.2 一阶电路的零输入响应零输入响应 动态电路中无外施激励电源， 动态电路中无外施激励电源，仅由 动态元件初始储能所产生的响应， 动态元件初始储能所产生的响应， 称为动态电路的零输入响应。 称为动态电路的零输入响应。

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小结①一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引 起的响应, 起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减 函数。 函数。

y(t) = y(0+ )eRC电路 电路 RL电路 电路

t

τ

uC (0+) = uC (0-) iL(0+)= iL(0-)

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小结②衰减快慢取决于时间常数τ RC 电路

τ =RC

τ = L/R

RL 电路

R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 ③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 ④一阶电路的零输入响应和初始值成正比， 一阶电路的零输入响应和初始值成正比， 称为零输入线性。 称为零输入线性。

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7.3 一阶电路的零状态响应零状态响应 动态元件初始能量为零， 动态元件初始能量为零，由t >0电 电 路中外加激励作用所产生的响应。 路中外加激励作用所产生的响应。 非齐次线性常微分方程

1.RC电路的零状态响应 1. 电路的零状态响应S(t=0) + US – R C + uR – + uC i – uC (0-)=0

方程： 方程：

du duC RC +uC =US dt齐次 方程 通解上 页 下 页

解答形式为： 解答形式为：

′ ′′ uC = uC + uC非齐次方程特解返 回

开关闭合前电路处于零初始状态， 开关闭合前电路处于零初始状态，t=0 时刻，开关S闭合， 时刻，开关S闭合，电路接入直流电压 源

′ uC

特解(强制分量) 特解(强制分量)

非齐次方程的特解u 与输入激励的变化规律有关 与输入激励的变化规律有关， 非齐次方程的特解 C′与输入激励的变化规律有关 ， 为电 路的稳态解， 路的稳态解，又称为强制分量

duC RC +uC =US 的特解 dt

′ uC =US

′ ′ uC

通解(自由分量，瞬态分量) 通解(自由分量，瞬态分量) t RC

duC ′′ RC +uC = 0 的通解 uC = Ae dt 齐次方程的通解u 变化规律由电路参数和结构决定( 齐次方程的通解 〞变化规律由电路参数和结构决定(特C

征根),与外施激励无关 所以称为自由分量。 征根),与外施激励无关，所以称为自由分量。自由分量 ),与外施激励无关， 按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。 按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。返 回 上 页 下 页

全解

′ ′′ uC(t) = uC + uC =US + Ae由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A

t RC

uC (0+)=A+US= 0

A= - US

uC =US USe

t RC

=US(1 e

t RC

) (t ≥ 0) t RC

uC 以指数形式趋近于它的最终衡量值 S , 到达该值后 ， 以指数形式趋近于它的最终衡量值U 到达该值后， 电压电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。 电压电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。返 回 上 页 下 页

duC US = e 从以上式子可以得出： 从以上式子可以得出： i = C dt R

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