2009学年第一学期期中联考高二数学试卷(理

江苏省镇江市三所省重点高中2008-2009学年第一学期期中联考高二数学

试卷（理科）

江苏省句容高级中学 江苏省大港中学 江苏省扬中高级中学

2008年11月 命题人：张汉卫

参考公式:

样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差

s =

其中x 为样本平均数

一．填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1．现给出一个算法，算法语句如右图，若其输出值为1，则输入值x 为

2．右图中流程图表示的算法的运行结果是_________

3．阅读右框中伪代码，若输入的n 为50，则输出的结果是 .

4．一个公司共有240名员工,下设三部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知甲部门有36名员

工,那么从甲部门抽取的员工人数是 .

5、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19

秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于

等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于

15秒；……第六组，

成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩大于等于

15秒且小于17秒的学生人数为x ，则从频率分布直方图中可

分析出x 为

6已知一个班30人的语文成绩的茎叶图 ， 则优秀率（不小于85分）是 %

7.已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ，则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是_____。

8、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投中圆内，

那么他投中正方形区域的概率为

9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4

个是白球。若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是 。（结果用分数表示）

5 158

6 034467889

7 3555679

8 02334667

9

011 秒

10.判断方程220x x y y ++=所表示的曲线关于 对称（填x 轴或y 轴或原点）.

11．双曲线218

3222-=-y x 的焦距等于 ．

12.若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线22y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,为使得PA PF +取得最小值,则P 点的坐标为 .

13. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

14．P 为椭圆22

143

x y +=上的一点，M 、N 分别是圆22(1)4x y ++= 和22(1)1x y -+=上的点，则|PM | + |PN |的最大值为 .

二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本题满分15分） 从数字１，２，３，４，５中任取２个数，组成没有重复数字的两位数，试求：（１）这个两位数是５的倍数的概率；

（２）这个两位数是偶数的概率；

（３） 这个两位数小于45的概率.

16．（本题满分14分）已知圆C 在x 轴上的截距为1-和3，在y 轴上的一个截距为1．

（1）求圆C 的标准方程；

（2）若过点(21),的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角．

17．（本题满分15分） 设F 1、F 2分别为椭圆C ：22

22b

y a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，2

3）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；

18．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22

221x y a b

-=的一个焦点1F 且

垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C

的一个交点是2(3M ．

（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．

19、（本题满分16分）如图，过抛物线y px p 220=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （x y 22,） （I ）求该抛物线上纵坐标为

p

2

的点到其焦点F 的距离 （II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

y y y 12

+的值， 并证明直线AB 的斜率是非零常数。

20. （本题满分16分）设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?

的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求

λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ?的周长的最大值.

x

08-09学年度第一学期三校期中联考高二数学（理）答卷纸

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1．________________ 2．_____________ 3．_______________ 4．____________

5．_______________ 6．______________ 7．_______________ 8．____________

9．_______________ 10．____________ 11．______________ 12．___________

13．_______________ 14．_______________

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(本题满分15分)

16.（本题满分14分）

17．(本题满分15分)

18．（本题满分14分）

19．（本题满分16分）20．(本题满分16分)

x

08-09学年度第一学期三校期中联考高二数学试卷答案

2008年11月 命题人：张汉卫

参考公式:

样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差

s =其中x 为样本平均数

一．填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1．现给出一个算法，算法语句如右图，若其输出值为1，则输入值x 为 1或-2

2．右图中流程图表示的算法的运行结果是___7______

3．阅读右框中伪代码，若输入的n 为50，则输出的结果是 625 .

4．一个公司共有240名员工,下设三部门,

要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个

容量为20的样本．已知甲部门有36名员工,那么从甲部门抽取的员工人数是 3 .

5

、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按

如下方式分成六组：第一组，成绩大于等

5

158 秒

于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为x ，则从频率分布直方图中可分析出x 为 35

6已知一个班30人的语文成绩的茎叶图 ，

则优秀率（不小于85分）是 20 %

7.已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ，

则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是3a+2_____。

8、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投中圆内，

那么他投中正方形区域的概率为 2

π

9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球。若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是 45 。（结果用分数表示） 10.判断方程220x x y y ++=所表示的曲线关于 原点 对称（填x 轴或y 轴或原点）.

11．双曲线218

3222-=-y x 的焦距等于 20 ．

12.若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线22y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,为使得PA PF +取得最小值,则P 点的坐标为 （2，2） .

13. F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则

14．P 为椭圆22

143

x y +=上的一点，M 、N 分别是圆22(1)4x y ++= 和22(1)1x y -+=上的点，则|PM | + |PN |的最大值为 7 .

一．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本题满分15分） 从数字１，２，３，４，５中任取２个数，组成没有重复数字的两位数，试求：（１）这个两位数是５的倍数的概率；（２）这个两位数是偶数的概率；（３）这个两位数小于45的概率.

15．（1）15 （5分）（2）25 （5分） （3）34

（5分） 16．（本题满分14分）已知圆C 在x 轴上的截距为1-和3，在y 轴上的一个截距为1．

（1）求圆C

的标准方程；

（2）若过点(21),的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角．

解：（1）由题意得圆C 过(10)(30)(01)-,,,,,三点，

设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，

则1093010D F D F E F -+=??++=??++=?,,, ∴223D E F =-??=??=-?

,,, （5分）

即圆C 为222230x y x y +-+-=，

∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=； （7分）

法二：设(10)(30)(01)A B D -,,,,,，

则AB 中垂线为1x =，AD 中垂线为y x =-，

∴圆心(,)C x y 满足1x y x =??=-?,,

∴(11)

C -,

，半径r CD =5分

∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=． （7分）

（2）当斜率不存在时，即直线2l x =:到圆心的距离为1，亦满足题意，

此时直线l 的倾斜角为90°， （9

分）

当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)1y k x =-，由弦长为4，

可得圆心(11)

, 到直线l 1

1=，（

11分） ∴k =l 的倾斜角为30°， （13分）

综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°． （14分）

17．（本题满分15分） 设F 1、F 2分别为椭圆C ：22

22b

y a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上

的点A （1，2

3）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；

（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程； 解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4， 得2a =4，即a =2. ………2分

又点A （1，2

3）在椭圆上，因此222)

23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.…4分

所以椭圆C 的方程为3

42

2y x +=1，………5分

焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. ……………7分 （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：

2

,2111y y x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y .…………11分

因此3)2(4)12(22y x ++=1.即13

4)21(22

=++y x 为所求的轨迹方程. …………15分

18．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22

221x y a b

-=的一个焦点1F 且

垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C

的一个交点是2(3M ．

（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；

（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．

解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． (2分)

把2(,

)33

M 代入方程22y px =，得2p = (4分)

因此，抛物线1C 的方程为2

4y x =． (5分) 于是焦点(1,0)F (7分) （2）抛物线1C 的准线方程为1y =-，

所以，1(1,0)F - (8分) 而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ，于是

1752

2333

a MF MF =-=

-= 因此，13a = (10分)

又因为1c =，所以222

89

b c a =-=．于是，双曲线2C 的方程 为2211899

x y -= (12分) 因此，双曲线2C 的离心率3e =． (14分)

19、（本题满分16分）如图，过抛物线y px p 2

20=>()

x y 00,）（y 00>），p

2的点到其作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （x y 22,）（I y y y 12

+的值，

焦点F 的距离（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求并证明直线AB 的斜率是非零常数。

解：（I ）当y p =

2时，x p

=8

, (2分) 又抛物线y px 2

2=的准线方程为x p =-2

. (4分)

由抛物线定义得，所求距离为p p p

8258

--=(). (6分)

（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB

由y px 12

12=，y px 02

02=,

x

相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-. 故k y y x x p y y x x PA =--=+≠10

1010

102(). (9分)

同理可得k p

y y x x PB =+≠220

20(). (10分)

由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-, (11分) 即221020p

y y p y y +=-+, 所以y y y 1202+=-,故y y y 12

02+=-. (12分)

设直线AB 的斜率为k AB ，由y px 2222=，y px 12

12=

相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以k y y x x p y y x x AB =--=+≠21

2112

122(). (14分)

将y y y y 120020+=->()代入得k p y y p

y AB =+=-2120

，

所以k AB 是非零常数。 (16分)

20. （本题满分16分）设1F 、2F 分别是椭圆1422

=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．

（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?

的最大值和最小值;

（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ?的周长的最大值. 解：

（Ⅰ）易知2,1,a b c ==

所以(

))12,F F ，设(),P x y ，则

(

))2212,,,3PF PF x y x y x y ?=--=+- ()2221133844

x x x =+--=- (3分) 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ? 有最小值2-

当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?

有最大值1 (5分)

（Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-

B ()1F 由11CF BF λ=

得001

x y λ==-，

(8分) 又 2

2

014x y += 所以有2670λλ++=解得舍去）01(7>=-=λλ． (10分) （Ⅲ因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |(12分)

≤4＋|BF 2|，(14分)

∴1PBF ?的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．

所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ?周长最大，最大值为8．(16分)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dq3q.html