大数定律及其应用( 刘胜举200702014001)

本科生毕业论文（设计）

题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师

2011年 4 月 28日

目 录

摘 要 ............................................................ I 第一章 绪论 ....................................................... 1 第二章 大数定律 ................................................... 2 2.1大数定律的发展历史 ............................................ 2 2.2几个常用的大数定律 ............................................ 3 第三章 大数定律的一些应用 ........................................ 6 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 ................................ 6 3.2大数定律在保险业的应用 ....................................... 10 结 论 ......................................................... 18 参考文献 ......................................................... 19 致 谢 ......................................................... 20

摘 要

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用 。 关键词：大数定律，概率分布，保险业

Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications.

Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance

I

第一章 绪论

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。 即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

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第二章 大数定律

2.1大数定律的发展历史

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.

1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。

它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。

频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数

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定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。

2.2几个常用的大数定律

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

定义1 设有一列随机变量?,?1,?2…..，如果对于任意的??0，有

limP??n??????1则

n??称随机变量序列??n?依概率收敛于?，记作

?n????,?n???。

p定义2 设有随机变量

n???和一

列随机变量??n? ，?1,?2…..，若

a.e则称??n?几乎处处收敛于?，记作?n????,?n??? limP??n?????1??成立，定义3 若?1,?2,???????n是随机变量序列,如果存在常数列a1,a2,???,使得对任意的??0,有

?1limP?n???nn??i?an????1 （8）

i?1??成立,则称随机变量序列??i?满足大数定律.

定义4 设有随机变量?和随机变量序列??n?的r阶原点矩E?r、E?nr（n=1,2……）存在，其中r>0，若limE?n??n??r?0则称?nr次平均收敛到?。记

作 ?n?L???。

此时必有E?nr?E?r。

当r=2时是常用的二阶矩，?n?L???称为均方收敛。

定义5 若?1,?2,???????n是随机变量序列，它们的数学期望E?i(i?1,2,.....)存在，???0有

?1lim?n???nn2r?i?k?1nn?i?E?k????1

?则称随机变量序列?1,?2,???????n服从弱大数定律。

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定义6 若?1,?2,???????n是随机变量序列，它们的数学期望E?i(i?1,2,.....)存在，???0有

?1limP?n???nn???ik?E?k???0???或等价地11nk??ni?1nk?E?ni ???0，

a.e则称?1,?2,???????n服从强大数定律。

上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim从概率号P（）中移出来，弱大数

n??定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。

定理1 对任意的随机变量?，若E??a，又D?存在，则对任意的正常数?，有P???a????D??2， 则称此式子为契贝晓夫不等式。

粗糙地说，如果D?越大，那么P???a???也会大一些。 大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。

定理2 （伯努利大数定律）设?n是n重伯努利实验中事件A出现的次数，且A在每次试验中出现的概率为p（0

limP?n????n??p?????n? 1 （5）

此定理表明：当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

定理3 （契贝晓夫大数定律） 设?1,?2,???????n是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数C?0,使有D?i?C,i?1,2,3???，则对于任意的

??0,有

?1 limP?n???nn?i?1?i?1nn?i?1?E?i????1

? （9）

在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律

定理4 （辛钦大数定律） 设?1,?2,???????n是独立同分布的随机变量序列,

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且有有限的数学期望E?i?a?i?1,2????,则对于任意的??0,有

?1limP?n???nn??i?a???? 1 （10）

i?1??上式也可表示为lim收敛于.

1nipn????ni?1?a或

1ni??ni?1???a?n???,并且称

p1ni?依概率 ?ni?1定理5 （泊松大数定律）设?1,?2,???????n是相互独立的随机变量序列,

P??n?1??p，P??n?0??q，其中p?q?1，则?1,?2,???????n服从泊松大数

nnnn定律。

泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中事件A出现概率的算术平均值附近。

定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列?1,?2,???????n,若有

?n?D???i??0,n??2n?i?1?1

则有

?1limP?n???nn?i?1?i?1nn?i?1?E?i????1

?

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第三章 大数定律的一些应用

3.1大数定律在数学分析中的一些应用

3.1.1大数定律在极限、重积分上的应用

大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。

大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。

定理7（勒贝格控制收敛定理）

设（1）?fn?是可测集E上的可测函数列；

（2）fn?x??F?x?a.e于E（n=1，2，…..，）且F?x?在E上可积分（称?fn?

为F?x?所控制，而F?x?叫控制函数）；

（3）fn?x??f?x?；

则f?x?在E上可积分且lim?fn?x?dx?En11?ab1Ef?x?dx；

aa例1：已知a?b?0，求lim?......?n??00x1?x2?......?xnx?x?......?xb2bndx1......dxn的值。

解：设x1，……xn，为独立同分布的随机变量序列，xn(n?1)服从（0，1）

bb,......,xn为独立同分布。且 上的均匀分布，x1a,x2a,......,xna为独立同分布，x1b,x2Ex?E?xiaai??10xidxi?aa1a?1,i?1 1,i?1

?2?10?xi?2dxi?2a?12

2D?xai??E?x?ai2??Exai?2a?1?????,i?1 ?22a?1?a?1??2a?1??a?1?1- 6 -

?又 D?n?1Dxnn2a???nn?112a22?2a?1??a?1??a22??2a?1??a?1??nn?112??

由契贝晓夫大数定律可知：当?xn?是独立的同分布的随机变量序列，且

??n?1Dxnn2??1由前面知道是强大数定律可知，limP????，

n????nn?k?1xk?1nn?k?1??Exk??0??1；

??由此可知

1nn?1lim?n???nxk?an?k?1x?ak1n?nk?1a?Exk??0?

即 limn???k?11a?1

nnak又因为0?xn?1,k?1,且a?b故有x?x,k?1，因此?x?akbk?x。

bkk?1k?1由此?n，有

?10?????10x1?x2?......?xnx?x?......?xb1b2aaabndx1......dxn??10?????10x1?x2?......?xnx?x?......?xb1b2aaabndx1......dxndx1......dxn?1

根据勒贝格控制收敛定理可知：

limn???10????10x1?x2?......?xnx1?x2?......?xnabbaaabdx1......dxn?limbn????x1????......?xn???x1????......?xn???bbabPd???=

?lim?x1????......?xn???xb1n??????......?aaxbn???Pd???=??b?1a?1Pd????b?1Pd??? ?a?1?即lim?????n??0110x1?x2?......?xnx?x?......?xnb1b2adx1......dxn?bb?1a?1。

可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。

[7]

3.1.2 大数定律在级数上的应用

大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很著名的问题来展现大数定律在级数中的应用：

伯努利是一位伟大而且著名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：一个求级数和的问题。

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求自然数倒数平方的级数和： 1?122?132?142?......1n2?.....。

伯努利公开征求这个问题的求解方法。

三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。

下面先来看其他方法之一是如何证明1?122?132?142?......1n2?.....??26的

设所有的排列为2<3<5<7<……

?，只可能出现下面的情况：

A1:?与?互素A2:?与?A3:?与?；

的公因子有2； 有公因子3；

………….

Aq:?与?有公因子q；…….

因此A1,A2,A3,......Aq,....是必然事件?，且知?Ai,i?2,3,.....?是相互独立的，设?中有因子q，那么?必定是q的倍数，那也可知P??是q的倍数?=同理也有P??是q的倍数?=PAq?1?1q1q。

，那么P??、?有公因子q?=1q2。由对立事件知道

??1q2。根据对偶规律A1?A2?A1?A2,根据他们的独立性，可知

...?.P?P?A?P?.A?34q P?AP1??2??A1??1??A?..?..?21?1??2?23?????1??.....1 ??2q??......根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法

PA1=??1??n?11n2?6?2.

下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。

从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为

Mn2，Bni表示第

i次取出n的倍数事件（i=2，3，4，…..）。

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根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有

??PM P?Mn2Bn1Bn? ?221? 显然Mn2?n?1,2,...?是互不相容的，且有?=?Mn2。

n?1Bni与n是相互独立的，P?Bni???1n,?n?1,2,...?,P?Bn1Bn2??1n2

P?M21?1n2???P????1?P??Mn2???n?1???n?1?P?Mn2??P?Mn2|Bn1Bn2?P?Bn1Bn2??1?6?n?1

于是就有P?M21???n?11n2?2。

根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为

1?1226?2。于是知所求级数的和为

?2?132?142?......1n2?.....?6。

3.1.3多项式逼近连续函数

分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。

例2假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在一列多项式B1(x),B2(x),?,一致收敛于函数f(x)。

证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u：x=(b?a)u?a，使u?[0,1]，

那么

由f(x)在[a，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意

?>0，存在?>0，只要x1?x2

?2，其中x1，x2?[0,1]，

此外，对于任意x?[0,1]，有f(x)?k（k为常数）。 设随机变量?1，?2??n服从二项分布，则可建立多项式： Bn(x)=Ef(

n1n?n)

mn)Cnxmm =

?m?0f((1?x)n?m

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其中x?[0,1]，参数n?1。显然Bn(0)= f(0)，Bn(1)= f(1)。由贝努力大数定律知：

??n? limp??x????1，x?[0，1]。

n????nn由于?m?0Cnxmm(1?x)n?m=1，

故有：

nBn(x) —f(x)=

n?[f(m?0mnmn)?f(x)]Cnxmm(1?x)n?m

?mn?m?0f()?f(x)Cnxmm(1?x)n?m

mm=

mn??x??f()?f(x)Cnxmm(1?x)n?m+

mn??x??f(mn)?f(x)Cnx(1?x)n?m

<

?2+2k

mn?c?x??mnx(1?x)mn?m??n?=+2kP??x???。 2??n?而对于任意x?[0,1]，

??n?nnp?x，可见存在N，使当n>N时，

P????x????4k??n，

从而，当n>N时，对于一切x?[0,1]，有：

Bn(x)?f(x)<

?2??4k?2k=

?2+

?2=?

即Bn(x)关于x?[0,1]一致收敛于f(x)。

从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。

[8]3.2大数定律在保险业的应用

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3.2.1保险动机的产生

现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。

例如某企业有资金Z单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为Z1个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金

Z?Z1单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为f?Z?，显然有

f?Z??f?Z?K?，当K?Z1时为预期风险条件下利润损失额。当ff?Z???Z?0时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这?K?就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为Xi(i?1,2,....,n)，则Xi的概率分布为：

Xi取值 0 Z1 1?P概率 P 上表中，P为风险发生的概率，Z1为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为E?Xi??Z1P。

根据契贝晓夫大数定律，当Z1有限时，???0，

?1lim?Pn??n?n?i?1?Xi?Z1P????0.

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???0，上述式子可以表述为：n个具有某种同类风险，且风险的发生是相

互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。

定理6 [1] 在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中出言的概率为p，(0?p?1)，?n为n此试验中出现A的次数，则

???np?nlimP??x????n??npq???x??12??e?t22dt。

定理7 [1] 设随机变量X1，X2，?，Xn，?相互独立，服从同一分布，且具

有数学期望和方差E（Xk）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,?).则随机变量

n?Yn?k?1?n?Xk?E??Xk??k?1?nn??k?1Xk?n?n?

D(?Xk)k?1的分布函数Fn（x）对于任意x满足

?n?X?n??k???k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n????????x12π??e?t22dt.

根据上述中心极限定理，由事先约定的??0，则

?1?P?nn?i?1???Xi?Z1P????2?1????????????????P(1?p)???n

这样，由事先给定的?、?、P确定出参加某种风险保障的企业最小数目n. 例如：当?=0.01、P=0.0012，则当约定?=0.001时，一定有n?130,也就是说当n?130时，上述的结果成立。

依据上述结果，从两个方面来看，

从微观上看，因为0?P?1,则Z1?PZ1，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有f?Z?Z1??f?Z?PZ1?。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。

从宏观上看，如果有n个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为

D1???f?Z??f?Z?Z??。

ii1i?1n其中fi?Z?表示第i个企业的利润函数（i=1,2,…..n）.

而这n企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为

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D2???f?Z??f?Z?PZ??。

ii1i?1n则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：

Dn?D1?D2???f?Z?PZ??f?Z?Z??

i1i1i?1n由于 f?Z?Z1??f?Z?PZ1?，i=1,2,……n. 所以此效益随着n的增大而增大。

综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。

保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有：

1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。

2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。 3.2.2 保险公司财政的稳定和保费的确定

参保的动机都是为了自己的利益和生存得更加的安稳，在当今社会，家庭日趋小型化，而在中国人口老龄化也是不可阻挡的趋势，家庭医疗费用的支出占据家庭收入的比例在不断的升高，保险是补偿和减轻发生危险事故带来损失的有效手段，是一种互助共济的社会保障制度，参与社会保险，求助于社会的互助是越来越多人的选择。

但是保险公司需要长久经营下去，它们需要估计它们承担风险的大小，估计危险事故造成损失的分布，确定人身保险事故的损失概率，运用概率论以及统计分析，计算被保险人应交纳的保险费，保证经营财务的稳定性。意外风险导致的事故赔偿是不确定的，怎样收取保费，既能使得被保险人能够承担乐于支付又使得保险公司不赔，这就需要求助于大数定律和中心极限定理了。

下面就来看保险的保费是如何计算的？ 有X1,X2,X3......Xn….为相互独立的随机变量，

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EXi???,DXi????i?1,2,....n?，

大数定律中，有limP??Xi??EXi????1.这里X1,X2,X3......Xn可以看作n

n??n?n?个被保险人发生损失时得到的赔款额。每个人是否发生损失是未知的，赔款多少是未知的、不相等的，但每个人发生损失的概率是相等的，保险金额、赔款条件是相同的、相互独立的。EXi???i?1,2,......n?，平均赔款额

1nn?11??i?1Xi，当n较大时

应逐渐接近于EXi，这就为如何收取合理的纯保费提供了理论依据，如果掌握了Xi的概率分布之后，那么纯保费收取在额在EXi左右算比较科学合理，而且也达到收支平衡。大数定律揭示了纯粹风险转移到保险公司后，虽然损失仍然存在，但是不确定性因此消除，保险公司就是利用风险的不确定性在大数中消失的规律来分散风险。一般说来，财产保险主要是在数量方面分散风险，而人身保险则主要在时间方面分散风险。而且我们要考虑保证保险公司财政的稳定性，不然公司早晚也要陷入财政危机。

保险公司要注意保持保险公司财政的稳定性，才能让企业赚取利润的同时有效的发展。对于保险公司来说，要增加财政的稳定性，并不是增加客户的承担的保险费，这样的话会适得其反，一般情况下是增加客户量，也就是增加被保险单位来实现财政的稳定性。

假设某类保险比如养老保险，起先有100个客户，每个单位客户的损失概率为p?0.2，一般情况下各个被保险单位是相互独立的，所以，保险的损失次数

X服从二项分布，X?B?n,p?，此时n?100,p?0.2，根据二项分布的数学期望

的计算公式可以知道，损失的期望值为np?20次，标准差为np?1?p??4，这一标准差与总数的比率为4%。根据中心极限定理，损失次数X在区间

?????np?u??np?1?p???1??2?????n,?np?u??np?1?p???1??2??n???16,24? ??这一范围内的概率为95%，即损失概率以95%的置信度落在区间?0.16,0.24?之内，此时的置信区间长度为0.08，95%的置信度对于保险公司说显然是可以接受

的，但是损失概率的置信区间长度为0.08，显然是不符合保险的财政稳定性要求的。此时如果把被保险单位由原来的100个增加到10000个，则此时np?2000，

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标准差为np?1?p??40，这一标准差与总数的比率为定律及中心极限定理，损失次数X在区间

???np?u?np1?p???????1??2???4010000?0.004。根据大数

??n,?np?u??np?1?p???1??2??n???1960,2040? ??（距离期望值两个标准差）

这一范围内的概率为95%，即损失概率以95%的置信度落在区间?1960,2040?，损失概率的置信区间长度仅为0.008，这对于保证保险财政的稳定性显然是可以接受的。[13]

由此我们容易看出，保费的确定是要合理的，不可随便波动，而且保险公司要保证财政稳定，需要大量的客户，那么需要的“大数”具体为多少？如何去诶的那个呢？大数定律告诉我们，当被保险单位足够多时，实际损失和预期损失之间的误差会变得很小很小。

具体的发生的概率和大数的大小需要利用大数定律和中心极限定理来计算出来。

设X1,X2,X3......Xn独立同分布的随机变量，EXi???,DXi????i?1,2,....n?有

??limP?n??????n?i?1?Xi??EXi?i?1?x??n???DXi?i?1?n?x??12??e?t22dt。

这里X1,X2,X3......Xn看作n个被保险人发生损失的次数，每个Xi取值为0

n或者1，则X??i?1Xi为n个被保险人发生损失的总人数，服从二项分布，当n

很大时就可以计算出一个范围内人数发生损失的概率。例如，当n很大时，假设每个人发生损失的概率为p，要求损失人数在?l,m?(l?m,且都是正整数)的概率，那么就有：

?P?l?x?m??????????np?1?p???m?np??????。

np?1?p???l?np例如10000个人中每个人死亡的概率都是0.003，求死亡人数在150到300之间的概率，那么就有

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?P?150?x?300??????????30?0.997???300-30??????

30?0.997???150?30这样看来，保险需要大数估计，那么就需要足够多的人来参与买保险，实际损失和预期损失之间的误差才会很小。前面我们知道如何收取合理的保费以及每个区间段的损失的概率，那么要如何确定这个“大数”，才能使得保险业得以存在和发展？

当随机变量服从X?N??,?2?时，P?X???K???2??K??1.K为实际损失与预期损失相差的标准差的个数，设N为总数，设E?K?N为实际损失变动次

数与总数的比率表示精确度，p为某一个特定标的发生损失的概率。

那么N?K?E222?Kp?1?p?E22。

例如：20岁时人的死亡率为p=0.002，某一寿险公司希望有95%的把握估计实际死亡人数能在预期死亡率0.002上下摆动幅度不超过10%*0.002,那么这个公司需要承保人数必须到达：

N?22*0.002*0.998?199600。 20.0002大数具有相对性，也与具体的客户类型有关，如果是广泛性的，比如养老保险之类，客户量当然可以达到比较大的数量，但是并不是所有的保险标的都可以达到这样的可观的数量。

如今的保险公司，一般的保险标的还是比较大的，但上述这样的结果只是理论上的，在实际的保险业运行中，不可能有这么庞大的客户，有多个方面的原因限制，首先人口、经济的限制，一个地区或者某些国家并不具备这么大数字的人口量，而且经济上并非所有人都可以承担保费。其次是保险公司发展甚多，客户量分散，单独一家独大的现象很少，这也意味着单独某家保险公司不会轻易满足那么大的客户量，再次很多保险标的、被保险对象本身的量就不大，例如一次卫星发射作为保险对象，不可能是大数次的发生的，所以这个结果多时只是理论上的可行。这样就产生一个问题，如果被保险对象本身数量很少，而且该保险标的本身价值不菲，此时责任集中，更无大数理论来分散风险，那要改怎么办？

此时我们就要用到一个概念“再保险”。

再保险又称为分保，是保险人将其所承保的风险和责任的一部分或者全部转移给其他保险人的一种保险，转让业务的是再保险分出人，接受业务的是再保

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[4]险接受人，这种风险转嫁方式是保险人对原是风险的纵向转嫁。即第二次风险转嫁。再保险是保险承保的方式之一。

例如我们国家即将发射的嫦娥二号卫星将于2010年10月发射，其作为一个保险标的，不可能实现保险公司的大数的期望。现在假如A保险公司来承保这项“奔月”的保险，保险金额为10亿元。此时无法依靠大数定律的大数来分散风险，而责任又很集中很重大，A公司此时将如何作出选择？它就会利用再保险的方式来做出选择。同样还是利用大数定律，A公司保留一部分保险额，比如25%的保险额，而让其他的保险额的风险责任分散到再保险的人们手中。使得A公司单独无法承担的风险，通过再保险，在同行业或者国际间范围内得以实现，再保险使大数定律跨越了风险单位的限制，在更广泛的意义上贯彻了大数定律，对整个保险市场起到稳定协调的作用。

大数定律对于保险业的作用，也不仅仅局限于上述的商业保险这一个范围，还有近些年兴起的，比如某项大灾难的巨型保险、民航保险、水利建设保险、农业保险、风能的开发保险等等比较大的保险项目，可以看出，光保险一项，大数定律就在不断的向我们生活中渗透开来。

当然大数定律的应用绝不仅仅在于和数学分析之间的渗透，为我们解决级数、极限等问题提供新的思路，也不仅仅产生和推动了保险业这个大厦。它的应用很广泛，比如交通事故预防模型的建立、银行经营管理以及股价的波动等等几乎都需要涉及大数定律，都需要大数定律的支援。如果通俗的把大数定律看成大数次下重复的随机现象具有的客观规律的话，它具有一定的稳定性和规律性，

那么几乎可以说大数定律在我们的生活中无处不在，这一点甚至和哲学都可以扯上关系，这一点上也有许多的文章论述过。所以大数定律的应用范围广阔，发展前景宏大，这是大数定律应该被认识到的意义所在。

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结 论

本文根据有关大数定律的定义、定理，得到大数定律更多的内容，比如强大数定律的定义等。总结起来，分别在理论上和实践上看到了大数定律的实际作用。

在理论上，利用大数定律的思想，我们可以得出求解极限、重积分以及级数的一种新思路，为我们解决一些数学分析中的难题提供了理论上的指导；另一方面，在实际生活中，保险体现“我为人人，人人为我”的互助思想，它是依据大数定律合理分摊、化整为零这一科学的数理计算方法，大数定律是保险业存在、发展的基础。从保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定中，大数定律起到不可或缺的作用。大数定律为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。

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参考文献

[1].章志敏.一个级数求和的概率算法[J].山东曲阜师范学院.1984.5. [2]王玉皎.无形的商品—保险信息[J].山西财经学院学报.1994. [3]薛蓓蕾.人身保险中的数学计算[J].哈尔滨高等专科学校学报.1999.

[4]王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的应用[J].数学的实践和认识.2005.35.

[5]岳金健.利用大数定律和中心极限定理求解极限[J].龙岩学院学报.2007. [6]何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究[J].税务与经济.2007.4.

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致 谢

本论文是在熊国敏教授及王海英老师的悉心指导下完成的．从论文的开题报告到论文初稿的撰写，每一步王老师都对我帮助很大，特别是她教会了我如何开展原创工作、如何借鉴他人的思想把握其实质．王老师扎实的知识基础、严谨的治学态度、忘我的敬业精神以及宽以待人的品格永远是我学习的榜样，令我终生受益．在此论文完成之际，谨向我的恩师表示深深的感谢和由衷的敬意．

感谢四年来安顺学院的所有老师对我的关心和帮助，同时感谢四年来在生活、学习上给予我众多帮助的同学们！

我还要把深深的感谢之情献给我的家人以及好友，感谢他们在我学习期间给予了我巨大的支持和鼓励，使我可以全身心地投入到学习和工作中．正是他们给予我的精神支持和生活帮助，使我能够顺利完成本论文，谨以此文作为向他们的献礼！

最后，对审阅本论文的各位老师、教授表示衷心的感谢！

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