2013届高考理科数学第一轮复习测试题20

A级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是( )．

解析 在同一坐标系中作出y＝2x与y＝x2的图象可知，当x∈(－∞，m)∪(2,4)，y<0，；当x∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y>0，(其中m<0)，故选A. 答案 A

2．(2012·合肥模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 010)＋f(2 011)的值为( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析 ∵f(x)是偶函数， ∴f(－2 010)＝f(2 010)． ∵当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数，

∴f(－2 010)＋f(2 011)＝f(2 010)＋f(2 011) ＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1. 答案 C

1?x－23．(2012·人大附中月考) 设函数y＝x3与y＝??2?的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )． A．(0,1) C．(2,3)

解析 (数形结合法)如图所示．

B．(1,2) D．(3,4)

由1

答案 B

1?x

4．(2011·四川)函数y＝??2?＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )．

1?x解析 函数y＝??2?＋1的图象如图；作其关于直线y＝x的对称图象，可知选A.

答案 A

115．(2010·辽宁)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )．

abA.10 C．20

B．10 D．100

11

解析 由已知条件a＝log2m，b＝log5m，又＋＝2，则logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，

ab解得m＝10. 答案 A

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析 (数形结合法)

1

由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜.

210，? 答案 ??2?7．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 11－

解析 ∵31＝，30＝1，＜0.618<1，∴k＝－1.

33答案 －1

8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，

若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．

答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分) 9．(11分)设函数f(x)＝2|x

＋1|－|x－1|

，求使f(x)≥22的x的取值范围．

解 y＝2x是增函数，f(x)≥22 3

等价于|x＋1|－|x－1|≥.

2

(1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1

①式化为2x≥，即≤x<1.

24

(3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解． 3

，＋∞?. 综上，x取值范围是??4?

10．(12分)已知f(x)＝ex－ex，g(x)＝ex＋ex(e＝2.718 28…)

－

－

①

(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；

gx＋y(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．

gx－y解 (1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－ex)2－(ex＋ex)2

－

－

＝(e2x－2＋e

－2x

)－(e2x＋2＋e

－

－

－2x

)＝－4.

(2)f(x)f(y)＝(ex－ex)(ey－ey) ＝exy＋e

＋＋

－x－y

－exy－e

－

－

－x＋y

]＝g(x＋y)－g(x－y)

① ②

＝[exy＋e

－(x＋y)

]－[exy＋e

－(x－y)

∴g(x＋y)－g(x－y)＝4

同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8， 由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2， gx＋y∴＝3. gx－yB级 综合创新备选

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

??a a≤b1．(2011·杭州模拟)定义运算：a*b＝?，如1]( )．

??b a＞b

A．R B．(0，＋∞) C．(0,1] D．[1，＋∞)

?2x x≤0?，?

解析 f(x)＝2x*2＝?－x∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，

?2 x＞0?，?

－x

∴0＜f(x)≤1. 答案 C

2x1

2．(2012·上饶质检)设函数f(x)＝x－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]1＋22的值域是( )．

A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1} D．{1,1} 2x11111解析 由f(x)＝－＝1－－＝－，

1＋2x21＋2x221＋2x1

由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－所以f(x)为增函数，由于2x＞0，x在R上单调递增，1＋2当x→－∞，2x→0，

11∴f(x)＞－，当x→＋∞，→0，

21＋2x111

∴f(x)＜，∴－＜f(x)＜，

222∴y＝[f(x)]＝{0，－1}． 答案 B

二、填空题(每小题4分，共8分)

3．(2012·安庆模拟)若f(x)＝ax与g(x)＝axa(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a

－

－

＝________.

解析 g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝ax上，∴1＝aa2.∴a

－

－

－2＝0，即a＝2. 答案 2

4．(★)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析 (数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.

答案 －1≤b≤1

【点评】 本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围.

三、解答题(共22分)

10x－10x

5．(10分)已知f(x)＝x－.

10＋10x－

(1)判断函数奇偶性；

(2)证明：f(x)是定义域内的增函数．

10x－10x

(1)解 ∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

10＋10x－

10x－10x102x－12

(2)证明 法一 f(x)＝x＝1－2x. －x＝2x10＋1010＋110＋1

－

22102x2－102x1

令x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝?1－102x＋1?－?1－102x＋1?＝2·2x. ????102＋1?102x1＋1?21当x2＞x1时，102x2－102x1＞0. 又∵102x1＋1＞0,102x2＋1＞0， 故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0， 即f(x2)＞f(x1)．所以f(x)是增函数． 法二 考虑复合函数的增减性． 10x－10x2

由f(x)＝x. －x＝1－2x10＋1010＋1

－

∵y1＝10x为增函数， ∴y2＝102x＋1为增函数，y3＝

2

为减函数，

10＋1

2x22

y4＝－2x为增函数，f(x)＝1－2x为增函数．

10＋110＋110x－10x

∴f(x)＝x－在定义域内是增函数．

10＋10x－

a·2x－1－a

6．(12分)若函数y＝为奇函数．

2x－1(1)求a的值； (2)求函数的定义域；

(3)求函数的值域．

a·2x－1－a1

解 ∵函数y＝，∴y＝a－x. x2－12－1(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即 11

a－－x＋a－x＝0， 2－12－11－2x1∴2a＋x＝0，∴a＝－. 21－211

(2)∵y＝－－x，

22－1∴2x－1≠0，即x≠0.

11

∴函数y＝－－x的定义域为{x|x≠0}．

22－1(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.

∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0. 111111∴－－x＞或－－x＜－. 22－1222－1211即函数的值域为{y|y＞或y＜－}．

22

(3)求函数的值域．

a·2x－1－a1

解 ∵函数y＝，∴y＝a－x. x2－12－1(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即 11

a－－x＋a－x＝0， 2－12－11－2x1∴2a＋x＝0，∴a＝－. 21－211

(2)∵y＝－－x，

22－1∴2x－1≠0，即x≠0.

11

∴函数y＝－－x的定义域为{x|x≠0}．

22－1(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.

∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0. 111111∴－－x＞或－－x＜－. 22－1222－1211即函数的值域为{y|y＞或y＜－}．

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