第九章 欧氏空间

第八章 欧氏空间练习题

1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量?,?,以下等式成立:

(1)|???|2?|???|2?2|?|2?2|?|2； (2)?,??11|???|2?|???|2. 44在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间Rn里,求向量??(1,1,?,1)与每一向量

?i?(0,?,0,1,0,?,0),i?1,2,?,n

的夹角.

3．在欧氏空间R4里找出两个单位向量,使它们同时与向量

(i)??(2,1,?4,0)??(?1,?1,2,2) ??(3,2,5,4)中每一个正交.

4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．

5．设?,?是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:

|???|2?|?|2?|?|2(勾股定理)

6．设?1,?2,?,?n,?都是一个欧氏空间的向量,且?是?1,?2,?,?n的线性组合.证明：如果?与?i正交,i?1,2,?,n,那么??0. 7．设?1,?2,?,?n是欧氏空间的n个向量. 行列式

??1,?1?G(?1,?2,?,?n)???1,?2????1,?n???2,?1???2,?2????2,?n?

??????n,?1???n,?2????n,?n?叫做?1,?2,?,?n的格拉姆(Gram)行列式.证明G(?1,?2,?,?n)=0,必要且只要

1

?1,?2,?,?n线性相关.

8．设?,?是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:

2??,??2??,??和都是?0的整数.

??,????,??证明: ?,?的夹角只可能是

?2?3?2,3,4或5?. 69.证明:对于任意实数a1,a2,?,an,

?|ai?1ni232). |?n(a12?a2?a3???an10．已知

?1?(0,2,1,0),?2?(1,?1,0,0),

?3?(1,2,0,?1),?4?(1,0,0,1)

是R4的一个基.对这个基施行正交化方法,求出R4的一个规范正交基．

11．在欧氏空间C[?1,1]里,对于线性无关的向量级{1,x,x2,x3}施行正交化方法,求出一个规范正交组．

12．令{?1,?2,?,?n}是欧氏空间V的一组线性无关的向量,{?1,?2,?,?n}是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即

G(?1,?2,?,?n)?G(?1,?2,?,?n)???1,?1???2,?2????n,?n? 13．令?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K?{??V|???xi?i,0?xi?1,i?1,2,?n}

i?1nK叫做一个n-方体.如果每一xi都等于0或1,?就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?

14．设{?1,?2,?,?m}是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意??V,以下等式成立:

2

??,?i?1m2i?|?|2.

15．设V是一个n维欧氏空间.证明

(i)如果W是V的一个子空间,那么(W?)??W.

(ii)如果W1,W2都是V的子空间,且W1?W2,那么W2??W1? (iii)如果W1,W2都是V的子空间,那么(W1?W2)??W1??W2?

16．证明,R3中向量(x0,y0,z0)到平面

W?{(x,y,z)?R3|ax?by?cz?0}

的最短距离等于

|ax0?by0?cz0|a?b?c17．证明,实系数线性方程组

222．

?aj?1nijxj?bi,i?1,2,?,n

有解的充分且必要条件是向量??(b1,b2,?,bn)?Rn与齐次线性方程组

?aj?1njixj?0,i?1,2,?,n

的解空间正交.

18．令?是n维欧氏空间V的一个非零向量．令

P??V|??,???0}． ??{P?称为垂直于?的超平面,它是V的一个n?1维子空间.V中有两个向量?,?说是位于P?的同侧,如果??,??与??,??同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面P?同侧,且两两夹角都??2的非零向量一定线性无关．

[提示:设{?1,?2,?,?r}是满足题设条件的一组向量.则??i,?j??0(i?j),并且不妨设??i,???0(1?i?r).如果?ci?i?0,那么适当编号,可设

i?1r 3

c1,c2,?,cs?0,cs?1,?,cr?0,(1?s?r),令???ci?i???cj?j,证明??0.由

i?1j?s?1sr此推出ci?0(1?i?r).] 19．设U是一个正交矩阵.证明:

(i)U的行列式等于1或-1; (ii)U的特征根的模等于1; (iii)如果?是U的一个特征根,那么

1?也是U的一个特征根;

(iv)U的伴随矩阵U*也是正交矩阵.

20.设cos?2?0,且

0?1?U??0cos??0sin?????sin??. cos???0证明,I?U可逆,并且

(I?U)(I?U)?1?000?????tan?001?

2???0?10?21.证明:如果一个上三角形矩阵

?a11??0A??0????0?a12a220?0?a1n??a23?a2n?a33?a3n?

?????0?ann??a13是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素aij是1或-1.

22．证明:n维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.

23．设?是n维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在?之下不变,那么W的正交补W?也在?下不变.

24．设?是欧氏空间V到自身的一个映射,对?,?有?(?),?(?)??,?.证明?是

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V的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U是一个三阶正交矩阵,且detU?1.证明:

(i)U有一个特征根等于1; (ii)U的特征多项式有形状

f(x)?x3?tx2?tx?1

这里?1?t?3.

26．设{?1,?2,?,?n}和{?1,?2,?,?n}是n维欧氏空间V的两个规范正交基.

(i)证明:存在V的一个正交变换?,使?(?i)??i,i?1,2,?,n.

(ii)如果V的一个正交变换?使得?(?1)??1,那么?(?2),?,?(?n)所生成的子空

间与由?2,?,?n所生成的子空间重合.

27．设?是n维欧氏空间V的一个线性变换.证明,如果?满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:(i) ?是正交变换;(ii) ?是对称变换;(iii)?2??是单位变换.

28．设?是n维欧氏空间V的一个对称变换,且?2??.证明,存在V的一个规范正交基,使得?关于这个基的矩阵有形状

0??1???????1??

0????????00???29．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.

30．n维欧氏空间V的一个线性变换?说是斜对称的,如果对于任意向量?,??V,

?(?),????,?(?).

证明:

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(i)斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条

件A???A的矩阵叫做斜对称矩阵)

(ii)反之,如果线性变换?关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么

?一定是斜对称线性变换.

(iii)斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.

31．令A是一个斜对称实矩阵.证明,I?A可逆,并且U?(I?A)(I?A)?1是一个正交矩阵.

32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得U'AU是对角形式:

?112?8??17?84?????210?; (ii)A???817?4? (i)A??2?4?411???8105????? 6

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