几何证明的基本方法

几何证明的基本方法

一．割补法：

1.（全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，点E是BC上一点，BE k EC， BAE CDE，猜想AB、CD的数量关系.

2. （全等）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB AC，CD//BA，点P

是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

相似）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB k AC，CD//BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

--1--

3. （全等）如图，在 ABC中，AB AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中，AB k AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

4. （全等）如图，在 ABC中， DBC ECB

探究BE与CD的数量关系.

1 A，BD、CE交于点P. 2

（相似）如图，在 ABC中， DBC ECB A，BD、CE交于点P，PB k PC.

探究BE与CD的数量关系.

5．（全等）如图，在 EBC中，BD平分 EBC，延长DE至点A，使得EA ED，且 ABE C. 探究AB与CD的数量关系.

（相似）如图，BD平分 EBC，D 是BD上一点，且BD k BD ，连结D C、DE，并延长DE至点A，使得EA ED，且 ABE C.

探究AB与CD 的数量关系.

6.（全等）如图，在 ABC中， C 90 ，AC BC，P为AB的中点，

PE PF分别交AC、BC于E、F.

探究PE、PF的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中， C 90 ，AC BC，P为AB上一点，且AP k PB，PE PF分别交AC、BC于E、F.

探究PE、PF的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中，AC BC，P为AB上一点，且AP k PB， EPF C 180 ， EPF的两边分别交AC、BC于E、F.

探究PE、PF的数量关系.

7. （全等）如图，CB CD， ABC CDE 180 ，AB DE.

探究：AF与EF之间的数量关系

（相似）如图，CB CD， ABC CDE 180 ，AB k DE.

探究：AF与EF之间的数量关系

如图，直线l1、l2相交于点A，点B、点C分别在直线l1、l2上，AB k AC，连结BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作 BDE BAC ，与 ECF的一边交于点E，且 ECF ABC.

⑴如图1，若k 1，且 90 时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；

⑵如图2，若k 1，时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明.

二．倍长中线法：

1. （全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，AD是 ABC的中线，AB k AC，点E是AC延长线上一点，且 AEF BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE、AF的数量关系.

2. （全等）如图，在 ABC中，CD AB， BAD BDA，AE是BD边的中线.求证：AC 2AE

（相似）如图，在 ABC中，AB k AD， BAD BDA，AE是BD边的中线，且 EAD C. 探究AE、AC的数量关系.

3. （全等）如图，在 ABC中，AD平分 BAC，G为BC的中点，EG//AD交CA延长线于E. 求证：BF EC

（相似）如图，在 ABC中，G为BC的中点，E为CA延长线上一点，EG交AB于F，AD//EG交BC于点D，CH//AB交AD延长线于点H，且EC k AC.探究：FB与CH的数量关系.

4. （全等）如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.

（相似）如图， ABC与 BDE中， CAB BDE 90 ，AC k AB，DE k DB，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的数量关系.

5. （全等）如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的关系.

（相似）⑴如图1，两个矩形ABDE和ACGF相似，AE k AB，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的关系.

⑵如图2，若将“两个矩形ABDE和ACGF相似”改为“两个平行四边形ABDE和ACGF相似”，且 EAB .探究AP与EF的关系.

6．已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.

⑴试说明线段ME与MC的关系.

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转 度数（ 90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

7.如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.

⑴操作：将三角板中的90 角的顶点与点O重合，使这个角落在 ABC的内部，两边分别与正方形

每组AF、FE、ABCD的边AB、BC交于F、E.当F、E的位置发生变化时，请你通过测量并回答，

EC三条线段中，哪一条线段是中始终最长.

⑵以AF、FE、EC这三条线段能否组成以FE为斜边的直角三角形？

若能，请你证明；若不能，请你说明理由.

⑶探究：如图2， ABC， B 90 ，点O是斜线AC的中点，当90 角的顶点与点O重合，使这个角在 ABC的内部绕点O转动时，⑵中的结论是否仍然成立？请你证明.

8.⑴如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的

边BC的延长线上（CG BC）

取线段AE的中点P.

探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.

⑵如图2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.

三．构造中位线法（平行线法）

1. （全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，AD是 ABC的中线，AB k AC，点E是AC延长线上一点，且 AEF BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE、AF的数量关系.

2. （全等）如图，在 EBC中，BD平分 EBC，延长DE至点A，使得EA ED，且 ABE C.

（相似）如图，BD平分 EBC，D 是BD上一点，且BD k BD ，连结D C、DE，并延长DE至点A，使得EA ED，且 ABE C.

探究AB与CD 的数量关系.

3.如图，四边形ABCD，AB CD，E、F分别为边AD、BC的中点，FE的延长线分别交CD、BA的延长线于G、H.

求证： H CGF

4.如图，在 ABC中，E是BC的中点，在AC上有一点D，且满足CD AB，F是AD的中点，连结EF并延长交BA的延长线于点G.

求证：AG AF

5.（全等）如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.

（相似）如图， ABC与 BDE中， CAB BDE 90 ，AC k AB，DE k DB，P为CE中点，连接PA、PD.

6.如图， AOB与 COD中，OA OB，，OC OD

分别为CD和AB的中 AOB COD.P为CB的中点，E、F

点

⑴判断PE、PF的数量关系并证明；

⑵猜想 EPF与 AOB的关系并证明.

7.在等腰三角形ABC和等腰三角形EDC中，AB AC，DE EC， BAC DEC ，P、F、H分别为BE、AB、DE的中点.探究： FPH与 的关系.

8.如图， BAC与 DAE具有公共的顶点A，且 BAC DAE，

AB AC，AD AE，点F、P、G分别为DE、BE、BC的中点.连接PF、PG.

猜想 FPG与 BAC的数量关系，并说明理由.

9.如图， BAC与 DAE具有公共的顶点A，且，

BAC DAE

AB k AC，AE k AD，点F、P、G分别为DE、BE、BC的中点.连接PF、PG. 猜想 FPG与 BAC的数量关系，并说明理由.

10.⑴如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG BC） 取线段AE的中点P.

探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.

⑵如图2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.

11.如图， ABC与 DBE中， ACB DEB 90 ，AC k BC，DE k BE，P为AD的中点. ⑴探究PC、PE的数量关系；

⑵探究 CPE与 CAB的关系.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dpo1.html