【百强校】2022届江西抚州市七校高三文上学期联考数学试卷(带解

【百强校】2017届江西抚州市七校高三文上学期联考数学试卷（带

解析）

一、选择题

1.若集合，则等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由已知可得：，.所以.

考点：集合的表示方法及交运算.

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

2.三个学生参加了一次考试，的得分均为70分，的得分为65分．已知命题若及格分低于70分，则都没有及格．在下列四个命题中，为的逆否命题的是（）A．若及格分不低于70分，则都及格

B．若都及格，则及格分不低于70分

C．若至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若至少有一人及格，则及格分高于70分

【答案】C

【解析】

试题分析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题：若及格分低于分，则都没有及格，的逆否命题的是：若至少有人及格，则及格分不低于分．故选：C．

考点：原命题与它的逆否命题之间的关系．

3.设，若函数为偶函数，则的解析式可以为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，只要为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；故选：B．

考点：函数奇偶性的运用．

4.若，则等于（）

A．

B．

C．0

D．

【答案】C

【解析】

试题分析：.

考点：三角函数的恒等变换.

5.在中，的对边分别是，若，则的周长为（）

A．7.5

B．7

C．6

D．5

【答案】D

【解析】

试题分析：∵,∴由余弦定理可得：，

整理可得：，∴解得：，则的周长为．故选：D.

考点：余弦定理在解三角形中的应用.

6.设正项等差数列的前项和为，且，若，则等于（）A．63或126

B．252

C．126

D．63

【答案】C

【解析】

试题分析：因为，所以，又因为，所以是方程

的两根，易得：，从而得到，所以.

考点：等比数列通项及求和.

7.若，则等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由，易得，即

所以，而.

考点：三角函数恒等变换.

【思路点晴】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.

8.已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段

的中点，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，∴，则

.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，∴，故选：D.

考点：向量数量积与解三角形.

9.已知函数与的图像如下图所示，则函数的递减区间为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：结合图象，和时，，而，故在,递减，故选：D．

考点：函数的单调性.

10.已知函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，且

，且恒成立，则下列结论正确的是（）

A．

B．不等式取到等号时的最小值为

C．函数的图象的一个对称中心为

D．函数在区间上单调递增

【答案】B

【解析】

试题分析：对于A，函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，可得,显然A不正确；对于B，，且恒成立，说

明函数最大值为，不等式取到等号时的最小值为，满足题意；对于C，函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，周期为，函数的图象一个对称中心为，不是，所以C不正确；对于D，函数

（其中为正实数）的图象关于直线对称，函数取得最小值，，函数取得最大值，函数在区间上单调递增是不正确的．故选：B．

考点：命题的真假的判断与应用与三角函数的最值.

11.若数列满足，且，则数列的第100项中，能被5整除的项数

为（）

A．42

B．40

C．30

D．20

【答案】B

【解析】

试题分析：由数列满足，即，所以，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴，由题意可知：

案选：B．

考点：求通项公式的方法，考查等差数列通项公式，考查数列的周期性.

12.已知函数，给出下列3个命题：

若，则的最大值为16．

不等式的解集为集合的真子集．

当时，若恒成立，则．

那么，这3个命题中所有的真命题是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：∵函数，∴

，故若，则的最大值为，为真命题；在同一坐标系中作出函数

的图象如下图所示，由图可得：：不等式的解集为集合的真子集，为真命题；当时，若恒成立，则，为真命题；故选：A.

考点：命题的真假判断与应用.

【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题，属于中等题.处理最值问题常考方法有：二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导数法等等，根据所给函数的结构合理选择；解不等式问题常用方法：借助单调性解不等式、数形结合法、对称法等等；而恒成立问题往往转化为最值问题.

二、填空题

1.等比数列的公比为_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：.

考点：等比数列基本运算.

2.设函数，则_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：,.

考点：分段函数与对数运算.

3.在中，的对边分别是，已知，且，则

_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：由，得：又为内角，故.所以

又，.

考点：向量的数量积与解三角形.

【方法点晴】平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．

4.若函数有3个零点，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：，结合图象易知，实数的取值范围是

.

考点：函数的零点.

【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令，变为两个函数，先画出的图象，然后将的图象上下平动，得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点.

三、解答题

1.已知，向量，向量，集合.

（1）判断“”是“”的什么条件；

（2）设命题若，则.命题若集合的子集个数为2，则.判断，，的真假，并说明理由.

【答案】（1）充分不必要条件；（2）为真命题，为假命题，为真命题.

【解析】

试题分析：（1）由平行条件可得，再由可得，故前者是后者的充分非必要

条件；（2）若，，为真命题，若集合的子集个数为，∴或，故为

假命题，∴为真命题，为假命题，为真命题．

试题解析：解：（1）若，则，∴（舍去），．．．．．．．．．．．．．1分

此时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

若，则，若“”是“”的充分不必要条件．．．．．．．．．．．．4

分

（2）若，则，∴（舍去），∴为真命题，．．．．．5分

由得，或，若集合的子集个数为，则集合中只有

个元素，则，∴或，故为假命题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴为真命题，为假命题，为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

考点：简易逻辑知识.

2.在等差数列中，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求数列的前项和

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用等差公式求通项公式；（2）利用裂项相消法求和.

试题解析：（1）设的公差为，由得

．．．．．．．．．．．．．．1分

∴，或．．．．．5分

当时，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

当时，∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（2）若成等比数列，则

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∵

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 0分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：等差等比数列基本运算及裂项相消法求和.

3.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足

.设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为

（单位：万元）

（1）求的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？

【答案】（1）；（2）投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元.

【解析】

试题分析：（1）由题意，把代入所给函数求出即可；（2）每年两个大棚的总收益为,确定函数的定义域，利用二次函数图象在闭区间上求最值即可.

试题解析：（1）因为甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2），

依题意得，故．．．．．．8分令，

则，

当，即时，，

所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元．．．．．．．．．．．12分

考点：函数的实际应用问题.

4.如图所示，在中，点为边上一点，且为的中点，

．

（1）求的长；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在中, 求出，利用正弦定理求的长；（2）在中

由余弦定理得，从而.

试题解析：（1）在中，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴．．．．．．．．4分

由正弦定理知，．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由（1）知，依题意得，在中由余弦定理得

，

即,

∴，解得（负值舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．10

分

∴，

从而

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：解三角形.

【思路点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知

条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即

根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.

5.已知函数，其中.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；

（2）讨论函数单调性.

【答案】（1）,；（2）当时，的增区间为，减区间为，当时，在上递增.

【解析】

试题分析：（1）明确点处的导数值，根据条件建立方程，解之即可；（2）由

得结构可知只需判断一次函数式的符号即可.

试题解析：（1）∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∵，∴或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

分

当时，，∴的方程为：

．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，，∴的方程为：．．．．．．．．．．．．7分（2）令得，

当，即时，在上递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

当即时，令得，递增；令得递减，综上所述，当时，的增区间为，减区间为；

当时，在上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：导数的应用.

6.记表示中的最大值，如.已知函数

.

（1）求函数在上的值域；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，明确给定范围上的的表达式，然后求值域；（2）根据题意，明确给定范围上的的表达式，然后恒成立问题就转化为最值问题.

试题解析：（1）设

，．．．．．．．．．．．．．1分

令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

即，∴．．．．．．．．．．．．．4分

故函数在上的值域为

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）①当时，

∵，∴，∴，∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

若，对恒成立，则对恒成立，

设，则，

令，得递增；令，得递减．

∴，∴，∴，∵，∴．．．．9分

②当时，由（1）知，对恒成立，

若对恒成立，则对恒成立，

即对恒成立，这显然不可能．

即当时，不满足对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为

．．．．．．．12分

考点：导数应用.

【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

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