第4章 希尔伯特(Hilbert)空间

数值分析

第4章 希尔伯特( Hilbert)空间 §4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析

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在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。

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§4.1 内积空间和Hilbert空间1)定义(内积空间) 设 U 是数域 K(实或复数域) 上的线性空间，若 x, y U ,存在唯一的数 ( x, y ) K , 满足下列三条(内积公理) : ① 对第一变元的线性性：

( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ), z U② 共轭对称性： ( x, y) ( y, x) ③ 正定性： ( x, x) 0 , ( x, x ) 0 x 0 则称 ( x, y ) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。

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当 K 是实数域时， U 为实内积空间； 为复数 称 K 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。 当 U 为内积空间时， 推得： x, y, z U , , 有

① ( x, y ) ( x, y ) ② ( x, y z) ( x, y) ( x, z)

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2)内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令

x ( x, x) ,即 x ( x, x)2

可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离

( x, y) x y ( x y, x y) ,则 U 也是距离空间。引理(柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz) :

( x, y ) U ,有 x, y x y

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验证 x ( x, x) 满足范数的三条公理。 ① 显然 ② x ( x, x) x ③ 因为 x y ( x y, x y) ( x, x) ( x, y) ( x, y) ( y, y)2

x 2Re( x, y) y2

2

x 2 x y y ( x y )22 2

( Re( x, y ) ( x, y ) x y )

故

x y x y

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3)内积空间的性质 (1)在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式

x y x y 2( x y )2 2 2 2

证明：x y x y2 2

( x y, x y ) ( x y, x y )2 2 2 2 2

x ( x, y ) ( y , x ) y2

x ( x, y ) ( y, x) y 2( x y )

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(2) 判别定理

若赋范线性空间 X 的范数 满足平行2 2 2 2

四边形公式 x y x y 2( x y ) , X 可成为 则 内积空间。证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义

1 2 2 ( x, y ) ( x y x y ) 4 则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；

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② 当 X 为复赋范线性空间时，定义1 i 2 2 2 2 ( x, y ) ( x y x y ) ( x

iy x iy ) 4 4

则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。注： 若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。

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(3)内积的连续性 在内积空间 U 中， 内积 ( x, y ) 是两个变元 x, y 的连函数， 即当 xn x, yn y (按范数)时，数列 ( xn , yn ) ( x, y )4)希尔伯特(Hilbert)空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H (即内积空间 U 按距离 ( x, y) x y ( x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间)

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5)举例 例1

n ——n 维(实或复数)向量空间中， 在内积 ( x, y ) xi yi (满足三条公理)i 1 n

x ( x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) n , 定义

范数

x ( x, x )

i 1

n

xi ,

2

n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。 则

特别的，在 R 中，内积 ( x, y ) xi yi ,范数 x n

n

i 1

xi2 。 i 1

n

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L2 [a, b] 中， x(t ), y (t ) L [ a, b] , 例2 在2

定义内积 ( x, y ) a x(t ) y (t )dt (满足三条公理) 范数x(t ) ( x (t )dt ) , a2 b 1 2

b

则 L2[a, b] 按范数是完备的内积空间。 若 L2[a, b] 为复值函数，则定义内积( x, y ) x(t ) y (t )dta b

(满足三条公理)

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例3

l 2 {x x ( x1 , x2 , ), 在

xi2 , xi为复数} 中， i 1

x ( x1, x2 , ), y ( y1, y2 , ) l 2 ,定义

内积 ( x, y ) xi yi (满足三条公理)i 1

范数

x ( xi )2 i 1

1 2

,

l 2 是 Hilbert 空间。 则

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例 4 C[a, b] 是按范数 x tmax] x(t ) 不是内积空间 (因为 [ a ,b 不满足平行四边形公式) 。

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§4. 2 正交分解与投影定理x 1) 定义 (正交性) U 是内积空间， , y U , M , N U 设(1)若 ( x, y ) 0 ,称 x 与 y 正交，记作 x y ;(2) y N , 有( x, y ) 0 , x 与 N 正交， 若 称 记作 x N ;

(3)若 x M , y N , 有( x, y ) 0 ,称 M 与 N 正交， 记作 M N ;

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(4) U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ,即

M { y y x, x M }。x U , 若 x0 M , x1 M , (5) M 为 U 的线性子空间， 设使得 正交分解。

x x0 x1

(*)

则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影， (*)式称为 x 关于 M 的

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2) 性质 (1)设 U 是内积空间， x, y U , 若 x y ,则

x y x y2 2

2

称为“商高定理” ,即勾股定理。(2)设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ,若

x L ,则 x=0(零元素) 。

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(3)设 U 是内积空间， M U ,则 M 为 U 的闭线 性子空间。(4)设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的

投影，则x x0 inf x yy M

(**)

而且 x0 是 M 中使(**)成立的唯一点。 ( x x0 inf x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元) y M

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问：当 U、M 满足什么条件时， x U 在 M 中有投影？3)投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭(完备)线性子空

x H ,必存在唯一的 x0 M 及x1 M ,使得 间，则

x x0 x1注：完备子空间一定是闭子空间，反之不成立； 完备空间的闭子空间一定是完备子空间； 有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。

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推广：当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时，定理仍 然成立。

问题：如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0?

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§4.3 广义Fourier分析在 R3 中， e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) 是三个相互正 R 3 ,有唯一分解 交的单位向量，则对于

x1e1 x2 e2 x3e3 ,其中 x1 ( , e1 ), x2 ( , e2 ), x3 ( , e3 ) (由正交性可得) ,即 通过正交性可得到 的唯一分解表达式。 为唯一分解的形式，这将十分有意义。 同样在内积空间 U 中，由正交性也可以将 U 中的元素表示

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