统计学教案(2)

第5章抽样分布与抽样方法

§5.1随机抽样与统计推断 §5.1.1简单随机抽样

从总体X中抽取的部分个体（单位）就是一个样本，它可以表示为

X1，X2，?，Xn

其中n称为样本量。如果具体实施了一次抽样，所得到的数据称为样本值，并表示为x1,x2,?,xn。

定义5.1 若总体X的样本X1,X2,?,Xn满足：（1）X1,X2,?,Xn

与X同分布，（2）X1,X2,?,Xn相互独立，称它为简单随机样本。

设每张卡片记录一位杭电学生基本信息（包括性别），随机变量X为学生性别，若是男生X取1，否则取0同，设男生比例为p，则总体X服从0—1分布。若有放回的抽取n张卡片， X P 1 p 0 1-p X1 P 1 p 0 1-p Xk P 1 p 0 1-p Xk为抽取的第k张卡片，则X1,X2,?,Xn是简单随机样本。

如果具体实施的一次抽样是X1=x1=1,X2=x2=0,?,Xn=xn=1，称（x1,x2,?,xn）=（1,0,?,1）是X1,X2,?,Xn的一个样本（观察）值。

如果总体X是连续随机变量，其分布（密度函数）为f(x)，那么简单随机样本X1,X2,?,Xn的联合分布（密度）为

1

g(x1,x2,x3,xn)??f(xk)k?1n （5.1）

例5.1 设X1,X2,?,Xn是来自参数为p的0—1分布总体X的简单随机样本。求它的联合分布律。

解：易见P{X=x}=px(1?p)1?xX1,X2,?,Xn的联合分布律为

P(X1?x1,X2?x2,X3?x3,Xn?xn)?P(X1?x1)P(X2?x2)P(X3?x3)P(Xn?xn)?px1(1?p)1?x1px2(1?p)1?x2px3(1?p)1?x3pxn(1?p)1?xnx(1?x)?p?i(1?p)?ixn?x?p?i(1?p)?i(x?0,1)

其中xi为0或1（i=1,2,?,n）。

例5.2 设X1,X2,?,Xn是来自指数分布总体X的简单随机样本，求它的联合分布密度。

解：第四章P125例4—24知，指数分布密度为

x?1?a?ef(x)??a?0?x?0x?0

因此，联合分布密度是

1???xi1n?eai?1g(x1,x2,x3,xn)??f(xk)??ank?1?0?nx1,x2,x3,xn?0qita

§5.1.2统计量 一、统计量与抽样分布

定义5.2 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，不含任何未知参数的样本的函数h(X1,X2,X3,Xn)称为统计量，其概率分布称为

2

抽样分布。

例5—3 设总体X～N(?,?2)，?,?2是未知参数，X1,X2,?,Xn

是来自总体X的样本，

1nX??Xini?11n1n22，S?， (X?X)Y?(X??)??iin?1i?1n?1i?12前两个是统计量，第三个不是，X～N(?,二、常用的统计量

?2n)。

以下是与总体均值（数学期望）、方差、标准差以及总体成数（比重）相对应的样本统计量。

（1）k阶样本原点矩

1nkAk??Xini?1

当k=1时，是样本的平均值

1nX??Xini?1 （5.2）

（2）样本方差与标准差

1nS?(Xi?X)2,?n?1i?1211nS??(Xi?X)2,ni?122S?S2 (5.3)

（3）样本成数。设样本量是n，n1为具有某种特征的样本单元数，则具有该种特征的样本成数为

p?n1n （5.4）

（4）k阶样本中心矩

1nmk??Xi?Xni?1k

3

（5）样本极差

Dn?max{Xk}?min{Xk} （5.5）

例5—4 从一（大）批瓷砖中随机抽取10件，测得其重量为（单位：公斤）

2.10，,2.43，1.85,2.40,2.15,2.28,1.96,2.35,2.00,1.99求这组样本（值）的均值、方差。

解：样本均值

x?1(2.10?2.43?1.85?2.40?2.15?2.28?1.96?2.35?2.00?1.99) 10?2.151

样本方差为

1ns?(xi?2.151)2=0.4334 ?10?1i?12定理5.1 X1,X2,?,Xn是来自总体X的（简单随机）样本，并且E(X)??,Var(X)??2，那么

1nE(X)??,Var(X)?,E(S)?E((Xi?X)2)??2 ?nn?1i?121?21n这个定理说明样本均值X??Xini?121是总体均值（数学期望）

1n(Xi?X)2是总体方差?2的无偏估的无偏估计，样本方差S??n?1i?1计。

§5.2随机抽样分布

§5.2.1正态总体的抽样分布定理

定理5.2 设总体X～N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，

4

1nX??Xini?11n，S?(Xi?X)2那么 ?n?1i?12（1）X与S2相互独立； （2）X～N(?,?2n)或

X???n～N(0,1)；

（3）

(n?1)S2?2??i?1n(Xi?X)2?2～?2(n?1)；

（4）X??～t(n?1)。

Sn§5.2.2几个例子

例5—5 样本成数的抽样分布。设总体X服从0—1分布，即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则样

X???本成数为pni?k，其中nk表示样本中具有特征的样本数，它

nk??分子?Xi的概率分布（即抽样分可能的取值是0,1,2,?,n，p布）正是二项分布（书上有误）

kkP{?Xi?k}?Cnp(1?p)n?k i?1n （ k=0,1,2,?,n）

对于二项分布第四章有结果

11E(?Xi)?np?p,nn

1111?)?Var(?Xi)?2Var(?Xi)?2np(1?p)?p(1?p)Var(pnnnn?)?E(p例5—6 设X～N(72,100)，为使样本大于70的概率不小于90%，则样本量应至少取多少？

解：设样本量为n，则

5

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