高一数学必修2（人教B版）第一章各节同步检测1-2-3-03

1.2.3第3课时

一、选择题

1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )

A．0条 C．2条 [答案] A

[解析] 假设平面α内存在一条直线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．

2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a?α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.

其中正确命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

B．1条 D．无数条

[答案] A

[解析] 当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误； 当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误； 根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.

3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是( ) ①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交． A．①②③④ B．③④ C．①②④ [答案] D

D．①③④

[解析] 如图所示，a∥α，b?α，c?α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D. 4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是( )

A．平行四边形 B．长方形 C．菱形

D．正方形

[答案] D

1

[解析] 如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF綊AC，

21

HG綊AC，∴四边形EFGH是平行四边形，

2

1

又EH＝BD，BD＝AC，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．取BD中点M，连结AM、

2CM，∵AB＝AD，∴AM⊥BD，

又CB＝CD，∴CM⊥BD，

又AM∩CM＝M，∴BD⊥平面ACM， ∴BD⊥AC.

又EF∥AC，BD∥EH，

∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．

5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( ) A．α∥β且γ∥ω B．α∥β或γ∥ω

C．这四个平面中可能任意两个都不平行 D．这四个平面中至多有一对平面平行 [答案] B

[解析] 设α∩β＝a.∵α⊥γ，β⊥γ.∴a⊥γ.

同理a⊥ω.∴γ∥ω；若α∥β，则γ与ω相交或平行． ∴α∥β或γ∥ω.

6．设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )

A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C．过a一定可以作一个平面与b垂直 D．过a一定可以作一个平面与b平行

[答案] D

[解析] A不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B不正确，若存在，则有a∥b，这与a、b是异面直线矛盾；C不正确，只有a、b垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D正确．

二、填空题

7．给出下列四个命题：

①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是________．

[答案] ④

[解析] 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a?β或a∥β，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．

8．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________________．

[答案] PO⊥平面ABCD

[解析] 如图所示，∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC，又PA＝PC ∴△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC＝90°， ∴PO⊥AC.

同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD.

9．(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.

[答案] 4

1

[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝

31?×??2×5×6?×h＝20，∴h＝4 cm.

10．已知：直线l和平面α，β，且l?α，l?β，若从①l⊥α，②α⊥β，③l∥β中任取两个作为条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：______________.

[答案] ①③?②(答案不惟一)

[解析] 如图所示，∵l∥β，∴过直线l作平面γ∩β＝a，∴l∥a， ∵l⊥α，∴a⊥α，又a?β，∴α⊥β. 三、解答题

11．如右图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，SA＝SB.求证：SA⊥BC.

[解析] 作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，∵侧面SBC⊥底面ABCD，∴SO⊥底面ABCD.

∵SA＝SB，∴AO＝BO.

又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，即AO⊥BO，又BC⊥SO，且SO∩OA＝O，

∴BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC.

12．(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值． [解析] (1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1， 又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C

∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .

(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线． ∵A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE. 又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点． 即A1DDC1＝1.

13．我国北方冬季种植蔬菜时要在温室里进行，如图，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一温室，温室由两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成，已知：两墙的长度分别为a米和b

米，高为c米，假定两墙面、地面彼此的交线互相垂直．问：修建温室需要多少塑料薄膜？

[解析] ∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝0，∴OC⊥平面AOB，∴OC⊥AB.过点O作OM⊥AB于M，则AB⊥平面COM，

∴AB⊥CM.在Rt△AOB中，AB＝OA·OB

∴OM＝＝AB

aba＋b

2

OA2＋OB2＝a2＋b2，

2

. 在Rt△COM中，CM＝＝

a2b2＋b2c2＋c2a2

. a2＋b2

OC2＋OM2

1

∴S△ABC＝AB·CM＝2

a2b2＋b2＋c2＋c2a2

.

2

a2b2＋b2c2＋c2a2

平方米．

2

故修建温室需要塑料薄膜

14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

[解析] (1)设G为AD的中点，连结PG， ∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD. 又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB. ∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，EF∥PB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E， ∴平面DEF∥平面PGB，

由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB， ∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.

15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.

[解析] ∵ABCD－A1B1C1D1为长方体， ∴AB⊥平面BB1C1C， 又∴B1E?平面BB1，C1C，

∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，

∴B1E⊥AC1，连结A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形． ∴A1C1⊥B1D1.

又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1， ∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1， ∴AC1⊥平面B1ED1.

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