2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(湖南卷)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013湖南，文1)复数z＝i²(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2013湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．(2013湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．

A．9 B．10 C．12 D．13 4．(2013湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．

A．4 B．3 C．2 D．1 5．(2013湖南，文5)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B

，则角A等于( )．

ππππ

A．3 B．4 C．6 D．12

6．(2013湖南，文6)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( )．

A．0 B．1 C．2 D．3 7．(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，

的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．

2

A

． B．1 C

． D

8．(2013湖南，文8)已知a，b是单位向量，a²b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )． A

1 B

1 D

2

9．(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概

1AD，则＝( )． 2AB11A．2 B．4 C

． D

．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

率为

10．(2013湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(

U

A)∩B＝__________.

x 2s 1

11．(2013湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2：

y s

x at,

(t为参数)平行，则常数a的值为__________．

y 2t 1

12．(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．

x 2y 8,

13．(2013湖南，文13)若变量x，y满足约束条件 0 x 4,则x＋y

0 y 3,

的最大值为__________．

x2y2

14．(2013湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在

ab

一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．

15．(2013湖南，文15)对于E＝{a1，a2， ，a100}的子集X＝{ai1，ai2， ，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2， ，x100，其中xi1＝xi2＝ ＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， ，0.

(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；

(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2， ，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2， ，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

π

16．(2013湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x²cos x .

3

2π

(1)求f 的值；

3

1

(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．

4

17．(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC

AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动． (1)证明：AD⊥C1E；

(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．

18．(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)

1米． (1)(2)48 kg的概率．

19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1²Sn，n∈*N.

(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

x22

20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F2

5

关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点． (1)求圆C的方程；

(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．

21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.

1 xx

e. 1 x2

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)

数 学(文史卷)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B

解析：z＝i²(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B． 2． 答案：A

解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A． 3． 答案：D 解析：抽样比为

31 ，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D． 6020

4． 答案：B

解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.② 由①＋②得g(1)＝3，故选B． 5． 答案：A

解析：∵2asin B

，∴2sin Asin B

B． ∵sin B≠0，∴sin A

π

， 2 π

∴A＝.故选A．

3

∵A∈ 0,

6． 答案：C

解析：利用图象知，有两个交点．故选C．

7． 答案：D

解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D

正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC

8． 答案：C

解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．

由|c－a－b|＝1，

1，

∴(x－1)＋(y－1)＝1. |c|

即为

22

，可看成

M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1

＝

1.

故选C．

答案：D

解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.

由于AB为最大边的概率是

11

，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．

22

9222

∴2x 4x＝4y＋x，

472y272

即x＝4y，∴2 .

4x16y∴ .

x4

AD2yy又∵，故选D．

AB2xx4

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．答案：{6,8} 11．答案：4

解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a²

y 1aa

，即x y ，∴a＝4. 222

12．

答案：9

解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 13．答案：6

解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.

14．

1

解析：如图所示，

∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°， 可得|PF2|＝c. 由双曲线定义知， |PF1|＝2a＋c，

222

由|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|得 22222

4c＝(2a＋c)＋c，即2c－4ac－4a＝0，

2

即e－2e－2＝0，

∴e

e 1. 15．

答案：(1)2 (2)17

解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0， ，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0， ，

则P＝{a1，a3，a5， ，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1， ， 则Q＝{a1，a4，a7，a10， ，a100}有34个元素， ∴P∩Q＝{a1，a7，a13， ，a97}， 共有1＋

97 1

＝17个． 6

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

解：(1)f

2π

3

cos2π3 cosπ3 ＝ cosππ

3 cos3

2

＝ 1

1 2

4.

(2)f(x)＝cos x²cos

x π

3

＝cos x

² 1 cosx x 22

＝

12cos2

x

＋2sin xcos x ＝14(1＋cos 2x)

＋4sin 2x ＝12cos

2x π 13 4. f(x)＜14等价于12cos

π 11

2x 3 4 4，

即cos

π

2x 3 <0.

于是2kπ＋π2＜2x－π3＜2kπ＋3π

2，k∈Z.

解得kπ＋5π12＜x＜kπ＋11π

12，k∈Z.

故使f(x)＜1 5π11π

4成立的x的取值集合为 x|kπ 12 x kπ 12,k Z

.

17．

(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点， 所以AD⊥BC．①

又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD 平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①，②得AD⊥平面BB1C1C．

由点E在棱BB1上运动，得C1E 平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.

(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而 A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E. 故C1E

＝

AC11

cos60

，

又B1C1

＝2，

所以B1E

＝2， 从而V1三棱锥C A1B1

E＝

1

3S112

A1B1E³A1C1

＝3 2 2 3

. 18．

解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株， “相近”作

物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：

所种作物的平均年收获量为

51 2 48 4 45 6 42 3

15

102 192 270 126＝

15

690＝＝46. 15

(2)由(1)知，

P(Y＝51)＝

24，P(Y＝48)＝. 1515

242

. 15155

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为

P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝

19．

22

解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.

令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2. 解得a2＝2.

当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an. 即an＝2an－1.

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

n－1

因此，an＝2.

n－1

所以数列{an}的通项公式为an＝2.

n－1

(2)由(1)知，nan＝n²2.

n－1

记数列{n²2}的前n项和为Bn，于是 Bn＝1＋2³2＋3³22＋ ＋n³2n－1，①

23n

2Bn＝1³2＋2³2＋3³2＋ ＋n³2.② ①－②得

2n－1n

－Bn＝1＋2＋2＋ ＋2－n²2 nn＝2－1－n²2.

n

从而Bn＝1＋(n－1)²2. 20．

解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．

y0

1,

x0 2,

x

设圆心的坐标为(x0，y0)，由 0解得

y0 2. x0 y0 2

22

所以圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝4.

(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d 所以b

2

2

x my 2, 22由 x2得(m＋5)y＋4my－1＝0. 2

y 1 5

设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

y1＋y2＝

4m1

，y.

1y2＝ 22

m 5m 5

于是a

从而ab

＝

，即m

故当m3时，ab

最大，此时，直线l的方程为x＋2或

x＝＋2，

即x－2＝0，或x－2＝0.

1 xx

21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e.

1 x2

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0. (1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

1 x x1 xx

e e＋22 1 x 1 x

x2 2x 11 x x

e ＝ 222 1 x 1 x

f′(x)＝

x[ x 1 2 2]x

＝e. 22

1 x

当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x＜1时，由于

1 xx

＞0，e＞0， 2

1 x

故f(x)＞0；

同理，当x＞1时，f(x)＜0.

当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2， 由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．

下面证明： x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证

1 xx1 x x

e e. 22

1 x1 x

此不等式等价于

1 x

＜0. ex

1 xx

令g(x)＝(1－x)e－x，则

e

(1－x)e－

x

g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即

(1－x)e－

x

1 x

＜0. ex

所以 x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)． 而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)， 从而f(x1)＜f(－x2)．

由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即 x1＋x2＜0.

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