新版人教版初二八年级上数学全册导学案

人教版八年级上数学

全册导学案

第一课时 三角形的边

一、新课导入

1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？ 2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？ 二、学习目标

1、三角形的三边关系。

2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本（P63至P64“探究”前，时间：5分钟）

要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。

研读二、认真阅读课本（ P64“探究”，时间：3分钟）

要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边； 游戏：用棍子摆三角形。

检测练习二、6、在三角形ABC中， AB+BCAC AC+BCAB AB+ACBC

7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：，于是有：（得出的结论） 。 8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ (1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10

研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。

（2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。

检测练习三、

9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解：

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组

1、下列说法正确的是

（1） 等边三角形是等腰三角形

（2） 三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3） 三角形的两边之差大于第三边

（4） 三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

1

2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

3、下列长度的各边能组成三角形的是（ ）

A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组

4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题）

6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。

小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形.

（1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？ （3）如果第三边的长为偶数，那么第三条又有几种情况？

第二课时 三角形的高、中线与角平分线（1）

一、新课导入

A你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?

二、学习目标

a1、了解三角形的高的概念；

2、会用工具准确画出三角形的高。

三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

1、 定义：从三角形的一个向它的所在的直线作，和

之间的线段，叫做三角形的高。

A 2、几何语言（图1） ?AD是△ABC的高 C B D ?AD?BC于点D（或?=?=90o） 图 1 逆向：

?AD?BC于点D（或?=?=90o） ?AD是△ABC中BC边上的高

3、请画出下列三角形的高 A A A

B C B C B C （2） （3） （1）

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？

2

四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

第三课时 三角形的高、中线与角平分线（2）

一、新课导入

请画出线段AB的中点。

二、学习目标

AB1、了解三角形的中线的概念；

2、会用工具准确画出三角形的中线。

三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。 （一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

（1）定义：连结三角形一个和它对边的线段，叫做三角形的中线。

A （2）几何语言（右图）

?AD是△ABC的中线 ? =

C B D

逆向： ? =

?AD是△ABC的中线

（3）画出下列三角形的中线

（2） （1）

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

（3）

第四课时 三角形的高、中线与角平分线（3）

一、新课导入

请画出∠AOB的角平分线。

二、学习目标

A1、了解三角形的角平分线的概念；

2、会用工具准确画出三角形的角平分线。

3

BO

三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

（1）定义：三角形一个内角的与它的相交,这个角与

之间的线段，叫做三角形的角平分线。

（2）几何语言（右图）： ?AD是△ABC的角平分线 A ??=?

1 2 逆向：

??=? C B D ?AD是△ABC的角平分线 图3

（3）画出下列三角形的角平分线

思考：三角形的角平分线与一个角的角平分线有何异同？

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？（2） （1）

四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

（3）

第五课时 三角形的稳定性（角）

一、新课导入

盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅 常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图），为什么 这样做呢？

二、学习目标

1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，

2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。

三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。 （一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

活动1、自主探究 1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然

后扭动它，它的形状会改变吗？

4

活动2、议一议

从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形木架形状改变，四边形木架形状改变，这就是说，三角形具有性，四边形不具有性。

斜钉一根木条的四边形木架的形状改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的。

活动3、看一看，想一想

三角形的稳定性和四角形的不稳定性在生活中都有广泛应用。

你知道课本图7.1-8和图7.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

第六课时 三角形的内角

一、新课导入

1、平行线有哪些性质？ 2、1平角=°；3、三角形的内角和等于° 二、学习目标

1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。 三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。 活动1、自主探究

在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果。

（图1） （图2）

活动2、议一议

从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。

把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个角。说明在?ABC中，。 从中得出： 三角形内角和定理。 活动3、想一想

5

1、 如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？ 2、 已知：. 求证： . 证明：如右图，过点A作直线DE，

使DE//BC

因为DE//BC， 所以∠B=∠（ ） 同理∠C=∠

因为∠BAC、∠DAB、∠EAC组成角，

所以∠BAC+∠DAB+∠EAC=（ ） 所以∠BAC + ∠B + ∠C=（ ）

说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示。 3、思考：在图2中，CM与?ABC的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？ 活动4、例题

如右下图，C岛在A岛的北偏东50方向， B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向，从C岛看A、B两岛的视角?ACB是多少度？ (先独立解决，再小组合作，教师点评) 解：∠CBA= - = 80°- 50°=30°

由AD//BE,可得： + =180°

所以∠ABE=180°- =180°-80°=100°

∠ABC= - =100°-40°=60°

在⊿ABC中，∠ABC=180°- - =180°- 60°- 30°=90° 答：。 想一想：你还有其他解法吗？

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

???第七课时 三角形的外角

一、新课导入

1、三角形的内角和定理： 2、填空:

00

(1) 在△ABC中，∠A=30，∠B=50，则∠C＝。

(2) 在直角△ABC中，其中一个锐角是50，则另一个锐角等于。 二、学习目标

1、探索并了解三角形的外角的两条性质

2、利用学过的定理论证这些性质

3、能利用三角形的外角性质解决实际问题 三 、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

活动1、做一做，把?ABC的一边AB延长到D，得?ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？。

定义：三角形的一边与组成的角，叫做三角形的外角。

6

0

想一想：三角形的外角有几个？.每个顶点处有个外角，但它们是。 活动2、议一议

在图1中，?ACD与?ABC的内角有什么关系？ （1）∠ACD = + ； （2）∠ACD ∠A， ∠ACD ∠B （填“<”、“=”“>”）。 再画?ABC的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？

同学用几何语言叙述这个结论： 三角形的一个外角等于两个内角的； 三角形的一个外角大于任何一个内你能用学过的定理说明这些定理的吗？

已知：?ACD是?ABC的外角 求证：（1）?ACD??A??B（2）?ACD??A，?ACD??B 证明：（1）因为∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）. 所以∠A+∠B=.

又因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD=. 所以∠ACD=∠（ ）.

（2）由（1）的证明结果可以得出：

角。 成立

?ACD??A，?ACD??B

想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？

活动3、例题

如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个外角，则它们的和是多少？ 解：因为∠1=∠ABC+∠ACB，

∠2=，∠3=（ ） 所以 ∠1 + ∠2 + ∠3

= 2（ + + ）

因为 + + = 180o，

所以 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2?180o = 360o

（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？

四、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？

多边形及其内角和

第一课时

（一）引入

你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?

7

（二）知识点

我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形??三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。

特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线

n(n?3)条。 2例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式

n(n?3)10?(10?3)??35（条）。 22

如图7.3—6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相

8

等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。

特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。

（三）练习

一起学习课本86页的练习 （四）小结

引导学生总结本节的知识点。

第二课时

（一）思考

三角形的内角和等于180°。正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？

（二）探究

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。 再画几个四边形，量一量，算一算。你能得出什么结论?能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论?

如图7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。

从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图7.3—9，请填空：

从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°3_________。

从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边

9

形的内角和等于180°3__________。

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗? 一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°3______。

总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。

所以n边形内角和（n－2）3180°。

把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形内角和公式吗? 方法2：如图：7－3－3过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n3180°。再减去以O为顶点的周角。

即得n边形内角和n2180°－360°。

得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）2180°。 （三）例题

例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?

解：如图7.3—10，四边形ABCD中， ∠A＋∠C＝180°。

因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4—2）3180°＝360°， 所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C） =360°－180°=180°。

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。

例2如图7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少?

分析：考虑以下问题：

（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?

（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少? （3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系? 联系这些问题，考虑外角和的求法。

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°。6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角。这些角的总和等于63180°。

10

这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于63180°－（6－2）3180°＝23180°＝360°。

（四）探究

如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗? 思路：（用计算的方法）

设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，??，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，?180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋?＋（180°－∠n）=n3180°－（∠1＋∠2＋∠3＋??＋∠n）=n3180°－（n－2）3180°=360°

注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。 由上面的探究可以得到： 多边形的外角和等于360°。

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°。 如图7.3—12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于个周角，所以多边形的外角和等于360°。

（五）练习

一起学习课本89页的练习 （六）小结

引导学生总结本节所学的知识点

过角一

12.1全等三角形

学习目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

学习重点

全等三角形的性质．

学习难点

找全等三角形的对应边、对应角．

学习方法：自主学习与小组合作探究 学习过程：

一．获取概念：

阅读教材P90页内容，完成下列问题：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点：、对应角：、对应边：。 （3）“全等”符号：读作“全等于”

11

（4）全等三角形的性质：

（5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC△ A1B1C1..点A与 A点是对应顶点;点B与 点是对应顶点;点C与 点是对应顶点. 对应边：

对应角：。

AA1BCB1C1

二 观察与思考：

1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

ADADAEBCBC甲EF乙DB丙C

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

即≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测

1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?则这两个三角形中相等的边。相等的角。

ACOADBEOCDABDECB

2如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角

对应边：ABAEBE

3.已知如图3，△ABC≌△ADE，试找出对应边 对应角．

4.如图4，?ABC??DBE,AB与DB，AC与DE是对应边，已知：求?BED。 ?B?43?,?A?30?，

解：∵∠A+∠B+∠BCA=180 ( ),?B?43?,?A?30?( )

∴∠BCA=

∵?ABC??DBE,( )

12

∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P91练习1、2

四、评价反思 概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五．作业

12．2 三角形全等的判定（一）

学习目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程． 3．掌握三角形全等的“SＡS”条件．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题． 学习重点： 三角形全等的条件． 学习难点： 寻求三角形全等的条件． 学习方法：自主学习与小组合作探究 学习过程：

一、：温故知新

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？ 二、读一读，想一想，画一画，议一议

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形一定全等吗？ 2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

阅读：P92 操作

总结：通过我们画图 可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD， BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

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4．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

5．“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

书写格式: 在△ABC和△ A1B1C1中

∴ △ABC≌△ A1B1C1（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．． 三、小组合作学习

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，具有两个条件：_________________________还需要一条件_____________(这个条件可以证得吗？)． 四、阅读例题: P94 例1 例2 五、评价反思 概括总结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用理、定理．

六、作 业：

七、深化提高

1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点． 求证：△ABE≌△ACF．

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF．

3、已知： AD∥BC，AD＝ CB，AE=CF(图3)．

求证：△ADF≌△CBE

§12．2 三角形全等的判定（二）

学习目标

1．掌握三角形全等的“角边角”条件．

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

14

用已个

两

(包括给出图形学过的定义、公

（一）探索新知：

1.阅读教材P101-P102并作出三角形（动手操作）：

2、与教材中的三角形比较，是否重合？3、从中你发现了什么？ 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）

（二）自学检测：

1． 如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法）

2． 如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F， （1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据 （3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据 （5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）

（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等 （C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由 答：

理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）

∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） 在Rt△ 和Rt△中

?_______?________ ??_______?_________∴ ≌ （ ）

∴∠= ∠ （ ）

∴ （内错角相等，两直线平行）

（三）、例题:阅读教材例题:P102例7 （四）小组合作学习： 判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ） （3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ） （4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ） （5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ） （6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ） Ⅲ．评价反思 概括总结 六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）

20

3．HL（仅用在直角三角形中） Ⅳ．作业

12.3 角平分线的性质（1）

一、学习目标

1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理； 2、会用尺规作已知角的平分线．

二、温故知新

如图1，在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC交于C点． 求证：（1） Rt△MOC≌Rt△NOC

（2） ∠MOC=∠NOC．

三、自主探究 合作展示 探究（一）

1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？

图1

与NC

2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，使MC=NC，连接OC，则OC即为∠AOB的平分线。”结论是否仍然成立呢？

3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

探究（二）

思考：如何作出一个角的平分线呢？ 已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

图2

A 1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求． 请同学们依据以上作法画出图形。

议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于

O B 1MN的长”这个条件行吗？ 22、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

探究（三）

如图3，OA是∠BAC的平分线，点O是射线AM上的任意一点.

操作测量：取点O的三个不同的位置，分别过点O作OE⊥AB，OD⊥AC,点D、E为垂足，测量OD、OE

21

的长.将三次数据填入下表：

观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：

OD OE 第一次 第二次 第三次 图4

下面用我们学过的知识证明发现：

已知：如图4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。 求证：OE=OD。

四、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

12.3 角平分线的性质（2）

一、学习目标

1、掌握角的平分线的性质；

2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题． 二、温故知新

1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.

2、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题.

三、自主探究 合作展示

（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。 已知：如图1，

求证： 证明：

结论：

（二）思考：

如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

（三）应用举例

例： 如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

22

图1

图2

图3

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

例题反思：

四、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.1 轴对称（1）

一、学习目标

1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴； 2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。

二、温故知新（口答）

1、如图（1），OC平分?AOC，则?AOC=_______=

1______。 2A 2、如图（2）,△ ABD ≌ △ACD,AB与 AC是对应边。试说出这两个三角形的对应顶点和对应边。

A C O 图（1） B B D 图（2） C

观察上面两个图形，你能发现它们有什么共同的的特点吗 ？

三、自主探究 合作展示

探究（一）

自学课本29页，完成以下问题。

1、 什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？

2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。

（1） （2） （3） （4） （5）

探究（二）

自学课本30页，完成以下问题。

1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？

2、 下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对

23

称点．

探究（三）

问题：

成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？

归纳：

区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。

轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠 ，这个图形能够与另一个图形_________。 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿

对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）

四、双基检测

1、轴对称图形的对称轴的条数( )

A.只有1条 B.2条 C.3条 D.至少一条 2、下列图形中对称轴最多的是( )

A.圆 B.正方形 C.角 D.线段

3、如下图，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.

答：图形；理由是：.

4、标出下列图形中点A、B、C的对称点。

5、下列图形是否是轴对称图形，如果是，找出轴对称图形的所有对称轴。

思考：正三角形有 条对称轴； 正四边形有 条对称轴； 正五边形有 条对称轴； 正六边形有 条对称轴；

正n边形有 条对称轴；

当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.1 轴对称（2）

24

一、学习目标

1、掌握轴对称的性质；

2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。

二、温故知新

1、 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。

2、如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，那么这两个图形有什么关系？

三、自主探究 合作展示

探究（一）

1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ （1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？

于是有PA＝ ，∠MPA＝＝度

（2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗？ （3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？

2、垂直平分线的定义：

经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。 探究（二） 1、作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3?，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2?

l2、作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2?讨论发现什么样的规律．

总结线段垂直平分线的性质 ：

3、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？ 如图（2），直线l?AB，垂足是C，点P在l上。 求证：PA?PB

图（2） 图

探究（三）

1、 作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有哪些可能?

要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？由此你得到什么结论？

2、 你能证明这个结论吗？

25

新知应用： 例题：如图（3），在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

例题反思：

图（3）

四、双基检测

1、点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（ ）

A． PB=PC B.PA=PC C.PA=PB D.点P到∠ABC的两边距离相等 2、下列说法错误的是（ ）

A. D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线 C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线 3、如图（4），AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

图（4）

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.1 轴对称（3）

一、学习目标

1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；

2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。

二、温故知新（口答）

1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连 的线.

3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。

三、自主探究 合作展示

【问题】

1、 如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？

2、 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？

归纳：

作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．

26

【新知应用】 例题1：如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗?

1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。

作法：

（1）分别以点A、B为圆心，以大于于C和D两点；

（2）作直线CD．

直线CD即为所求的直线．

2、思考：（1）在上述作法中，为什么要以“大于

图（1）

1AB的长为半径作弧，两弧相交21AB的长”为半径作弧？ 2 （2）在上面作法的基础上，连接AB， 直线CD是线段AB的垂直平分线吗？并说明理由．

例题反思：

例题2：如图（2），在五角星上作出它的一条对称轴。

例题反思：

四、双基检测

1、如图（3），下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是?

图（3）

图（4）

图（2）

2、如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?

3、如图（5），角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴。 4、如图（6），与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．

图（5）

五、学习反思

图（6）

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.2.1 作轴对称图形（1）

27

一、学习目标

1、认识轴对称图形，探索并了解它的基本性质；

2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形; 3、能利用轴对称进行图案设计。

二、温故知新（口答）

1、什么是轴对称图形?

2、请画出下列图形的对称轴。

三、自主探究 合作展示

探究（一）

自学：认真阅读教材P39的四辐图。

1、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？ 2、归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形 的、完全相同；

（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的点； （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴。 探究（二）

1、请同学们尝试解决以下问题； 如图（1），实线所构成的图形为已知图形，为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。

问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的

图（1）

是否

虚线

正确?

(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗? 2、如图（2），已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。

l

A2

图（2）

3、例题：如图（3）已知△ABC，直线l，画出△ABC B 关于直线l的对称图形。

C

A

例题反思： 图（3）

28

l 四、双基检测

1、把下列图形补成关于l对称的图形。

2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是。

3、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，?要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．

ll

ll

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.2.1 作轴对称图形（2）

一、学习目标

1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形； 2、能够用轴对称的知识解决生活中的实际问题。

二、温故知新

1、把下列图形补成关于l对称的图形。

2、仔细观察第三个图形，你能尽可能多的从图中找出一些线段之间的关系吗？

llll ll三、自主探究 合作展示

探究（一） 1、 如图（1）．要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．?

泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

B

A

图（1）

图（2）

2、请同学们任意取点探究，并完成下列表格。 APi BPi APi?BPi

i=1 i=2

i=3

i=4

?

29 AA'BBClB' llABClC' Clllllll

3、通过以上探究，你发现什么规律吗？

4、根据你发现的规律，在图（2）中完成本题。

探究（二） 问题

为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？

四、双基检测

1、如图（3），在铁路l的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两厂到货场C的距离的和最小．问点C的位置如何选择？

2、如图（4），如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。

3、如图（5），A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

A B

l图（3）

A D B

图（4）

C

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

图（5）

13.2.2 用坐标表示轴对称

一、学习目标

1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。

二、温故知新

如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？ （2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼 的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1）， 左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？

三、自主探究 合作展示

图

探究（一）

1、 在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现

坐标间有什么规律？

已知点

A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0） 30

关于x轴A'( ) 对称的点 关于y轴A'( ) 对称的点 B'( ) B'( ) C'( ) C'( ) D'( ) E'( ) D'( ) E'( )

2、归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是

探究（二） 例题：

图（2） 图（3）

如图(3)，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。 例题反思：

四、双基检测

1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

关于x轴对称的点 关于y轴对称的点

2、已知点P(2a+b,-3a)与点P(8,b+2).(1)若点P与点P关于x轴对称，则a=_____;b=_______. (2)若点P与点P关于y轴对称，则a=_____;b=_______. 3、如图（4），△OBC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．

图（4） 图（5）

3、如图（5），利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形．

'''（3，6） （-7，9） （-3，-5） （6，-1） （0，10） 五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

31

13.3.1 等腰三角形（1）

一、学习目标

1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质； 2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

二、温故知新

1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A、圆 B、长方形 C、线段D、三角形 2、怎样的三角形是轴对称图形？答：

3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫 4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称

三、自主探究 合作展示

（一）操作、实践：

取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：

A A A

B C B（C） B D C （1） （2） （3）

重合的线段

重合的角

【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。

【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？

（二）【新知应用】 例1：填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时， ①∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.

② ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. ③ ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.

（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. （3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

例2：如图（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，?再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=______=______=2______．再由三角形内角和为180°，?就可求出△ABC的三个内角． 解：例题反思：

图（1）

A四、双基检测

1、在△ABC中，AB=AC，

32

BDC图（2）

（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________ （2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________

（3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是多少度？ （4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是多少度？

2、如图（3）所示，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

3、如图（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数． ABD图（3）

CA

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.3.1 等腰三角形（2）

一、学习目标

1、理解等腰三角形的判定方法；

2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

二、温故知新

1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为

2、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是 3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是

三、自主探究 合作展示 （一）【思考】

（1）如图（1），位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，?能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，?那么它们所对的边有什么关系？ 已知：在△ABO中，∠A=∠B 求证：AO=AO 证明：

【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的

也相等（简写成） （二）【新知应用】

1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

请同学们完成下列问题 （1）、已知：如图（2），是△ABC的外角，∠1=，AD∥ 求证：．

分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=，因为∠1=，所以可设法找出

33

BDC图（4）

0AB图（1） EA12D BC图（2）

∠B、∠C与∠1、∠2的关系． （2）、请同学们完整的写出解题过程

证明：

例题反思：

2、如图（3），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C?向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，?绳子CD和CE要多长？

A C

D B E

例题反思： 图(1)（3）

四、双基检测

A 1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后（如图（4）所示），你得到的三角形还是等腰三角形吗？为什么？ D E

B 图（4） C A

2、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形．

D

1 2

B图（5） C

3、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角2吗？为什么？

DC14、如图（7），AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．

0图（6）

A五、学习反思

B图（7）

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获

及困惑。

13.3.2 等边三角形（1）

一、学习目标

1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形；

、理解等边三角形的性质与判定。

二、温故知新

1、在△ABC中，AB=AC，

（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；

34

形

2

（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________； （3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。

2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝_________，∠B＝___________，∠C＝_________。 3、____________________________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的______三角形。

三、自主探究 合作展示

【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？

2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。

【新知应用】 例题：如图（1），在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．

变式：如图（2），如将上述条件改为作∠ADE=60°，点D、E分别在边AB、AC上，结论还成立吗？改为过边AB上点D作DE∥BC，交边AC于点E呢？

例题反思：

探究（三）

等边三角形三条中线相交于一点。请在图（3）中画出图形，找出图中所有的全等三角形，并选择其中一组全等三角形进行证明。

ADBE图（1）

ACDBE图（2）

C A B 图（3）

C 四、双基检测

1、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么？

2、如图(4)，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，?图中有哪些与BD相等的线段？

3、已知：如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．

求证：DB=DE．

A E F B AD 图（4）

C D五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

BC图

E13.3.2 等边三角形（2）

35

一、学习目标

1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；

2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。

二、温故知新（口答）

1、等边三角形三边，三个角都等于，

2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。三、自主探究 合作展示 探究（一） 1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，

找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

2、你能用所学的知识验证以上结论吗？

方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°,BD=BC=AB。 方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形, A

BC=

A B C D

图（1）

11=。 22 A

探究（二）

例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中

B D

图（2）

C

B BC

图（3）

D

DAEC点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，

AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=，BC=，又由D是AB的中点，所以DE=．

例题反思： 探究（三）

例题：如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，

∠A＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.

例题反思：

图（4）

B A

C 图（5）

A

四、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

┓

第十四章 整式的乘法与因式分解

同底数幂的乘法

学习目标:

1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.

mnm+n

2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算. 会逆用公式aa＝a.

3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想. 学习重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算. 学习难点：对法则推导过程的理解及逆用法则. 学习过程：

36

一、知识回顾，引入新课

问题一：(用1分钟时间快速解答下面问题)

1． (1) 3333333可以简写成;(2) a2a2a2a2?2a（共n个a）= ，

n

表示其中a叫做，n叫做a的结果叫. 2．一种电子计算机每秒可进行10次运算，它工作10秒可进行多少次运算？ 列式： 你能写出运算结果吗？ 二、观察猜想，归纳总结

问题二：(用5分钟时间解答问题四9个问题，看谁做的快，思维敏捷！)

1.根据乘方的意义填空：

34

（1）232 =（23232）3（2323232）=

34

（2）535 =（）3（）=

34

（3）a3a =（）3（）=

（4）535=（）3（）=（m、n都是正整数）

mn

2.猜想：a2a=（m,n都是正整数） 3.验证：a2a =（）3（）

共（ ）个 ??=（ ）=a

4.归纳：同底数幂的乘法法则：a3a＝（m、n都是正整数） 文字语言：

5.法则理解：①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)与(-3),(ab)与(ab）,(x-y)与(x-y)等． ②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加．

mnp

6.法则的推广: a2a2a=（m,n,p都是正整数）.

思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？

同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘． mnpm+n+pmnpm+n+?+pa2a2a=a，a2a2?2a=a(m、n?p都是正整数) 7.法则逆用可以写成

同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来

5324

幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：2=222=222等．

8.应用法则注意的事项：

232+3

①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：322≠3； ②不要忽视指数为1的因数，如:a2a≠a．

③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体． 9.判断以下的计算是否正确,如果有错误,请你改正.

326 4445510

(1) a2a=a(2)b2b=2b (3) x+x=x

77235 5410

(4)y2y=y (5) a+a=a (6)x2x2x=x

三、理解运用，巩固提高(用3分钟自主解答例1-例2，看谁做的又快又正确！)

343 35m3m+1

例1.计算：（1）10310； （2）a ? a（3）a ? a?a (4) x3x

5

0+5

2

5

32

3

5

2

3

m

n

m

n

m

n

14

3

例2.计算：(1)(-5) (-5) (-5)

23

(2)(a+b) (a+b)

35

（3）-a2(-a)

3

（4）-a2(-a) （5）(a-b)2(a-b)（6）(ａ+1)2(1+ａ)2(ａ+1)

四、深入探究、活学活用

37

32 2325

例3. (1)已知a＝3，a＝8，求a的值.

n+3n

(2)若3=a，请用含a的式子表示3的值.

mmm+n

(3)已知2=3，2=6，2=18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由.

a

b

c

五、总结反思，归纳升华

通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下：

①学到了哪些知识？②获得了哪些学习方法和学习经验？③与同学的合作交流中，你对自己满意吗？ ④在学习中，你受到的启发是什么？你认为应该注意的问题是什么？

知识梳理：________________________________________________________________； 方法与规律：______________________________________________________________； 情感与体验：______________________________________________________________； 反思与困惑：______________________________________________________________. 幂的乘方

学习目标：

1.理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算，并能解决一些实际问题. 2.在双向运用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性；

3.在探索“幂的乘方的法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归纳思想 .初步培养学生应用“转化”的数学思想方法的能力.

学习重点：能灵活运用幂的乘方法则进行计算. 学习难点：幂的乘方与同底数幂的乘法运算的区别，提高推理能力和有条理的表达能力. 学习过程：

一、创设情境，导入新课

55555555

问题一:我们知道：a a a a a=a,那么 类似地aaaaa可以写成(5),

55

⑴上述表达式(5)是一种什么形式？（幂的乘方）

⑵你能根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则计算出它的结果吗？ 二、观察猜想，归纳总结

问题二：1.试试看：（1）根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：

① ?23?2?23?23?2??; ②（a）=________3_________ =__________；

m

2

③ ?32??=33?? ④ ?a3?? = a4??.

2. 类比探究：当m,n为正整数时，

?a?mnmm?a??am??????a????a?????m?m??m??个?a??.

??个观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？它们之间有怎样的运算规律？请你概括出来：.

mn

3.总结法则 （a）＝________________（m，n都是正整数） 幂的乘方，_________________不变，______________________. 三、理解运用，巩固提高

问题三：1.计算（1）?103?5; （2）?b3?4； （3）?a3?5??a5?3.

38

（4）?x3?2??x2?3?2x4??x4?2 （5）?a4?5???a2?10?a???a2?5???a3?3

（6）?x?y?2??x?y?3 （7）?m?n??n?m?2??m?n?n

归纳小结：同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：相同点都是不变；不同点，前者是指数，后者是指数.

2.（1）已知325?83?22x,求x的值.（2）已知x2n?3,求?x3n?2的值. 四、深入探究，活学活用

问题四：1.我们知道3=3，它的个位数字是3；3=9它的个位数字是9；3=27它的个位数字是7；42012

3=81它的个位数字是1，??再继续下去看一看，你发现了什么？你能很快说出3的个位数字是几吗？

2. 逆用法则（2）

1

2

3

???3?4??2amn?(an)?(am)(_____)mn：（1）

ma12?(a3)n(___)?(a2)(____)?(a4(____)(_____)?(a6)(_____)

amn?(am)(______)?(an)=

=（3）9?3(a(__))(a(___))3

五、深入学习，巩固提高

1．下列各式中，计算正确的是（ ） A.?a3?3?a6

2

2

2

B. a4?a4?a16

C. ?a3?4?a12 D. a3?a4?a7

33

10

mn

nm

2．下列计算正确的是（ ） A．x+x=2x 3．x3m?1B．xx=2x

224

C．(a)=a D．(a)=(a)

可写成（ ）

B．?xm?3?1

C．?xm?3?x D．xm?x

3A．?x3?m?1

2

34

4．（a）a 等于（ ）

910

A．m B．m

3 C．m

12

D． m

14

5．填空：?x4??；?x3?2?x5?；若a5??ay?3?a11,则y?. 6．（1）若10x?3,10y?2,求代数式1033x?4y的值.（2）?9n?2?316,求n的值.

27．一个棱长为10的正方体，在某种条件下，其体积以每秒扩大为原来的10倍的速度膨胀，求10秒后该正方体的体积.

六、总结反思，归纳升华

知识梳理：________________________________________________________________； 方法与规律：______________________________________________________________； 情感与体验：______________________________________________________________； 反思与困惑：______________________________________________________________.

积的乘方

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