彩虹期权及其定价

彩虹期权及其定价

科学合理地对矿产资源资产进行估价是实施矿产资源资产有偿取得和转让制度的关键和前提。目前，对矿产资源资产价值进行估价采用的方法主要是收益现值法。在实际运用中，收益现值法假定贴现率不变和无法考虑矿山企业经营者在经营管理中的灵活性——延迟生产经营、缩小或扩大生产经营规模等，这些缺陷导致它容易低估矿产资源资产价值。因此，建立能考虑和处理矿山经营者在经营管理中的灵活性的矿产资源资产估价方法是非常必要的。 1.彩虹期权定义

彩虹期权是涉及两种或两种以上不确定性的衍生品，而一般的期权预测相对的是简单的、只涉及到一种不确定性的期权，这个不确定性也一般是标的资产的价格。彩虹期权可以在N个标的资产中选择最好或最坏的买入或卖出。该期权中涉及到的资产数目即为彩虹颜色的数目。该期权的定价对不同篮子的相关系数非常敏感，因此需要特别考虑。彩虹期权常常被一些工业标准模型（如BS模型）对各自独立的篮子进行定价，并且需要有一个相关系数矩阵用来应用到不同模型的随机性驱动因素。较低等级的案例会有相对简单的测算办法，但一般的案例均需要使用蒙特卡洛模拟法。

彩虹期权一般用于评估自然资源的储量，此时它接触到两个不确定性，即价格和数量。彩虹期权还具有如下两个特点：

1、彩虹期权内包括有正向相关性的资产比反向相关资产的期权价格更低，因为低相关性的资产会带来更高的波动性。

2、彩虹期权一般接触两个标的资产比较常见，但是这种期权接触超过两个资产的很少见，且一般来说在计算上并不具有操作性。 2.彩虹期权的类比

这里有一个体育赛事的赌注，可以很好地类比彩虹期权。假设你在三个连接在一起的排球场上，其中一场已经开始一半，另一个刚刚开始，第三个已经开始了一个小时。彩虹期权取得收益只能是当你全部猜对了三场比赛的赢家，如果有一个队伍是败者那么你什么都不会得到。 3.彩虹期权的类型

常见的彩虹期权共有五类：

A． Best of n Assets Plus Cash（资产现金最优期权）

此类型期权共有N+1种支付可能。如果我们考虑两种资产的“择优现金”期权，那么到期日的收益将会在A资产、B资产与之前确定的现金额中任选其一。此类期权没有敲定价格，其支付形式是

Stulz（1982）年提出了第一个标志性的关于彩虹期权的论文，从那里开始，我们将能够发现一套关于2资产现金择优期权的计算公式。这里有：

这里的N（x）代表了累计标准正态分布，B（a，b，rho）是二维累计标准正态分布。

是两项资产的相关性，其他变量是标准定义。改变现金总额对期

权价值的影响如图：

B．

Better of n Assets（择优彩虹期权）

该类型的彩虹与资产现金最优期权相似，但是该类型的期权并没有支付现金的约定，并且其最低支付额为0。因此，一个两资产彩虹看涨期权的支付方式为

C．

Worse of n Assets(择差彩虹期权)

该类型期权基本上是与N资产择优期权相对的，其支付额是基于资产的最低价值，我们能够将此类型的资产定义为：

D．

Maximum of n Assets（N资产最优期权）

该类型期权与第一部分提到的资产现金最优期权类似，但是并没有现金支付的方式，并且该期权会有一个执行价格。该类型的支付方式（包括买权和卖权如下所述）

E． Minimum of n Assets

是N资产最有期权相对立的期权，这类彩虹的支付是基于N项资产中表现最差的那一个。该期权的表达式为：

尽管彩虹期权常常关注两种或三种预期，但是我们可以将其扩展到N中预期上。

4.彩虹期权公式的泛化

在A部分中，我们提出了一系列关于两资产现金最优期权的计算公式。这里我们泛化出一种可以被用来定价所有两资产彩虹期权的具体公式。

考虑我们最初的两资产最优期权计算公式，我们能够将其分拆成三部分：

这些变量与之前的并未有所不同，在此处重申其意义：

使用这些公式，我们将能够看到不同的彩虹能够被定价为：（X在资产现金最优期权中代表现金额，但是在其他期权中代表其敲定价格） 彩虹类型

i) Best of 2 Assets Plus Cash ii) Maximum of 2 Assets Call iii) Better of 2 Assets

iv) Maximum of 2 Assets Put v) Minimum of 2 Assets Call vi) Worse of 2 Assets

vii) Minimum of 2 Assets Put

v - vi +

公式

A + B + C A + B + C -

A + B + C (Where X = 0) ii - iii +

- ii - iii

罗马数字仅仅是用来表明相对应的彩虹期权类型，Eurocall（S）是欧式看涨期权，标的资产为括号中的S。 5.两色彩虹期权公式的所需变量

在无套利可能的基本假定下，对彩虹期权的定价将会需要如下几个变量： 1. Tenor of the Option: T期权合约时间

2. Spot price of the underlyings 标的资产的敲定价格 3. Dividend rates for the underlyings 标的资产的收益率 4. Volatility of the underlyings 标的资产的波动率

5. Correlation between returns of asset A and B （A与B资产回报的相关系数）

彩虹期权的定价是一个独立的利率。

In this calculator example, we price 3 types of rainbow options which involve two underlyings (two color rainbow option). Interest rates are assumed to be semiannually compounded. （每

半年复利形式）

http://montegodata.co.uk/Consult/Rainbow/rainbow.htm

石油储量价值评估——期权评估方法

1、 概述

将从基本假设、参数设定及取得方法、应用案例三方面进行介绍。不同．在石油投资项目经济评价中的应用可分为以下5种典型情况：

1.1推迟投资期权

油气资源的可采储量、未来的石油市场价格以及国家的能源政策等是影响石油投资项目决策的重要因素，但都存在高度的不可预测性；另外，油气资源市场属于寡头垄断市场．投资者减少油气供应量会引起油气价格的上涨因此．等待信息明朗化、延迟大规模投资便成为项目决策者的必然选择．这相当于投资者获得

了推迟投资的期权．它可能会带来比立即投资开发更多的价值

1．2 分阶段投资期权

石油项目的投资常分阶段进行在每个阶段结束后．投资者将对必要的投资支出与未来继续投资的价值进行评估．以判断是否继续对该项目进行投资任何后续阶段的投资都建立在之前的投资决策基础上。各期投资都对应一个实物期权，且各期实物期权相互关联．在总体上形成一个复合期权。

1．3 规模扩张期权

规模扩张期权是指投资中的规模可选择性具体到石油投资项目就是：如果石油的市场需求量超过预期数量或者石油价格持续走高等．则可以考虑扩大项目的投资规模．该期权价值即为由此带来的项目价值的增加部分。

1．4 价值增长期权

价值增长期权是指投资者以预先投资作为前提条件或以一系列相关项目的投资而获得项目未来增长机会的权利项目的初始投资也许不能产生预期的现金收入．但却是未来增长机会的必要前提。如油气资源勘探开发项目就是一种典型的具有价值增长期权的投资项目

1．5 停启期权

某一阶段的投资可能会出现现金收入小于经营可变成本的情况．此时投资者会暂时停止经营．即产生停启期权。石油投资项目由于各方面的原因．也可能会暂时处于亏损状态．若如此则可以考虑暂停开发以减少损失此时期权的执行价格为经营的可变成本另外，还有规模缩减期权、放弃期权等．但由于它们不是石油投资项目的明显的期权特性．故在此不再赘述

在石油勘测开采阶段，可以分别对不同的期权价值进行计算。如，在基础设施建设阶段，会存在停启期权、基建期权、放弃期权等；在开采阶段，存在停启期权、扩张期权、收缩期权、放弃期权等。评估师可以根据不同的阶段对具体期权价值进行评估，也可以将整个项目作为评价对象进行整体开采期权价值评估。下面介绍的即为整体开采权价值评估。

2、 相关假设

在使用期权方法进行自然资源储量的价值评估时，需要注意B-S模型基本的七个前提假设。Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：

2.1布朗运动假设

期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即

dSS??dt??dz

其中，dS为股票价格瞬时变化值，dt为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz??dt，称为标准布朗运动，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），

?为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），?则是股票价格

的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。?和?都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化?，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即?dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2.2在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。在石油储备价值评估中，该假设将考虑使用附有红利支付的股票期权进行模拟，石油储备在开采的过程中将减少自身价值，如同股票市场中标的股票分红的性质。

2.3 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。

2．4 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

2.5在期权有效期内，无风险利率r为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

2.6期权为欧式看涨期权，其执行价格为X，当前时刻为t，到期时刻为T。

2.7不存在无风险套利机会。

在使用期权评估方法的过程中，评估自然资源时还会面对以下假设：

假设标的资产价格行为服从几何布朗运动，但实际上可能更为复杂。 在无套利均衡条件下取得实物期权价值，要求有较为发达的原油期货交易市场。即，在相关参数确定的过程中，需要尽量保证其来源有广泛且具有深度的交

易市场。

假设生产支出、开发投资、勘探投资等为瞬时一次性支付，并在期权执行时发出。

3、 影响因素

3.1石油价格P

对于石油开发项目而言，当石油价格上升时，投资者所开采出来的石油产品价值自然增加，则项目评估价值增加。

3.2石油资源开发项目持续时间T

石油资源开发项目的有效期就是开发项目的生命周期。距离生命周期结束的时间越长，石油资源投资项目的价值越大。

3.3开发成本C

在开发过程中所发生的一切实际支出和资本折旧。 3.4石油价值波动率

衡量石油价格未来变动不确定性的指标。 3.5无风险利率r

4、 参数确定方法

在期权评估的过程中，存在如下的对应关系： 看涨期权 当前股票价格 执行价格 到期时间 未开发储量 已探明未开发的储量价值 开发成本现值 开采权限到期时间或合同期限 股票价格波动率 股息率 无风险利率 其中，各参数确定的方法如下：

储量价值的变动率方差 减去损耗的净产出收益率 无风险利率 3.1 标的资产价格（S）的计算方法

在期权评估的过程中，首先确定的是标的资产价格S。标的资产价格的确定方式采用评估方法中常用的DCF现金流量法。其中，不考虑税盾作用的一般计算公式为：

考虑税盾作用计算公式为：

3.2期权执行价格X的计算

在石油储量价值评估中，期权执行价格X是指行使开发权后需要进行的基础投入。

3.3波动率计算

波动率计算可以从历史波动率与隐含波动率中选择。方法如下： 3．3.1历史波动率

从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差，具体方法一般有两种，第一种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差，第二种则包括广义自回归条件异方差模型GARCH、随机波动率模型等，针对特殊的评估标的资产，还可以产生其他类型的历史数据方法，如：。

抽样数据法

在石油勘探项目中，产量、国际石油价格、人民币兑美元的汇率这3种不确定因素对波动率的影响是非常明显的。由于折现现金流量是指企业拥有的现金流量总和，所以折现现金流量值的计算可用下式表示：

其中，

n分别对产量、国际石油价格、人民币兑美元的汇率进行随机抽样，代人公式(4)

中，计算出的算术平均数和均方差SD。最后，由于波动率是对标的资产收益不确定性程度的度量，即数据序列在平均值水平附近的波动情况，即可表示为：

3.3.2隐含波动率

本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率，即根据B-S-M期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。

石油期权交易逆推法

可选择纽约商品交易所（NYMEX）原油期货价格与现货价格之差作为当前期权价值，带入到B-S模型中，将波动率倒推出来。

c?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)其中，

2 d?ln(S/X)?(r??/2)(T?t)1?T?t

d2?ln(S/X)?(r??2/2)(T?t)?T?t?d1??T?t已知期权价格、执行价格、现货价格与无风险收益率，到期时间，倒算波动率。

5、 应用案例 5.1填入基本信息

本案例为位于中非共和国的石油区块，其伴生产品为天然气。可根据项目具体情况进行填写。EXCEL表中勾稽关系已基本建立。注：无风险收益率一般采用政府长期债券利率，本案例中采用的是中国10年期国债利率，实际评估过程中可考虑采用美国联邦政府债券利率。汇率此时采用的是美元兑人民币汇率，若项目以美元计价则不考虑汇率因素。

5.2计算收入现金流

在收入计算方面，需充分考虑项目的设计生产能力与伴生产品的收入估计。折现率方面可采用企业的WACC或者投资者期望的必要收益率。

5.3计算支出现金流

在支出现金流中，考虑项目的进展阶段，包括勘探费用、初始开发投资、地面建设投资、生产成本、经营成本等。应注意开发投资与地面建设投资数合计与初始信息中的建设投资保持一致。本表勾稽关系也已经建立。

5.4现金流量表

在现金流量表中，已经于支出、收入表建立了关系，可与收益法相对照进行评估。

在本案例中，使用收益法计算该油田价值为9848.96百万美元。 5.5填入期权基本信息

在期权基本信息表中，1-4项目均已经建立关系。其中，标的资产价格极为折现后收入。执行价格为开发总成本现值。无风险收益率使用的是中国10年期国债利率（应使用美国联邦政府债券利率）。需要注意的是，标的资产变动率的估计将大幅度影响到评估价值，因此，在评估标的资产变动率的过程中，需要充分考虑石油价格变动、石油储量变动、开发成本变动、汇率变动等因素，并结合历史估计法与隐性计算方法得出合适的标的资产价值变动率。本项目中标的资产变动为15%。随着开发项目的不断进行，期权价值也在不断减少，正如股票期权中的股息率，股息率即为开发过程中的贬损率。

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