AffinityPropagation算法介绍

AP聚类算法

1.分类与聚类 1.1 分类算法简介

分类(classification )是找出描述并区分数据类或概念的模型(或函数)，以便能够使用模型预测类标记未知的对象类。在分类算法中输入的数据，或称训练集（Training Set），是一条条的数据库记录（Record）组成的。每一条记录包含若干条属性（Attribute），组成一个特征向量。训练集的每条记录还有一个特定的类标签（Class Label）与之对应。该类标签是系统的输入，通常是以往的一些经验数据。一个具体样本的形式可为样本向量:(v1, v2, ... , vn; c)。在这里vi表示字段值,c表示类别。

分类的目的是：分析输入的数据，通过在训练集中的数据表现出来的特性，为每一个类找到一种准确的描述或者模型，这种描述常常用谓词表示。由此生成的类描述用来对未来的测试数据进行分类。尽管这些未来的测试数据的类标签是未知的，我们仍可以由此预测这些新数据所属的类。注意是预测，而不能肯定。我们也可以由此对数据中的每一个类有更好的理解。也就是说：我们获得了对这个类的知识。 下面对分类流程作个简要描述：

训练：训练集——>特征选取——>训练——>分类器 分类：新样本——>特征选取——>分类——>判决

常见的分类算法有：决策树、KNN法(K-Nearest Neighbor)、SVM法、VSM法、Bayes法、神经网络等。

1.2 聚类算法简介

聚类(clustering)是指根据“物以类聚”的原理，将本身没有类别的样本聚集成不同的组，这样的一组数据对象的集合叫做簇，并且对每一个这样的簇进行描述的过程。与分类规则不同，进行聚类前并不知道将要划分成几个组和什么样的组，也不知道根据哪些空间区分规则来定义组。它的目的是使得属于同一个簇的样本之间应该彼此相似，而不同簇的样本应该足够不相似。

聚类分析的算法可以分为：划分法（Partitioning Methods）、层次法（Hierarchical Methods）、基于密度的方法（density-based methods）、基于网格的方法（grid-based methods）、基于模型的方法（Model-Based Methods）。经典的K-means和K-centers都是划分法。

1.3 分类与聚类的区别

聚类分析也称无监督学习或无指导学习，聚类的样本没有标记，需要由聚类学习算法来自动确定;在分类中，对于目标数据库中存在哪些类是知道的，要做的就是将每一条记录分别属于哪一类标记出来。聚类学习是观察式学习，而不是示例式学习。可以说聚类分析可以作为分类分析的一个预处理步骤。

2. k-means算法

k-means算法接受输入量k；然后将n个数据对象划分为 k个聚类以便使得所获得的聚类满足：同一聚类中的对象相似度较高；而不同聚类中的对象相似度较低。簇的相似度是关于簇中对象的均值度量，可以看作簇的质心(centriod)或重心(center of gravity)。

k-means 算法的工作过程说明如下：首先从n个数据对象任意选择 k 个对象作为初始聚类中心；而对于所剩下其它对象，则根据它们与这些聚类中心的相似度（距离），分别将它们分配给与其最相似的（聚类中心所代表的）聚类；然后再计算每个所获新聚类的聚类中

心（该聚类中所有对象的均值）；不断重复这一过程直到标准测度函数开始收敛为止。一般都采用均方差作为标准测度函数.，其定义如下：

????|p?mi|2i?1p?Cik(1)

其中，E是数据集中所有对象的平方误差和，p是空间中的点，表示给定对象，mi是簇Ci的均值（p和mi都是多维的）。换句话说，对于每个簇中的每个对象，求对象到其簇中心距离的平方，然后求和。这个准则试图使生成的k个结果簇尽可能的紧凑和独立。

例1：我们在二维空间中随机的生成20个数据点，将聚类数目指定为5个，并随机生成一个聚类中心(用“×”来标注)，根据对象与簇中心的距离，每个对象分属于最近的簇。初始示例图如下：

图1.随机生成的数据点及初始聚类中心示例图

下一步，更新簇中心。也就是说，根据簇中的当前对象，重新计算每个簇的均值。使用这些新的簇中心，将对象重新分成到簇中心最近的簇中。

不断迭代上面的过程，直到簇中对象的重新分布不再发生，处理结束。最终的聚类结果示例图如下：

图2. 最终聚类结果示例图

从上图中我们可以看到，最终的聚类结果受初始聚类中心的影响很大，而且最后的簇质心点不一定是在数据点上。

K均值算法试图确定最小化平方误差的k个划分。当结果簇是紧凑的，并且簇与簇之间明显分离时，它的效果较好。对处理大数据集，该算法是相对可伸缩的和有效率的，因为它的计算复杂度是O（nkt），其中n是对象的总数，k是簇的个数，t 是迭代的次数。通常地，k<

然而，只有当簇均值有定义的情况下k均值方法才能使用。在某些应用中，例如当涉及具有分类属性的数据时，均值可能无定义。用户必须事先给出要生成的簇的数目k可以算是该方法的缺点。K均值方法不适合于发现非凸形状的簇，或者大小差别很大的簇。此外，它对于噪声和离群点数据是敏感的，因为少量的这类数据能够对均值产生极大的影响。 3．AP算法

Affinity Propagation (AP) 聚类是最近在Science杂志上提出的一种新的聚类算法。它根据n个数据点之间的相似度进行聚类，这些相似度可以是对称的，即两个数据点互相之间的相似度一样(如欧氏距离)；也可以是不对称的，即两个数据点互相之间的相似度不等。这些相似度组成n*n的相似度矩阵s(其中n表示数据集有n个数据点)。

AP算法不需要事先指定聚类数目,相反它将所有的数据点都作为潜在的聚类中心，称之为exemplar。以s矩阵的对角线上的数值s(k, k)作为k点能否成为聚类中心的评判标准，这意味着该值越大，这个点成为聚类中心的可能性也就越大，这个值又称作参考度p (preference)。聚类的数量受到参考度p的影响，如果认为每个数据点都有可能作为聚类中心,那么p就应取相同的值。如果取输入的相似度的均值作为p的值,得到聚类数量是中等的。如果取最小值,得到类数较少的聚类。

AP算法中传递两种类型的消息(responsibility)和(availability)。r(i,k)表示从点i发送到候选聚类中心k的数值消息，反映k点是否适合作为i点的聚类中心。a(i,k)则从候选聚类中心k发送到i的数值消息，反映i点是否选择k作为其聚类中心。r (i,k)与a (i, k)越强,则k点作为聚类中心的可能性就越大，并且i点隶属于以k点为聚类中心的聚类的可能性也越大。AP算法通过迭代过程不断更新每一个点的吸引度和归属度值，直到产生m个高质量的exemplar,同时将其余的数据点分配到相应的聚类中。 在这里介绍几个文中常出现的名词： exemplar：指的是聚类中心。

similarity：数据点i和点j的相似度记为s(i, j)。是指点j作为点i的聚类中心的相似度。一般使用欧氏距离来计算，如?(xi?xj)2?(yi?yj)2。文中，所有点与点的相似度值全部取为负值。因为我们可以看到，相似度值越大说明点与点的距离越近，便于后面的比较计算。 preference：数据点i的参考度称为p(i)或s(i,i)。是指点i作为聚类中心的参考度。一般取s相似度值的中值。

responsibility: r(i,k)用来描述点k适合作为数据点i的聚类中心的程度。 availability:a(i,k)用来描述点i选择点k作为其聚类中心的适合程度。 两者的关系如下图：

responsibility 数据点i availability 图3. 数据点之间传递消息示意图

下面是r与a的计算公式：

数据点k

''r(i,k)?s(i,k)?max{a(i,k)?s(i,k)}'k?k(2)

'?min0,r(k,k)?max{0,r(i,k)}},i?k??'?i?{i,k}a(i,k)??i?k??max{0,r(i',k)},'??i?k{(3)

由上面的公式可以看出，当s(k, k)较大使得r(k, k)较大时，a(i, k)也较大, 从而类代表k作为

最终聚类中心的可能性较大；同样，当越多的s(k, k)较大时，越多的类代表倾向于成为最终的聚类中心。因此，增大或减小s(k, k)可以增加或减少AP输出的聚类数目。

Damping factor(阻尼系数)：主要是起收敛作用的。AP聚类算法迭代过程很容易产生震荡，所以一般每次迭代都加上一个阻尼系数?(??[0.5,1))：

rnew(i,k)??*rold(i,k)?(1??)*r(i,k)anew(i,k)??*aold(i,k)?(1??)*a(i,k)(4) (5)

AP算法的具体工作过程如下：

先计算n个点之间的相似度值，将值放在s矩阵中，再选取p值(一般取s的中值)。设置一个最大迭代次数maxits (文中设默认值为1000)，迭代过程开始。

迭代的过程主要更新两个矩阵，代表(Responsibility)矩阵r=[r(i,k)],(n*n)和适选(Availabilities)矩阵a=[a(i,k)],(n*n)。这两个矩阵初始化为0，n是所有样本的数目。r(i,k)表示第k个样本适合作为第i个样本的类代表点的代表程度，a(i,k)表示第i个样本选择第k个样本作为类代表样本的适合程度。迭代更新公式如(2)(3)。

每次更新后就可以确定当前样本i的代表样本(exemplar)点k，k就是使{a(i,k)+r(i,k)}取得最大值的那个k，如果i=k的话，那么说明样本i就是自己这个cluster的类代表点，如果不是，那么说明i属于k所属的那个cluster。当然，迭代停止的条件就是所有的样本的所属经过连续的convits次迭代都不再变化，或者迭代超过了maxits次。

AP聚类算法迭代过程很容易产生震荡，所以一般每次迭代都使用公式(4)(5)。

例2：我们在二维空间中随机的生成20个数据点，将p值设为s矩阵的中值，将convits值设置成20,maxits值设置成1000，用AP算法进行计算，最终聚类结果如下图：

图4. AP算法迭代过程示意图

图5.最终聚类结果示意图

在AP算法中，迭代次数和聚类数目主要受到两个参数的影响。其中，聚数数目主要受preference值（负值）的影响。下面对同一组数据集(200个数据点)进行计算，取不同的preference值得到的聚类数目如下： Preference值 聚类数目 16 11 8 median(s) 2median(s) 2×median(s) 表1.不同的preference得到的聚类数目比较

由表1，我们可以看出，当preference越大时，得到的聚类数目越多。

当取不同的?（阻尼系数）值时，迭代次数和迭代过程中数据的摆动都会有很大的不同，下面同样是对同一组数据集(200个数据点)进行计算，取有代表性的两个值（0.5和0.9）进行比较结果如下：

图6. ?取0.9时的迭代示意图

图 7.?取0.5时的迭代示意图

从上面两个图对比中我们可以发现，当?值越小时，迭代次数会减少，但是迭代过程中net Similarity值波动会很大，当要聚类的数据点比较大时，这样难于收敛。当?值较大时，迭代次数会增加，但是总的net Similarity比较平稳。

根据式（4）和式（5），我们也可以看到，每一次迭代的r(i,k)和a(i,k)受到?的影响。当

?取较小的值时，rnew(i,k)和anew(i,k)相比上一次迭代的rold(i,k)和aold(i,k)会发生较大

的变化，这也是为什么net Similarity值摆动比较大的原因;当?取较大值时，rnew(i,k)和

anew(i,k)和上一次迭代的rold(i,k)和aold(i,k)比较接近，这也是导致迭代次数比较多的原

因。

正是因为如此，有人提出了自适应仿射传播聚类（在文献2中可以看到），文中主要提出了如何根据数据集自动生成preference值和?值的方法。 4. k-means算法与AP算法比较

例3：下面，我们随机在二维空间中生成50个数据点，分别用上面讲述的两种聚类算法进行聚类计算。

我们先进行AP算法聚类，将生成的聚类数量用于k-means算法中，将结果示意图进行比较，具体结果如下：

图 8.AP算法迭代过程

图9.AP算法最终计算结果

图10. k-means算法初始聚类中心示意图

图11.k-means算法最终聚类结果

5.总结与展望

k-means算法对于离散和噪声数据比较敏感，对于初始聚类中心的选择很关键，因为初始聚类中心选择的好坏直接影响到聚类结果，而且这个算法要求进行聚类时输入聚类数目，这也可以说是对聚类算法的一种限制。不过，这种算法运行速度相对于AP算法要快一些，因此，对于那些小而且数据比较密集的数据集来说，这种聚类算法还是比较好的。

AP算法对于p值的选取比较关键，这个值的大小，直接影响都最后的聚类数量。值越

大，生成的聚类数越多，反之如此。而且，那个阻尼系数?对迭代也是很关键的。在文献[2]中有人提及，此算法可能会出现数据震荡现象，即迭代过程中产生的聚类数不断发生变化不能收敛。增大?可消除震荡现象。但根据式[4]和式[5]来看，一味的增大?会使r和a的更新变的缓慢，增加了计算时间。因此，如何选取一个合适?的来进行计算也成了一个提升算法运行速度的重要因素。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dp1w.html