利息理论第四章课后答案

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1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

解：.B5 10000 1.125 2000S0.12 4917.7

2. 甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的

利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。解：x(1.0810 1) (

10x

x) 468.05,x 700.14 a100.08

3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：

104

B L(1 ) 1500S10 1200,L 16514.37

或L=12000v 1500a

1004

16514.37

4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。

解：10000 (x 10000i)S0.08

10000=(1.5x-20000i)S0.08 i 6.9

5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：过去法：B7 1000(215 10+5)(1 i) 1000[4S5(1 i) 3S2]

=1000（2a+a+a(1+i)7-1000(4S)

未来法：B7 30003 200053 1000(28 a3)

6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若Bt，Bt+1，Bt+2，Bt+3为4个连续期间末的贷款余额，证明：

（1）（Bt-Bt+1）（Bt+2-Bt+3）（=Bt+1-Bt+2）（2）Bt+B

t+3

Bt+1+Bt+2

解：Bt n t Bt 1=pan t 1 Bt 2=pan t 2 Bt 3=pan t 3 （1）(Bt Bt 1)(Bt 2 Bt 3) p( )( a)

或 p2Vn t 1 1n t 1

或=p2( Vn t 2a)2

2 或=（Bt 1-Bt 2）

（2）Bt Bt 1 Bt 2 Bt 3 Vn t 1 Vn t 3 V2 1

7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足 1+i =1.5。计算40次后的贷款余额。解：设月利率为i0,

（1+i0） i0=0.8483

100000=p a p=1331.471

pB40=p a=77103.8

8.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。解：i

12%14%

3%,j 3.5% 44

B12 23115 1 3% 1000S 18760 B

r24

18760 1 j 12 1000S12j 13752

9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。

解：设k年时最接近，k年前贷款余额为an k 1

利息ia=1 v令1—v

n k 1

，本金：1—（1—v

n k 1

）

=1—（1—v），得1—v

n k 1

20 k 1

k 13 2

10.张某借款1000元，年利率为i，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。解：1000 1000v 1366.87v

612

v6 0.564447

1000 1 i 1000 1 i 1026.96

11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。解：还款本金：Rv

n k 1

第3次还款中的本金部分：p3=Rv20-3 1=100 R=155.96

2345

则最后5次还款中的本金部分：155.96v v v v v 724.59

12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为1 v 解：第7次还款的额外部分为v

20 8 1

v13 1，以后按原来进行偿还，即每次

还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设需偿还X a

13720

v,v=X 1v X 0 0

则最后一次不要还了，有19 v，原利息为20 那么节省的利息为1 v

13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，

第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。

135且R1 v14 108 解：R1 v

1 v14

1357

即v 0.5 108

则R1 v 72

14.L、N两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L贷款每次还款额相等，N贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t，计算t。解：设贷款额为w，p为N贷款中每次还款的本金部分。

30p w p

1 30

L贷款每次偿还额都相等，为

wa30i

＞p i w t 1 p 2

由（1）（2）得：t=12.67 13

15.某项贷款为125000元，期限为30年，每月末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P，年利率为5%，计算P.

解：125000=p +p 1+0.2% + p 1 0.2%

112

359

360

,j 1 i 1 5% 1 j

112

则p=493.85

16.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。每年计息2次的年名义利率为i，计算第8次还款中的本金部分。解：P8 v

n k 1

v10 8 1 v3

i 3 1 2

17.甲借款人每年末还款3000元。若第三次还款中的利息部分为2000元，每年计息4次的年名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部分。

n 3 1

2000 vn 2 解;30001 v

第6次还款中的本金部分为 3000v

n 5

3000vn 2 13404.888 3

18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。

解：设每季度利率为i

1 i

1.08 1+i 1.019 4

ai500 40 500ai 6186.14

19.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，

年利率为5%,10年后。每次付款额增加325.40元。以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。解：设每月利率为i.

1 i 1.05 1 i 1.004 100000 pa360i p 530.005 10000 0 i1

120

p p i 0

32 4 t

t 120

20.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。解;L 200a10 10 Ia 9v 1860.86

rB4 L 1 i 200S4 10 IS 3 1337.84

I5 iB4 5% 1337.84 66.89

21.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:证明：L p Ia 10 iL p

Ia10 a

p ip Ia 10 Ia 10 a

22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10，第二期为9，依此类推，第10次还款为1，证明第6次还款中的利息部分：5-a。解L=， B5=（Da （Da105 I6=iB5=i（Da=5-a5 5

23.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算（1）第三年末的贷款余额（还款后）；（2）第三次还款中的本金部分。

322

（1+10%）-400（1+10%）+（1+4%）（1+10%）（+1+4%)解：（1）2000 =1287.76

（2）B2 2000(1 10%）-400（+1+4%） 1+10%）（ =1564

（3）I3=iB2=1564 10%=156.4

P3=R3-I3=400 （1 4%)2 156.4 276.24

24.甲在一基金中投资，年利率为i。首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%；第二年末，甲从基金中提出当年所得利息的2 162.5%，，至第六年末，甲从基金中提出当年所得利息的16 162.5%，基金投资全部取完，计算i。解：设在基金中投资为L

L（1+i-1.625）（1+i-2 1.625）（1+i-3 1.625）（1+i-16 1.625）=0

则i=

=0.04

16 1.625-1

25.某贷款额为

，采用连续还款公式每年还款为1，共25年，若年贷款利率为5%。计

算第6年至第10年的利息支出额。解：

Btdt= dsdt=

10n-t

25-t-1 t

=2.252

26.证明并解释：

t（1+i）-=

解：

a1+i）-s=

1- n

-t

1- -t

n-t

（1+i）-=n-t

27.某贷款为1，期限为10年，采取连续还款方式，每年的还款额使得这10年的贷款呈线性关系，即连续由1减至0，贷款年利率按 =0.1计，计算：（1）前5年还款中的本金部分；（2）前5年还款中的利息部分。解：Bt=1-

t 10

（1）B0 B5 1 1

0.5 10

（2）I5=

1- dt=0.375 0 Btdt= 00.1

28. 某人借款为1万元，为期25年，年利率5%，采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为4%，计算第13次付款中净利息与第9年偿债基金增长额之和。解：10000=DS25

0.04

NI13=Li-jDSj=355.68

k-18

NP9=D(1+j）=D（1+4%）=328.62

NI13+NP9=355.68+328.62=684.3

29.某人借款1万元，为期10年，年利率为5%，采用偿债基金法偿还贷款，偿债基金存款利率为3%,还款在每年末进行。在第5次还款前，贷款人要求借款人一次性偿还贷款余额，计算借款人在第5年末的总的支出款（包括利息和本金）。解：由NB5=L-DS

DS10j=L得

NB5=

La10j

a5j=5368.8

pa100.0=10000 p=1295.2 5 p+NB=66 645

30．甲借款1万元，年利率10%，其偿债金年存款利率为8%。第10年末，偿债基金积累额为5000元，第11年末，甲的还款支出额为1500元，计算：（1）第11次还款中的利息部分；（2）第11次还款中的本金部分；（3）第11次的净利息支出；（4）第11年的净本金支出额；（5）第11年末的偿债基金积累额。解：（1）iL=1000 （2）1500-1000=500 （3）1000-400=600 （4）=1500-600=900 （5）5000+900=5900 31.证明：an=

sn1 isnj

证明：an=

anj

1 i janj

1an=

1 i j anj

anj

111 isnj

=i j=i =

anjsnjsnj

则

an=

snj1 isnj

32.某项贷款为1万元，年利率为9%。借款人在年末支付利息，且每年初向偿债基金存款X

元，存款利率为7%，第10年末偿债基金积累额达1万元计算X。

100.07=10000 x=676.43 解：xs

33甲借款人分10年偿还贷款，贷款利率为5%，每年还款1000元，贷款额的一半用分期偿还方式，贷款额的另一半按偿债基金方式还款，偿债基金存款利率为4%，计算贷款额。

L=p1a100.05

1 0.01a100.04 L解： p2==L aa100.04

p1+p2=

La100.05

1 0.01a100.04

a100.04

=103

2L=7610.48

34.某人借款12000元，为期10年，前5年每年计息2次的年名义利率12%，后5年为每年计息2次的年名义利率10%，借款人每半年末支付款项为1000元一部分作为贷款利息，领一部分作为偿债基金存款，偿债基金年名义存款利率为8%，每年计息两次，计算在第10年末，贷款额与偿债基金积累额之差。解：偿债基金积累额为：

5 2 n20.0852 103 0.06L s1 0.08 103 0.05L s=9787.2 0.08

12000 9787.2=2292.8

35.某人每年末支付36000元偿还贷款，共31年，贷款额为40万元，若借款人按偿债基金法计算（偿债基金存款利率为3%），计算贷款人的贷款利率。解： 36000 400000i s310.03=400000 i=0.07

36.甲借款10万元，期限为20年，已知：

（1）按偿债基金法还款，偿债基金存款利率为3%；（2）首期支出款为X，发生在第1年末；

（3）以后每年末还款支出额比前一年增加50元，直至贷款期末；（4）贷款年利率为5%。计算X。

解：X 5% 10s0.03 50 IS 0.03=10

X=8295.4

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