2018-2019学年初中数学反比例函数、相似、锐角函数和投影与视图

2018-2019学年初中数学反比例函数、相似、锐角函数和投影

与视图中考模拟考试测试题

数学 2018.3

本试卷共7页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为（ ）

A． 2π B． π C． 3π D．

2．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：3，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）

A． 2：3 B． 4：9 C． 2：5 D． 4：25

3．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

4．若反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k的值是 （ ）

A． 6 B． ﹣6 C． 3 D． ﹣3

5．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO：BO=1：

2，若经过点A的反比例函数解析式为y=，则经过点B（x，y）的反比例函数解析式为（ ）

试卷第1页，总8页

A． y= B． y=﹣ C． y=﹣ D． y=﹣

6．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的几何图形，则它的主视图为（ ）

A． B． C． D．

7．如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

8．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）

A． B． C． D．

9．如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）

试卷第2页，总8页

A． B． C． D．

10．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2

，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）

A． （3，

） B． （3，

） C． （

，

） D． （

，

）

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为16，则k的值为_____．

12．如图，E为?ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有_____个．

13．等腰三角形的两边长为10，12，则顶角的正弦值是_____．

14．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE．线段AD分别与BE，CE相

交

于

点

M，N

．

给

出

下

列

结

论

：

①△ABM≌△DCN；②DM2=DN?AD；③MN=3+确的是_____

；④四边形ANCB为菱形．其中正

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15．双曲线y=﹣经过平行四边形ABCO的对角线的交点D，且AC⊥OC于点C，

则平行四边形OABC的面积是_____．

16．如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若

AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=__．

17．如图，直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交

反比例函数y=﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，

记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若

，则CD的长为____．

18．如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即

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O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=米（计算结果保留根号）．

米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为____

19．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比

例函数y=的图象经过点B，则k的值是___．

20．计算：﹣22+|

﹣4|+（）﹣1+2tan60°=_______．

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．如图，在某公园的山顶上插了一面旗子，小帆站在D处测得山顶B的仰角是52°，沿CD方向水平前进9米到达建筑物EF的底端F处，在建筑物EF的顶端E处测得旗子AB的顶端A的仰角是45°，AB=12米，EF=10米，点A、B、C在同一直线上，AC⊥CF，EF⊥CF，求山BC的高（结果保留整数）（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）

22．（1）计算：（﹣1）2018＋︱

+（

0

－（）﹣2+2cos45°

（2）先化简，再求值：23．已知一次函数y=﹣

÷(x-x+

)其中x,y满足＋︱y－1︱=0

的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线l过点A

且垂直于x轴．两动点D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停止）．运

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动速度分别是每秒1个单位长度和个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB

于点F．设D、E的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由； （2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．

24．已知二次函数y=ax﹣9ax+18a的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），图象的顶点为C，直线AC交y轴于点D．

（1）连接BD，若∠BDO=∠CAB，求这个二次函数的表达式；

（2）是否存在以原点O为对称轴的矩形CDEF？若存在，求出这个二次函数的表达式，若不存在，请说明理由．

2

25．如图，已知矩形ABCD，AB=m，BC=6，点P为线段AD上任一点

（1）若∠BPC=60°，请在图中用尺规作图画出符合要求的点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若符合（1）中要求的点P必定存在，求m的取值范围．

26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠CAB=60°，DE=3

，求AC的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，

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OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＜OB． （1）求点A的坐标；

（2）D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，当d=时，请你直接写出点P的坐标．

28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，AC，BC分别与⊙O相交于D． （1）在图中作出△ABC的边AB上的高CH．（要求：①仅用无刻度真尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹）

（2）连接DE，若，则∠C的度数是 ．

29．图1中是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2，立柱DE高1.7m，AD长0.3m，踏板静止时从侧面看与AE上点B重合，BE长0.2m，当踏板旋转到C处时，测得∠CAB=42°，求此时点C距离地面EF的高度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90）

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30．计算：（π﹣

）0+（）﹣1﹣2tan60°+

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参考答案

1．A 【解析】 【分析】

三视图复原的几何体是圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的侧面积即可 【详解】

根据三视图易得此几何体为圆锥，由题意得底面直径为2，母线长为2，

∴几何体的侧面积为×2×2π=2π， 故选A 【点睛】

本题考查三视图复原几何体的形状的判断及圆锥体的侧面积的求法，找到等量关系里相应的量是解题关键. 2．C 【解析】 【分析】

由AD：DB=2：3，可得AD:AB=2:5，由DE∥BC可证△ADE～△ABC，从而根据相似三角形周长的比等于相似比可得答案. 【详解】

∵AD：DB=2：3， ∴AD:AB=2:5， ∵DE∥BC， ∴△ADE～△ABC，

∴△ADE与△ABC的周长之比为2:5， 故选C. 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 3．B

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【解析】 【分析】

根据俯视图是从上面看到的图形分析即可. 【详解】

从上面看有3列，左侧一列有2行，中间和右侧两列各有1行， 故选B. 【点睛】

本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 4．C 【解析】 【分析】

把（2，3）代入y=【详解】

即可求出k的值.

把（2，3）代入y=得，

3=，

∴k=3. 故选C. 【点睛】

本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数图像上点的横纵坐标满足反比例函数解析式. 5．C 【解析】 【分析】

过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．

答案第2页，总23页

【详解】

如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C. D， ∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD， ∴∠DBO=∠AOC， ∴△AOC∽△OBD，

∴

设A点坐标为(xA,yA)，

，

∵点A在函数y=的图象上， ∴xAyA=1，

∴∴

=xAyA=， =4

=2，

设B点坐标为(xB,yB)，

∴xByB=2， ∴xByB=4，

∴过B点的反比例函数的解析式为y=?， 故选C. 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质和待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例

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函数的性质并设出解析式. 6．A 【解析】 【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】

从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选：A. 【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的原理. 7．C 【解析】 【分析】

延长BA交y轴与点D，根据k的几何意义得出四边形BCOD和△AOD的面积，从而得出四边形ABCO的面积． 【详解】

延长BA交y轴与点D， ∴【点睛】

本题主要考查的是反比例函数中k的几何意义，属于中等难度题型．理解k的几何意义是解决这个问题的关键． 8．B 【解析】 【分析】

根据三视图的画法即可得出正确答案． 【详解】

根据三视图的法则可知：A为俯视图，B为主视图，D为左视图，故选B． 【点睛】

本题主要考查的是三视图的表示方法，属于基础题型．明确三视图的基本作图法则是解决这个问题的关键．

， ∴

，故选C．

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9．C 【解析】 【分析】

找到从左面看到的图形即可. 【详解】

从左边看时，圆柱是一个圆，故选C. 【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图. 10．D 【解析】 【分析】

首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标． 【详解】

解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F， ∴∠BE0=∠B′FO=90°， ∵四边形OABC是菱形，

∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠AOC=60°，

答案第5页，总23页

∴∠AOB=30°，

∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=∴∠B′OF=45°， 在Rt△B′OF中，

，

OF=OB′?cos45°=∴B′F=

，

×=，

∴点B′的坐标为：（故答案为：D． 【点睛】

，-）．

此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 11．4 【解析】 【分析】

设出矩形边长，用矩形边长表示A，C点坐标，然后得到D点坐标，由题可知，可将D点坐标代入反比例函数解析式，得出矩形边长和k之间的关系，再根据矩形面积已知，求出k的值. 【详解】

设该矩形的边长OA＝a，OC＝b，则A、C两点的坐标分别为（a，0），（0，b）,由中点坐

标公式得，AC中点D的坐标为（），将D点坐标代入反比例函数解析式得，，即

k＝，又因为矩形OABC的面积为16，所以OA?OC＝ab＝8，所以k＝＝为4. 【点睛】

＝4，故答案

本题主要考查了矩形和反比例函数的解析式，还有中点坐标公式：若平面内有任意两点

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P1（x1,，y1）P2（x2，y2），则线段的中点P的坐标为p（12．2 【解析】 【分析】

）.

由四边形ABCD是平行四边形，可得对边分别平行；根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，根据相似三角形的传递性即可求得． 【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AD∥BC,

∴△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA， ∴△ABF∽△EDA，

∴与△ABF相似的三角形共有2个. 故答案为：2. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.

13．或．

【解析】 【分析】

分两种情况：腰长为4，底边为6；腰长为6，底边为4.运用三角函数定义求解. 【详解】

腰长为10，底边为12. 设AD＝x，则CD＝10－x， 由勾股定理可知：

102－x2＝122－（10－x）2，

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解得x＝，

∴BD＝＝,

∴sinA＝＝；

（2） 腰长为12，底边为10.

同理求得AD＝，

∴BD＝＝

∴sinA＝＝.

故答案为或【点睛】

.

本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，熟练掌握三角形性质和解直角三角形是本题解题的关键. 14．①②④ 【解析】 【分析】

利用正五边形的性质求出各个角的度数，可得相等的相等，相似三角形由此即可解决问题； 【详解】

在正五边形中，EA=ED=AB=CD，∠EAB=∠EDC=∠AED=108°， ∴∠EAD=∠EDA=∠ABE=∠ECD=36°， ∴∠BAM=∠CDN=72°， ∴△ABM≌△DCN，故①正确， ∵△EDN∽△ADE， ∴DE2=DN?DA， ∵DE=DM，

答案第8页，总23页

∴DM2=DN?DA，故②正确， ∴22=（2﹣MN）（4﹣MN）， ∴

；故③错误；

∵AN=AB=BC=CN=2，

∴四边形ANCB是菱形，故④正确， 故答案为:①②④ 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键． 15．3 【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出S

ABCO=4S△COD=2|k|，代入

平行四边形

k值即可得出结论．

【详解】

∵点D为?ABCD的对角线交点，双曲线经过点D，AC⊥y轴，

∴S平行四边形ABCO=4S△COD故答案为：3． 【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，找出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|是解题的关键．

16．

【解析】 【分析】

已知S△AOC=，S△BOC=，根据反比例函数k的几何意义可得k1=﹣1，k2=9，即可得两反比

答案第9页，总23页

例解析式为y=﹣，y=；设B点坐标为（，t）（t＞0），由AB∥x轴，可得A点的纵坐标

为t，代入y=﹣求得A点坐标为（﹣，t）；再证明Rt△AOC∽Rt△OBC，根据相似三角

形的性质可得OC：BC=AC：OC，代入数据可得t： =：t，解得t=，由此可得A点坐

标为（﹣【详解】

，），B点坐标为（3，），即可求得线段AB的长度．

∵S△AOC=，S△BOC=，

∴|k1|=， |k2|=， ∴k1=﹣1，k2=9，

∴两反比例解析式为y=﹣，y=，

设B点坐标为（，t）（t＞0）， ∵AB∥x轴， ∴A点的纵坐标为t，

把y=t代入y=﹣得x=﹣，

∴A点坐标为（﹣，t）， ∵OA⊥OB， ∴∠AOC=∠OBC， ∴Rt△AOC∽Rt△OBC，

∴OC：BC=AC：OC，即t： =：t，

答案第10页，总23页

∴t=，

∴A点坐标为（﹣，），B点坐标为（3，），

∴线段AB的长度=3﹣（﹣）=．

故答案为：【点睛】

．

本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

17．

【解析】 【分析】

根据梯形与三角形的面积比，设出未知数，再因式分解求出所满足的比例关系进行求解. 【详解】

过点C作CN⊥y轴于点N BN的长度设为a 过点D作DM⊥x轴于点M

DM的长度设为b S梯OBCE== ，

S△OBD== ，∴

化简变形得12a2+17ab-7b2=0

对其因式分解得（3a-b）（4a+7b）=0 ∴b=3a ∴C（-a，4a） -a*4a=-4 ∴a=1 CD=【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是利用面积比值列出关系式进行求解. 18．8

=5

【解析】

答案第11页，总23页

【分析】

在图中延长OD，BC交于P点，利用三角形相似进行求解. 【详解】

如图，延长OD，BC交于点P. ∵∠ODC=∠B= 90°,∠P= 30°，OB= 10米， CD=直角△CPD中,DP = DC*cos30°= 3米,PC=2

米， 在

米。.∠P=∠P, ∠PDC=∠B= 90°，

△PDCC∽△PBO，∴【点睛】

∴PB=10米， BC=PB- PC= (10-2)=8米。

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是找对哪两个三角形相似. 19．

．

【解析】 【分析】

已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，

进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式【详解】

过点B作BC垂直OA于C， ∵点A的坐标是（2，0）， ∴AO=2，

∵△ABO是等边三角形， ∴OC=1，BC=∴点B的坐标是

，

中，即可求出k的值.

把代入

．

，得

故答案为：

答案第12页，总23页

【点睛】

本题主要考查的解直角三角形的实际应用，属于基础题型．作出辅助线，将其转化为直角三角形是解决这个问题的关键． 30．3 【解析】 【分析】

分别利用算术平方根以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值化简求出． 【详解】

（π﹣

）0+（）1﹣2tan60°+

﹣

=1+2﹣2=3． 【点睛】

+2

考查了算术平方根以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．

答案第23页，总23页

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