中考专题复习 操作探究专题 - 图文

中考专题复习 操作探究专题

1、已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC; ②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。

MDABNCMDABNMCCDABN

2、在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且?BPF?60?．

l A E P B F 图１

C B D

l A l A P D C F

E 第25题图

E P D F C B 图2

（第26题）

图3

（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF?结果，并说明理由．

（说明：结论中不得含有未标识的字母）

3、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关

系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

12PE？请写出探究

F

AFEAFBCBABDECDECD图甲 图乙 第28题图

图丙

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出

相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

4、如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，?FMH?120?, MH与六边形?ABC外角的平分线BQ交于H点.

（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH; （2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B 重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.

AMB

5、在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，

使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角板绕点A按逆

FCQHNED时针旋转，设旋转角为?．

（1）如图1，当0????60?时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、

F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）； （2）如图2，当60????120?时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线

相交于点E、F，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以

证明；若不成立，请你说明理由；

（3）当0????60?时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请

你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．

B

6、已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：

FE图1BC图2EADADFC （1）如图1，若点P在∠AOB的角平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，

分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；

若点P不在∠AOB的角平分线上（如图2），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图2中画出图形，并简要说明画法；

（2）若点P不在∠AOB的角平分线上（如图3），我们可以过P点作PQ∥OA，并作

∠QPR＝∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由；

（3）若点P不在∠AOB的角平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图4中过

P点作直线分别交OA、OB于点C、D， 使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边，保留画图的痕迹，不用写出画法.

7、已知正方形ABCD和等腰Rt?BEF,EF?BE,?BEF?90,按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG.

(1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由；

（2）将图1中?BEF绕B点顺时针旋转45得图2，连结DF, 取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）将图1中?BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；

000ACPAPO图1DBO图2BACAPPOQ图3DRBO图4B

ADGECBF

ADADGEBFCBEGCF图1图2图3

8、用两个全等的正方形ABCD和DCEF拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角

尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转． （1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时，

(如图甲)，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． （2）当直角三角尺的两直角边分别与BE、EF的延长线相交于点G、H时（如图乙），

你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由． 解：

H（1）得到的结论是 ． 证明：

D AF

D AFH BEGC BGCE 图甲图乙（2）得到的结论 ．（填写“成立”、“不成立”）

理由： 9、已知：在⊙O中，弦AB?2,CD?1,AD?BD． （1）如右图，直线AD、BC相交于点E，求∠E的度数； （2）如果点C、D按顺时针方向在⊙O上运动，且保持弦CD的长

度不变，那么直线AD、BC相交所成锐角的大小是否改变？

试就以下三种情况进行探究，并说明理由（根据需要可分别在图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中补全图

形）．

① 如图Ⅰ，弦AB与弦CD交圆内于点F； ② 如图Ⅱ，弦AB与弦CD在圆内不相交； ③ 如图Ⅲ，点C与点B重合． A

． F B O

C 图Ⅰ

A C D 图Ⅱ

图Ⅲ

O ． B

A ． O

B(C)

D D

10、已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN =60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），则△BEF为___________三角形； AE+CF与EF有何数量关系_____________．

(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，（1）中你得到的AE+CF与EF数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

BAEMBAEMBFACFDCNFDCNDEMN图1 图2 图3

11、．已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，联结DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．

（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S1、S2、S3， 则S1+S2+S3__________________3（用“?、?、?”填空） B

F图①

FAADES3S1C图②

S2BS1OCS2ES3图③ D（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△CDO、△EFO的面积分别为S1、S2、S3；问：上述结论是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由.（可利用图④进行探究）

图④ FAS1OBCS2ES3D

12、在四边形ABCD中，对角线AC平分?DAB．

（1）如图1，当?DAB?120o，?B??D?90o时，求证：AB?AD?AC； （2）如图2，当?DAB?120o，?B与?D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图3，当?DAB?90o，?B与?D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

DCCDDA图3C

AB

图1

A图2BB13、已知正方形ABCD和等腰Rt?BEF，BE=EF，∠BEF=90?，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.

（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转45?，再联结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；

（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0?到90?之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.

A

G F

DADADEBGCEGCFBECBF

图1 图2 图3

（第25题图）

14（本题满分8分）

(1)如图10－1所示，BD, CE分别是△ABC的外角平分线， 过点A作AF⊥BD, AG⊥CE,垂足分别为F，G，连结FG， 延长AF, AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG 与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？ 即：FG＝ （AB＋BC+AC）

DFAGBC图10－1

EMN （直接写出结果即可） ．．．．．．．．．．

（2）如图10－2，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线； 其他条件不变，线段FG与

ΔABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并给予证明．

（3）如图10－3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ΔABC三边又有怎样 的数量关系？

直接写出你的猜想即可．不需要证明。 答：线段FG与ΔABC三边之间数量关系

是 。

15、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1

图10－3 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC

边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． G F A （1）在图-1中请你通过观察、测量BF与CG的

长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图-2所示的位置时，

一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条 直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于

点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平

移到图-3所示的位置（点F在线段AC上， 且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）

16、如图24-1，已知点D在AC上，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点. （1）求证：?BMD为等腰直角三角形.

是否仍然成立？请说明理由.

图24-2 图24-3 图24-4

图24-1

（2）将?ADE绕点A逆时针旋转45?，如图24-2，（1）中的“?BMD为等腰直角三角形”

图-3

B E A F C E B D 图-2 G C B 图-1

G F A C AEBDGFCD

17、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，?C?90?，点E为CD的中点，点F在底

边BC上，且?FAE??DAE．

（1）请你通过观察、测量、猜想，得出?AEF的度数；

（2）若梯形ABCD中，AD∥BC，?C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

ADADAEEDEBF图 1CB图 2FCB图 3CF

解：（1） ?AEF的度数是 ； （2）

18、图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．

（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连结AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （2）操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．

（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）

ADADEAEB

B

EC

BCCD图1 图2 图3

19、．如图①：四边形ABCD为正方形，M、N分别是BC和CD中点，AM与BN交于点P， （1）请你用几何变换的观点写出△BCN是△ABM经过什么几何变换得来的；

（2）观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB的面积相等？写出你的结论.（不必证明）

（3）如图②：六边形ABCDEF为正六边形，M、N分别是CD和DE的中点，AM与BN交

于点P，问：你在（2）中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立AFAD请说明理由.

NPBM图①

BPC（第23题）

ENM图②

CD20．阅读下面问题的解决过程：

问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线， 使其等分△ABC的面积． 解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可． 情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，联结AP， 过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线． BPCA B PAE D C 图① 图② 问题解决： 如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法）， 使其等分四边形ABCD的面积，并证明． 解： 21．（本小题满分7分） 如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立； （1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

解：

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

22、．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G

与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

DAB图③

C

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a?b，k?0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说

明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

12，求BE2?DG2的值．

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32)

②BG?DE,BG?DE仍然成立

在图（2）中证明如下

(1)①BG?DE,BG?DE

∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形

0∴ BC?CD，CG?CE， ?BCD??ECG?90

∴?BCG??DCE

∴?BCG??DCE （SAS）

∴BG?DE ?CBG??CD E0又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?90

∴?CDE??DHO?90 ∴?DOH?90

00∴BG?DE

(33) 成立

简要说明如下

（2）BG?DE成立，BG?DE不

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，

且AB?a，BC?b，CG?kb，CE?ka(a?b，k?0)

∴

BCDC?CGCE?ba，?BCD??ECG?900

∴?BCG??DCE

∴?BCG??DCE

∴?CBG??CDE

又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?900 ∴?CDE??DHO?900 ∴?DOH?900 ∴BG?DE

（3）∵BG?DE ∴BE2?DG2?OB2?OE2?OG2?OD2?BD2?GE2 又∵a?3，b?2，k?222212

2 ∴ BD?GE?2?3?1?()?232654 ∴BE?DG?22654

2011年重庆名校中考数学函数综合试题精练

1、（南开中学2008中考模拟）如图，已知抛物线y??23x?bx?c与y轴交于点C，与x2轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2 （1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan?EOB?1，求点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得?PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（2008年南开5月模拟）已知，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A(?1,0)和B(2,0)两

2点，与y轴交于C(0,?2)。

（1） 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M的坐标； （2） 求四边形ABMC的面积；

（3） 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使?PAC为直角三角形？若存在，求出

所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

3.（一中2009年5月模拟）如图，直线y?3x?3分别交x轴、y轴于B、A两点，抛物线

L：y?ax2?bx?c的顶点G在x轴上，且过(0，4)和(4，4)两点.

（1）求抛物线L的解析式；

（2）抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由.

（3）将抛物线L沿x轴平行移动得抛物线L1，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L1上. 试问这样的抛物线L1是否存在，若存在，求出L1对应的函数关系式，若不存在，说明理由．

BO(26题图)AAyy

G xBOx（备用图）

4.（南开中学2009年5月中考模拟）如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把?CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为(10,0)和(6,0)，抛物线y?1x?bx?c过点C、B.

25(1)求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；

(2)如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ?1，点P沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ//x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴

115个单位，

当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2:3时，求点P的坐标； ．．(3)如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O?D?C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O?C?D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，

?OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S0是①中函

数S的最大值，那么S0= .

5.（一中）已知二次函数y?x2?bx?c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是 -2。

(1)求抛物线的解析式;

(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值。

(3) 点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E、G点坐标；如果不存在，请说明理由。

6（一中）. (12分)如图(a)过反比例函数y?kx的图象在第一象限内的任意两点A、B作x

轴的垂线，垂足分别为C、D,连接AO、BO和AB，AC和OB的交点为E，设△AOB与梯形ACDB的面积分别为S1与S2, (1)试比较S1与S2的大小； (2)如图(b)，已知直线y?①求m的值；

②若过原点的另一条直线l交双曲线于P、Q两点（P点在第一象限），若由M、N、P、Q为顶点组成的四边形面积为64，求P点的坐标。

13x与双曲线y?mx交于M、N点，且点M的纵坐标为2.

7.（一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y?mx2?nx?3经过点A和点（2，3），与x轴的另一交点为C.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点P是x轴下方的抛物线上一点，且△ACP的面积为10，求P点坐标； （3）若点D为抛物线上AB段上的一动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥x轴交x轴于F，交线段AB于点E.是否存在点D，使得四边形BDEO为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.

y

B

A

COx

8.（一中）如图，在Rt△ABO中，OB=8,tan∠OBA=.若以O为坐标原点，OA所

43在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB＝4OC.若抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B、C .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；

（3）有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折

线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S .

①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②判断在①的过程中,t为何值时，△OMN 的面积最大？

9．（一中）如图，直线y?x?3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，抛物线y?ax2?bx?c 经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且抛物线的对称轴为x??2. （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）连接AC，则在x轴上是否存在一点Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相

似？若存在，请求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

B P A O x x=－2 C y 10.（一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－4，

0），点N的坐标为（－3，－2）,直角梯形OMNH关于原点O的中心对称图形是直角梯形OABC，（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （1）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（2）在直角梯形OABC中，截取BE=AF=OG=m(m＞0)，且E，F，G分别在线段BA，

AO，OC上，求四边形．．．BEFG．．．．的面积．．．S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的情况下，是否存在BG∥EF的情况，若存在，请求出相应m的值，

若不存在，说明理由．

y H(－4,0)Ox M N(－3,－2) 11．（南开）如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，

抛物线

y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面

积的4倍.求出点Q的坐标;

（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原

点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由. y P C 3 2 1 A B ?2?10 1 2 3 4 x

(28题图)

12. （一中）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示, A、C两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线y?(34) (35)

12x与BC相交于D.

求点D的坐标;

若抛物线y?ax2?bx经过D、A两点, 试确定此抛物线的解析式;

(36) P为x轴上方(2)中抛物线上一点, 求?POA面积的最大值; (37) 设(2)中抛物线的对称轴与OD交于点M, 点Q为对称轴上一动点, 以Q、O、M

为顶点的三角形与?OCD相似, 求符合条件的Q点的坐标.

13．（一中）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P、Q分别为BD、BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q的移动时间为t（0＜t≤4）．

2 ⑴求△PBQ的面积S（cm）与时间t（s）之间的函数关系式；

⑵是否存在时刻t，使△PBQ的面积与四边形CDPQ的面积相等？若有，请求出时间t的 值；若没有，请说明理由；

⑶当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？并判断△PBQ能否 成为等边三角形？

14.（一中）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连接

AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.

PADBQC（2） 两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒) (0＜t≤2)，△PQA的面积记为S.

① 求S与t的函数关系式；

② 当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

（3）是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

2如图，直线y=- x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，

0）．

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒 个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0=

．

考点：二次函数综合题． 专题：压轴题．

分析：（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数

法即可求出抛物线的解析式．

（2）根据抛物线的解析式可求出M点的坐标，由于四边形OAMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形OAMC分成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．

（3）①如果DE∥AC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t． ②本题要分三种情况进行讨论：

当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S= OE?OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；

当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；

当E，D都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S△AOE-S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；

综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式． ③根据②的函数即可得出S的最大值．

解答：解：令y=0则x=3，

∴A（3，0），C（0，4）， ∵二次函数的图象过点C（0，4）， ∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4． 又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），

∴ ，

解之，得a=- ，b= ．

∴所求二次函数的关系式为y=- x2+ x+4．

（2）∵y=- x2+ x+4=- （x-1）2+

）

∴顶点M的坐标为（1， 过点M作MF⊥x轴于F

∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM

= ×（3-1）× + ×（4+ ）×1=10

∴四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5． 设点E的坐标为（x1，y1）

∴ ∴

= ，

∵DE∥OC，

∴ ∴

∵t= ＞2，不满足1＜t＜2． ∴不存在DE∥OC．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

现分情况讨论如下：

（秒）

（ⅰ）当0＜t≤1时，S= × t?4t=3t2； （ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）

∴ ∴

∴S= × t× （ⅲ）当2＜t＜

，

=- 时，

t2+ t；

设点E的坐标为（x3，y3），类似ⅱ可得 设点D的坐标为（x4，y4）

∴ ∴

，

- ×3×

∴S=S△AOE-S△AOD= ×3× =-

t+

． ．

③S0=

（一中2009年5月）（1） ∵抛物线L过(0，4)和(4，4)两点,由抛物线的对称性知对称轴为x?2, ∴G(2，0)，将(2，0)、(4,4)代入y?ax2?bx?4，得??4a?2b?4?0?16a?4b?4?4，

解得??a?1?b??4. ∴抛物线L的解析式为y?x2?4x?4.????????3分

（2）∵直线y?3x?3分别交x轴、y轴于B、A两点，∴A(0，3)，B(-3，0).

若抛物线L上存在满足的点C，则AC∥BG,

∴C点纵坐标此为3，设C(m，3)，又C在抛物线L，代人解析式： (m?2)2?3, m?2?3, ∴m1?2? 当m1?2?3时, BG=2?3,m2?2?3.????????5分

3, AG=2?3,

3,

∴BG∥AG且BG=AG，此时四边形ABGC是平行四边形，舍去m1?2? 当m2?2?3时, BG=2?3, AG=2?3,

∴BG∥AG且BG≠AG,此时四边形ABGC是梯形.

故存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，其坐标为：

C(2?3，3). ????????????????7分

（3）假设抛物线L1是存在的，且对应的函数关系式为y?(x?n)2, ∴顶点P(n，0). Rt△ABO中，AO=3，BO=3，可得∠ABO=60°，又△ABD≌△ABP.

∴∠ABD=60°，BD=BP=3?n.????????8分

如图，过D作DN⊥x轴于N点，Rt△BND中，BD=3?n， ∠DBN=60°

y∴DN=

3?3n232(3?n)，BN=

3?n2，∴D(?3?3?n2，

DA)， 即D(?33?n23n2?(?，3?223n)，又D点在抛物线y?(x?n)2上，

2NBOPx∴3?33?n9n?n)，整理：7392?163n?21?0.

解得n1??3,n2??不能构成三角形，舍去， ∴当n2??739，当n1??3时，P与B重合，

时，此时抛物线为y?(x?739).????????11分

24．（南开中学2009年中考模拟）解：(1) ?A(10,0),D(6,0) ?OA?10,OD?6 又?矩形OCBA

??COA??BAO?90?

OC?AB

BC?OA?10

又??CED为?CBE沿CE翻折得到的. ?CD?CB?10

?在Rt?COD中，由勾股定理得： OC?CD?OD?2210?6?8

22 ?C(0,8) ????1分 图 1 B(0,8) ????1分 又?C、B均在y?15x?bx?c上

2?c?8? ?? 1?100??10b?c?85??c?8 ??

b??2? ?y?15x?2x?8 ????1分

155?(?1)?2?(?1)?8

22(2)当x??1时，y? ? ?此时P(?1,51551

) 115又?S距离x轴上方 ?PS?515?115个单位.

?8 ????1分

?矩形PQRS的长方形的长为8，宽为1. 图 2 设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点.

S矩形PQHGS矩形HGSR23则由题意知：

PGGS23?

??

?PG?25PS?165165 ????1分

15a?2a?8?2 故P的纵坐标为 ?设P(a,165)，则

165

?a1?4,a2?6 ????1分 ?P(4,165)或(6,165) ????1分

(3)①当0?t?1时，此时N在OC上. M在OD上. ?S?MON?12OM?ON?12?3t?8t?12t ????1分

2 此时，当t?1时，S大?12

②当1?t?2时，此时N在CD上，M在OD上. 则DN?18?8t

过N作NH?OD于H 则

NHND?sin?CDO?4585DN?45OCCD?45

?NH? ?(18?8t)

(9?4t) 12?NH?OM

?S?ONM? ?12?8 ?? ??5485(9?4t)?3t t?(t?21085982t 2432048598)?

?12.15

?当t?时，S大?241124320③当2?t?时，此时，N、M均在CD上

则MN?24?11t 过O作OH?CD于H 则由等面积得：OH??S?OMN?12245

12?245?(24?11t)

?OH?MN?1325t?2885 ??

此时当t?2时，S大?245

5（一中）.(1)将A(?3,0),B(1,0)代入y?x2?bx?c,得

?9?3b?c?0?b?2, ? ?1?b?c?0c??3??∴y?x2?2x?3 2分 (2)∵y?x2?2x?3?(x?1)2?4 ∴对称轴x??1, 而A,B关于对称轴对称 ∴连结BD与对称轴的交点即为所求P点.

过D作DF⊥x轴于F. 将x??2代入y?x2?2x?3, 则y?4?4?3??3 ∴DF?3,BF?1?(?2)?3 Rt△BDE中,BD=32?32?32 ∵PA=PB ∴PA+PD=BD=32 故PA+PD的最小值为32 5①当x??2代入:y?4?4?3??3

∴D(?2,?3) ∵C(0,?3) ∵CD//x轴

∴在x轴上取BE1=CD=BE2=2 得□BDCE1和□BCDE2

此时C与G重合. ∴G(0,?3),E1(3,0),E2(?1,0)

即:当G1(0,?3),E1(3,0)时有□BDCE1 6当G2(0,?3),E2(?1,0)时有□BCDE2 7②过D作DM⊥x轴于M,则DM=BM BD=32 ∴∠MBD=45°

G3E3//BD时,有□BDE3G 作G3⊥x轴于N

?∵∠1=45° E3G3=32 ∴E3N=G3N=3

将y?3代入y?x2?2x?3,得x??1?7 分 分 分 (3)∴G3(?1?7,3),E3(?1?7?3,0) 即E3(?4?7,0) 9分

同理:G4(?1?7,3), E4(?4?7,0) 10分

综上所述,所有满足条件的E,G点为

G1(0,?3),G2(0,?3),G3(?1?E1(3,0),E2(?1,0),E3(?4?7,3),G4(?1?7,0),E4(?4?7,0)7,0) 10分

6．（一中）.(1)设A(a,b),则OC?a,AC?b

S?AOC?12ab?k2, 同理S?BOD?k2

∴S?AOC?S?BOD 2分

S?AOC?S?COE?S?BOD?S?COE

即S?AOE?S四边形BDCE 3分 ∴S?AOE?S?ABE?S四BDCE?S?ABE 故S?AOB?S梯形ACDB

即S1?S2 4分 (2)①设M(n,2),代入y?13x,得n?6 ∴M(6,2)

∴m?6?2?12 5分

②由双曲线的对称性知OM=ON OP=OQ

∴四边形MPNQ是平行四边形 6分 过P, M作PH⊥x轴于H MF⊥x轴于F 设P(x0,12x0),则 PH?12x0, MF=2

由(1)知S?POM?S梯形PHFM

∵S□MPNQ=64 ∴S△POM=16 7 ∴

12(PH?MF)?HF?16

即(12x012x0?2)|6?x0|?32

∴(?2)(6?x0)?32

整理:x20?16x0?36?0,x0?2或-18

或(12x?2)(x0?6)?32

0整理:x20?16x0?36?0,x0?18或?2 11分

∵P在第一象限 ∴x0?0

∴P(2,6)或P(18,,23) 12分

7.解:(1)在y??x?3中,当y?0,x?3 ∴A(3,0) 1把A(3,0), (2,3)代入y?mx2?nx?3 得9a?3b?3?0a??1???4a?2b?3?3 解得??∴y??x2?2x?3?b?2 (2)在y??x2?2x?3中,当y?0时, 有?x2?2x?3?0

∴x1?3,x2??1 ∴C(?1,0) ∴AC=4 4设P(xp,yp). ∴S1?ACP?12AC?|yP|?2?4|yP|?10

∴|yP|?5 又∵P点在x轴下方, ∴yP??5 6∴?5??x2?2x?3 ∴x1?4,x2??2

∴P坐标为(4,?5)或(?2,?5) 8 (3)不存在 9∵DE⊥x轴, OB⊥x轴 ∴DE//OB.

若四BDEO为平行四边形,则DE//BO.

?设D(a,?a2?2a?3)

∵E在直线AB:y??x?3上. ∴E(a,?a?3)

分

分

分 分 分 分 3

∴DE?yD?yE??a2?2a?3?(?a?3)??a2?3a.

当DE?BO时,有?a2?3a?3. 10分 即a2?3a?3?0 △?9?12?0

∴方程无实数根. 11分 即DE?BO

∴不存在点D,使四边形BDEO为平行四边形. 12分 △AOB中,OB=8, tan?OBA?OA3OB?4

∴OA=6 ∴A(6,0) B(0,?8) 又OB=4OC ∴OC=2 ∴C(?2,0)

?a2?36a?6b?c?0???3由题意??4a?2b?c?0 解得??b??8?3

?c??8??c??8??∴y?23x2?83x?8 3y?2283x?3x?8

?2(x23?4x?4)?8?23?4

?23(x?2)2?323

∴P(2,?323) 4

作PQ⊥y轴 ∴PQ?2, BQ?83

∴S四OAPB?S梯OAPQ?S?PQB

?12(OA?PQ)?OQ?12PQ?QB

?1(6?2)?32?1?2?82323

?40 6

分

分

分

8.(1)Rt (2) (3)∵AO=6, OB=8 ∴AB=10 运动的总时间为:

6?8?102?4?4(秒)

①当0?t?2时, M在OA上,N在OB上,如图

OM?2t,ON?4t

∴S?1OM?ON?1?2t?4t?4t2 7分

22当2?t?3时,如图,

M在OA上,N在AB上. OM=2t

AN?10?8?4t?18?4t

又sin?OAB?OB8RNAB?10?AN ∴RN?45(18?4t)∴S?12OM?NR

?12?2t?45(18?4t)

??16t25?725t 8当3?t?4时, M,N都在AB上,如图, 作OK⊥AB于K.

∵AB=10, OA=6, OB=8 ∴S11?ABO?2AO?BO?2AB?OK ∴OK=

245

又MN=24?6? ∴S?12MN?OK?12(24?6t)?245

??725t?2885 9??4t2(0?t?2)?综上所述:S????16t2?72t(2?t?3) ?55?288???725t?5(3?t?4)②当0?t?2时,S?4t2,

S随t增大而增大, 当t?2时,S最大?16 10当2?t?3时,

S??162725t?5t

分

分

分

?? ??165165(t?(t?99292t?28116815)?165?8116

4)?

81∴当t?时,S最大? 11分

45当3?t?4时,S??722885t?5

S随t增大而减小, 当t?3时,S72最大?5

综上所述,当t?94时, △MON的面积最大为815. 129.解:(1)在y?x?3中,当x?0时,y?3

∴点C坐标为(0,3)

当y?0时,有0?x?3,x??3 ∴点B坐标为(?3,0) ?1分 ∴y?ax2?bx?c过B(?3,0),C(0,3), 且对称轴为x??2

??9a?3b?c?∴?0?c?3 ????b2a??2?a?1解得:??b?4

??c?3∴抛物线的解根据析式为:y?x2?4x?3 由y?x2?4x?3?(x?2)2?1知:

顶点P的坐标为:(?2,?1) (2)在y?x2?4x?3中,令y?0,有:0?x2?4x?3

∴x1??1,x2??3 ∴点A坐标为(?1,0)

分

?2分 ?3分 ?4分 ∴AB?|?1?(?3)|?2 在Rt△BOC中,OB=OC=3 ∴∠ABC=45° BC?OB?OC22?32 令x??2与x轴交于点D.则D点坐标为(?2,0) ∴在Rt△PBD中,PD=BD=1, ∠PBD=45° PB=PD?BD22?2 假设在x轴上存在点Q,使得△PBQ与△PBC相似 ①若点Q在点B的右侧: (i)当

此时,232?BQ2,BQ?73PBBC?BQAB,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ∽△CBA

23.

∴点Q的坐标为:(? (ii)当:

PBAB?BQBC,0) ?6分

, ∠ABC=∠PBQ=45°, △PBQ∽△ABC

此时,有:

22?BQ32, BQ=3 此时点Q与点O重合,坐标为(0,0) ?8分 ②若点Q在点B的左侧

则: ∠PBQ=180°-45°=135° 在Rt△AOC中,tan?OAC?OCOA?31?3?1?tan45?

∴∠OAC>45° ∴∠BAC<135° 而∠BAC为△ABC的最大内角.

此时△PBQ与△ABC不可能相似. ?10分 综上所述:能使△PBQ与△ABC相似的符合条件的点Q有两种情况,坐标分别为:(?73,0)和(0,0)

10. ⑴如图，由题意得：A(0，2)、B(3，2)、C(4，0) ???1分

设过A、B、C的抛物线为y＝ax2＋bx＋c，

1?a＝－?2c＝2??313??则?9a＋3b＋c＝2 ， 解得?b＝ ∴y＝－x2＋x＋2 ???3分

222??16a＋4b＋c＝0??c＝2??

⑵∵BE＝AF＝OG＝m，AB＝3，OA＝2，OC＝4，∴AE＝3－m，OF＝2－m，CG＝4－m， ∴S四边形BEFG＝S梯形ABCO―S?AEF―S?FOG―S?GCB

＝

12×2×7―

323412·m(3－m)―

12·m(2－m)―

12×2·(4－m)

＝m2－＝(m－∵0＜

⑶ 设直线BG为

34m＋3???5分 )2＋

3916 (0＜m≤2) ???6分

34≤2，∴当x＝时，S取得最小值

3916???7分

，k＝

23－m?3k＋n＝2y＝kx＋n，∵B(3，2)，G(m，0)， ∴??km＋n＝0，

?(3－m)k1＋n1＝2设直线EF为y＝k1x＋n1，∵E(3－m，2)，F(0，2－m)， ∴?，

n＝2－m?1k1＝

m3－m，

2只有当解

23－m＝

mm3－m时，有BG∥EF???8分

3－m＝

3－m得m＝2???9分

∴当m＝2时，有BG∥EF (此时F与O重合) ???10分

11.解:(1)在y??2x?4中,当x?0时,y?4

当y?0时,x?2

∴A(2,0) ， C(0,4) 代入y??2x2?bx?c

则??8?2b?4?0?

?c?4 1分有2??b?分

?c?4 2∴抛物线解析式为y??2x2?2x?4 3分 (2)当x??b192a?12时, y?92 ∴P(2,2)

过P作PD⊥y轴于D

S9?AOC?12?2?4?4, OC=4,OD=

2

∴CD=

11?1112, DP=

2∴S?DPC2?2?2?18

S1119梯形PDOA?2(DP?OA)?OD ?2?(2?2)?2?458

∴S4513?PCA?S梯形PDOA?S?PDC?S?AOC?8?4?8?2 4设△ABQ中AB边上的高为h, AB?xA?xB 当y?0时,?2x2?2x?4?0

x2?x?2?0 (x?2)(x?1)?0, x1?2,x2??1

∴B(?1,0) ∴AB?2?(?1)?3 由题意S?ABQ?4S?APC ∴

12AB?h?4?32

h?4 5分设Q(m,4)或Q(m,?4) 当?2x2?2x?4?4

x2?x?0

分

x1?0,x2?1

当?2x2?2x??4, x2?x?4?0,x?1?271?27

1?27∴Q1(0,4) , Q2(1,4), Q3(,?4), Q4(,?4) 7分

(3)若存在点F使△MEF为等腰直角三角形,设M(x,y)

∵F不在原点, ∴点E不为直角顶点 ①当M为直角顶点时,有|x|?|y| 若x,y同号(同正,即M在一象限) 则x?y,即x??2x?4

3x?4 x?43 ∴M1(,),此时F1(0,)

333444若x,y异号(M在二或四象限), 则x??y, 即x?2x?4, x?4 ∴M2(4,-4) 此时F2(0,?4) 9分 ②当F为直角顶点时,有|y|?|2x|

若x,y同号(M在一象限) 则y?2x

即2x??2x?4, 4x?4, x?1, ∴M3(1,2), 此时F3(0,1) 若x,y异号(M在二象限或四象限)

则y??2x, 即?2x??2x?4, 此方程无解. ∴存在△MEF为等腰直角三角形,其坐标为

M1(444,),F1(0,)333 ; M2(4,?4),F2(0,?4); M3(1,2),F3(0,1) 10分

13．解：⑴ ∵矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm

∴CD= AB=3cm

∴在Rt△BCD中 BD=5cm

由题意得：PD=t，BQ=t，BP=5－t

过P作PE⊥BC于E，则PE∥CD

∴△BPE∽△BDC ∴

BPBD?PEDCAPD 即

5?t5?PE3

BQEC ∴PE? ∴S?1235(5?t) 2分

12?35(5?t)t??BQ?PE?310t?232t 3分

⑵不存在t满足条件

∵S?PBQ?SCDPQ?S?BCD ∴S?PBQ?SCDPQ时，有 S?PBQ? ∵S?BCD?14SABCD?3

310t?212S?BCD

ADP ∴令S?3，则有?32t?3 即t?5t?10?0 5分

2BAFQCD ∵??25?40?0 ∴方程无实数根

∴不存在满足条件的t 6分 ⑶若BP=PQ 则过P作PF⊥BC于F ∴PF∥CD BF=QF= ∴△BPF∽△BDC ∴

即

5?t5?t/2412BQ??t2PBQC

401352BPBDBFBCADPM ∴t?

若BP=QB，则5?t?t ∴t? 若QB=PQ，则过Q作QM⊥BD于M ∴∠BMQ=∠C=90° BM=PM=

12

BQCBP

∵∠CBD=∠CBD ∴△BMQ∽△BDC ∴

BQBD?4013BMBC 即

52t5?25135?t/24 ∴t?2513

∴t?，t?，t?时，△PBQ为等腰三角形 9分

△PBQ不能为等边三角形 10分 14.（10分）

解:(1)y?ax?bx?c过o(o,o)A(4,o),B(3,23)

?3a???3???43?16a?4b?c?0??? 解得?b?3 ??9a?3b?c?3??c?0???

?y??33x?2433x 3分

（２）过Ｂ作BE?x交x轴于E,则BE=3,AE?1,AB?2 由ta?nBAE?BEAE? 3得?BAE=60 4分

01） 由题意ＱA＝t, PA=4—t 对Ｑ作QF?x轴交x轴于F，则

si?nBAE?QFAQ QF?32t

?S?1212

PA?QF ?(4?t)?32t

??343434t?23t 6分

??(t?2)2? 3 ???0 ?当t?时2S,?最大 3 7分

此时?PQA是第边? 8分

（３）存在，当点Ｑ在AＢ上运动时，要使得?PQA是直角?，必须使

?PQA?90. PA＝2QA 即 4—t=2t.

430 ?t? ?P(,0)Q(341023,) 10分 33

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