抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习)

更新时间:2023-04-08 10:41:01 阅读量: 实用文档 文档下载

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抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 1 专题:抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围 涉及的主要知识点: (1)点在抛物线内满足的条件(不等式)、点在抛物线外满足的条件(不等式)。要根据抛物线的开口方向,数形结合;

(2)抛物线与直线相切满足的条件;

(3)抛物线与直线联立解方程,有时会含有参数;

(4)直线的平移与对称;

(5)两直线垂直时,k 1×k 2=-1;及两直线平行时,k 1=k 2

(6)直角坐标系中线段的中点坐标公式

基本方法:多画图,数形结合思想及分类讨论思想的应用

例1、已知在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,2)、B (1,0),现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ,点C 为线段AB 的中点,连接CD

(1)过点O 、C 、D 的抛物线的解析式是

(2)若抛物线y=ax 2+x 与线段CD 有公共点,则a 的取值范围是

解析:(1)略解。过点D 作DE ⊥x 轴,然后根据K 型图知D (3,1),由中点坐标公式得C (

21,1) 易得y=-32x 2+3

7x (2)① 当a >0时,抛物线y=ax 2+x 与x 轴的交点坐标为(-a

1,0)、(0,0),抛物线只可能与线段CD 有一个交点,如右图所示,所满足的条件为11

3321)21(022≤???????≥+?+?a a a φ,解得0<a ≤2

② 当a <0时,抛物线y=ax 2+x 与x 轴的交点坐标为(-a

1,0)、(0,0),此时抛物线与线段CD 可能有两个交点,也可能有一个交点,也可能没有交点

抛物线开口向下,与线段CD 有交点时,必须首先满足一个大前提:ax 2+x=1有解,

可得大前提 -

4

1≤a <0 当x=21时,41a+21<1,故抛物线只可能从C 点下方过去。 有两个交点应满足的条件为????

?????≤++-1391214

10

41a a a πππ,解得-41<a ≤-92

抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 2 有一个交点时,可能是相切,也可能不是相切。相切时,

a=-

4

1,抛物线与线段CD 的切点为(2,1),符合题意;

有一个交点时,且不相切的情形如右图所示: ????

?????++-1391214

10

41φπππa a a ,解得-92<a <0 综上所述,a 的取值范围是0<a ≤2或-

4

1≤a <0

类题演练

1、在直角坐标系中,点A (-2,0),B (-1,0),抛物线y=x 2+px+3与线段AB 有一个公共点,则p 的取值范围 是

2、如图,正方形ABCD ,点A (0,3),B (1,0),设过点O ,C 的抛物线y=ax 2+bx+c ,且开口向下。

(1)点D 的坐标为 key :(3,4)

(2)若线段OD 与抛物线只有一个交点,则a 的取值范围是

x y C

D A

O B

抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 3

y x C A B O 3、如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =-x 2+2x+3的图像与x 轴分别交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,动点P 从B 点出发,沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动。过点P 作PQ 垂直于直线BC ,垂足为Q 。设P 点移动的时间为t 秒(t >0),将△BPQ 绕点P 逆时针旋转90度

(1)当t= 时,旋转后的点B 落在二次函数图象上; key :3

(2)当旋转后的△BPQ 与二次函数的图像有两个公共点时,则t 的取值范围是

4、如图,直线y=12x+2交y 轴于点A ,与直线y=-12

x 交于点B ,把△AOB 沿y 轴翻折,得到 △AOC

(1)点C 的坐标是 key :(2,1)

(2)若抛物线y=(x-m )2+k 的顶点在直线y=-

12x 上移动,当抛物线与△AOC 的边OC ,AC 都有公共点,则m 的取值范围是 )

5、(2017年武义实验中学3月份月考试卷)如图,抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),

与y 轴交于点C

(1)将抛物线沿y 轴平移t (t >0)个单位,当平移后的抛物线与线段OB 有且仅有一个交点时,则t 的取值范围是

(2)抛物线上存在点P ,使∠BCP=∠BAC-∠ACO ,则点P 的坐标为

y

x Q

C A B

O P

抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 4 例2、如图,R t △ABC 的斜边AB 在轴上,AB=4,点A 的坐标为(-1,0),点C 在y 轴的正半轴。若抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A ,B ,C.

(1)该抛物线的函数表达式为

(2)若以动直线l :y=-3x+m 为对称轴,线段BC 关于直线l 的对称线段B ′C ′与二次函数图象有交点,则m 的取值范围为

(逆向思考:先画出线段B ′C ′ 的相交情况)

解:(1)y= -x 2+x+(注意:在第(1)问中,可发现均为30°、60°、90°的特殊直角三角形,这些特殊角度有重要的作用)

(2)我们发现:线段B ′C ′ 是在进行平移运动,被夹在y=x+与y=x-两平行直线之间。 从特殊点出发,当直线l 恰好经过点B 时,则B 、B ′ 重合。由动直线l :y=-x+m ,可知,动直线l 与x 轴相交所形成的锐角为60°,故这时B ′C ′⊥x 轴(上面的图画得不是很清楚,可自己改一改),这就说明B ′C ′ 始终垂直于x 轴。

联立直线得交点D 的横坐标433-m ,又因为该交点为线段CC ′ 的中点,由中点坐标公式得C ′的横坐标为2

33-m (接下来,自己去模仿吧) 故直线B ′C ′的解析式:x=

233-m 联立易得E (1,3

34) 联立易得F (-2,-

335) 233-m =3,得m=33;233-m =1,得m=3

35; 333

3233333

333??

???+-=+=m x y x y 3333y x C B A O y x C'C B A O B'

抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习) 5

233-m =0,得m=3;233-m =-2,得m= -3

3 综上所述,m 的取值范围为-

≤m ≤或≤m ≤3 类题演练

6、如图,抛物线y=﹣49

(x-3)2+4的顶点为A ,与x 轴交于点O 、B ,直线l ⊥直线AO 于点P ,与x 轴交于点C ,连接AC 。设点P 的横坐标为m

(1)写出点A 与点B 的坐标; key :A (3,4),B (6,0)

(2)当m=1时,求△ACO 的面积; key :9

50 (3)作点O 关于直线l 的对称点O ′,连接CO ′

① 当m >0时,问是否存在点P ,使得△ACO ′为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由。

② 作点B 关于直线l 的对称点B ′,连接B ′O ′,若线段B ′O ′与抛物线有交点,直接写出m 的取值范围

33533

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/doxl.html

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