华师大版本中考数学总复习全套学案

1

实数的概念

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.实数的有关概念

(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类

①按定义分: ②按符号分:

有理数(

)

()0()()()(

)?????????

????????

；有理数(

)()()

()()(

)

??????

?????????

（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1

a

.则 。 （6）绝对值：

（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类:实数

3.科学记数法、近似数和有效数字

（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n

的形式（其中1≤a<10，n 是整数）

（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效

数字。

（二）：【课前练习】

1．|－22|的值是（ ）

A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 2．下列说法不正确的是（ ）

A ．没有最大的有理数

B ．没有最小的有理数

C ．有最大的负数

D ．有绝对值最小的有理数

()()()()()

()()()()()()

(

)???????

?

?????????????

?????????????

?

?

????????

?

零

2 3

．在(

00

22sin 4500.2020020002273π???、、、这七个数中，无理数有（ ） A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个

4．下列命题中正确的是（ ）

A ．有限小数是有理数

B ．数轴上的点与有理数一一对应

C ．无限小数是无理数

D ．数轴上的点与实数一一对应

5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万

二：【经典考题剖析】

1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m

处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：

2．下列各数中：-1，0，169，2π

，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos ,

722,2,π-722

.

有理数集合{ …}； 正数集合{ …}；

整数集合{ …}； 自然数集合{ …}；

分数集合{ …}； 无理数集合{ …}；

绝对值最小的数的集合{ …}；

3. 已知(x-2)2

，求xyz 的值．．

4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32122()2()m m

a b cd m -+-÷ 的值

5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+-- 三：【课后训练】

2、一个数的倒数的相反数是115 ,则这个数是（）

A ．65

B ．56

C ．-65

D ．－56

3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）

A ．非负数

B ．非正数

C ．负数

D ．正数

4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数 是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）

A ．代人法

B ．换元法

C ．数形结合

D ．分类讨论

5. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．

0b

a

3 6.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3

x y +=

7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表示 (保留三个有效数字)

8.当a 为何值时有：①23a -=；②20a -=；③23a -=-

9. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求

20022001200012()2()a b cd y x +-++的值．

10. （1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|

综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b|

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上

表示1和－3的两点之间的距离是______.

②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x 为_________．

③当代数式|x+1|+|x －2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.

四：【课后小结】

实数的运算

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把__________

②绝对值不相等的异号两数相加，取___________的符号，并用 ____________。互为相反数的两个数相加得____。 ③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。

(3)有理数乘法法则：

①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由___________决定。当____________，积为负，当___________，积为正。 ③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.

(4)有理数除法法则：

①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。

②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个___________的数，都得0

(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是__________； 负数的_________是负数，负数的_________是正数

(6)有理数混合运算法则：

先算________，再算__________，最后算___________。如果有括号，就________。

2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。

4 3.运算律

（1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。

（3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。

（5）乘法分配律：_________________________。

4.实数的大小比较

（1）差值比较法：

a b -＞0a ?＞b ，a b -=0a b ?=，a b -＜0a ?＜ b

（2）商值比较法：

若a b 、为两正数，则a b ＞1a ?＞b ；1;a a b b

=?=a b ＜1a ?＜b （3）绝对值比较法：

若a b 、为两负数，则a ＞b a ?＜b a b a b a =?=；；＜b a ?＞b

（4

5.三个重要的非负数：

（二）：【课前练习】

1. 下列说法中，正确的是（ ）

A ．|m|与—m 互为相反数 B

11互为倒数

C ．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102

D ．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50

2.

在函数y =中，自变量x 的取值范围是（ ）

A ．x ＞

C ．x ≤1

D ．x ≥1

3. ＝，结果是 。

______

5.计算

(1) 32÷(－3)2+|－ 16

|×(－； (2)

2

二：【经典考题剖析】

1.已知

x 、y 是实数，

269

0,3,.

y y axy x y a

-+=

-=若求实数

的值

2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:24042,1)2π--

3.比较大小

:3与

4.探索规律:31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，

个位数字是3；36=729，个位数字是9；…那么37的个位数字是 ；320的个位数字

是 ；

5.计算：

5 （1

）34221(2)(1)()20.25413(2)??-?--???????+-?-??

； （2

）10022()(2001tan 30)(2)3--++-

三：【课后训练】

1.某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，

那么停靠站的位置应设在（ ） A ．A 区； B ．B 区； C ．C 区； D ．A 、B 两区之间

2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长25.7%，占2004年国内生产总值（GDP ）的19%。根据以上信息，下列说法：①2003年全国税收收入约为25718×（1-25.7%）亿元；②

2003年全国税收收入约为

257181+25.7%

亿元；③若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入约为25718×（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP ）约为2571819%亿元。其中正确的有（ ） A ．①④；B ．①③④；C ．②③；D ．②③④

3.当0＜x ＜1时，21,,x x x

的大小顺序是（ ） A ．

1x ＜x ＜2x ；B ．1x ＜2x ＜x ；C ．2x ＜x ＜1x ；D ．x ＜2x ＜1x

4.设是大于1的实数，若221,,33a a a ++在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）

A ．C 、

B 、A ；B ．B 、

C 、A ；C ．A 、B 、 C ；

D ．C 、 A 、 B

5.现规定一种新的运算“※”：a ※b=a b ，如3※2=32=9，则

12※3=（ ） A ．18；B ．8；C ．16；D ．32

6.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；101～198次为直快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。二是单、双数表示不同的行驶方向，比如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（ ）

A ．20；

B ．119；

C ．120；

D ．319

7.计算：

（1）

2； ⑵

)；

（4

0； （5）22233411110.5+(-)--2-4-(-1)()(-)2232-?÷ 8.

已知：32x x +=+，求352242x x x x -??÷-- ?--??的值 9. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n

表示自然数，用关于n 的等式表示出来

10.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价

相比前一天的涨跌情况：（单位：元）

200m 100m A C

B

6

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？

四：【课后小结】

数的开方和二次根式

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.平方根与立方根

(1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ；

零的平方根是 ； 没有平方根。

（2）如果x 3=a ，那么x 叫做

a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；

零的立方根是 ；

2.二次根式

（1）

（2）

（3）

（

4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则

；③= (0,0)a b

≥≥

(

)()a a a ?==?-?

0,0)a b =≥

（5

）二次根式的运算

①加减法：先化为

，在合并同类二次根式；

0,0)a b =≥≥；

0,0)a b =≥

④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

（二）：【课前练习】

1.填空题

2. 判断题

3.

那么x取值范围是（）

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2

4.下列各式属于最简二次根式的是（）

A

5.

）

A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④二：【经典考题剖析】

1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2－

|5|0

c-=，试判断△ABC的形状．

2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义

（1

；（2

（3

3.找出下列二次根式中的最简二次根式：

2

2

x y

+

4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

7

8

0),3

b b

-

5.

化简与计算

2)

x；

；

7

)

2

m

-

⑤

22

-；

⑥(

三：【课后训练】

1.

当x≤2时，下列等式一定成立的是（）

A

2

x

=- B3

x

=-

C、

= D

=

2. 那么x取值范围是（）

A、x

≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2

3. 当a则实数a在数轴上的对应点在（）

A．原点的右侧 B．原点的左侧

C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧

4.有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－

17的平方根，其中正确的有（）

A．0个 B．1个

C．2个 D

．3个

5.

所得结果是______．

6.当a≥0

=

7.计算

（1）

（2）、))

2003

2

（3）、(2；（4）

8.已知：x y

、为实数，，求

3x+4y的值。

9.实数P

10.阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：

其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：

原式

－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17

9 ⑴___________是错误的；

⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________

四：【课后小结】

代数式的初步知识

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1. 代数式的分类:

2. 代数式的有关概念

(1)代数式

: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代

数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．

（2）有理式： 和 统称有理式。

（3）无理式：

3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

（二）：【课前练习】

1. a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）

A.22a b +

B.2()a b +

C.2a b +

D.2a b +

2. 当x=-2时，代数式-2x +2x-1的值等于（ ）

A.9

B.6

C.1

D.-1

3. 当代数式a+b 的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ）

A.5

B.6

C.7

D.8

4. 一种商品进价为每件a 元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈

利（ ）

A.0.125a 元

B.0.15a 元

C.0.25a 元

D.1.25a 元

5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S ，则S ＝______________；图④的面积P 为_____________，则P_____s 。

二：【经典考题剖析】 1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

（1）a 2-ab+b 2；（2）S=12

（a+b ）h ；（3）2a+3b ≥0；（4）y ；（5）0；（6）c=2πR 。

2. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a 元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价一下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。

3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab 之间把绳子再剪(n-2)代数式 有理式 无理式

a a

b a+b a+b a a b b b

2a ④

③②①

10 次(剪刀的方向与a 平行）这样一共剪n 次时绳子的段数是（ ）

A .4n+1

B .4n+2

C .4n+3

D .4n+5

4. 有这样一道题，“当a= 0.35，b=-0.28时，求代数式 7a 2－6a 3b+3a 3＋6a 3b －3a 2b －10a 3+3 a 2b －2的值”．小

明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．

5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？

x x x x →→+→÷→-→平方答案

（1）填写表内空格：

（2）发现的规律是： （3）用简要的过程证明你发现的规律。

三：【课后训练】

1. 下列各式不是代数式的是（ ）

A ．0

B ．4x 2－3x+1

C ．a ＋b= b+a

D 、2y

2. 两个数的和是25，其中一个数用字母x 表示，那么x 与另一个数之积用代数式表示为（ ）

A ．x （x ＋25）

B ．x （x —25）

C ．25x

D ．x （25－x ）

3. 若ab x 与a y b 2是同类项，下列结论正确的是（ ）

A ．X ＝2，y=1；

B ．X=0，y=0；

C ．X ＝2，y=0；

D ．X=1，y=1

4. 小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），

然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第

2步），如图反映的是前3步的图案，当第１0步结

束后，组成图案的积木块数为 （ ）

A ．306

B ．361

C ．380

D ．420

5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名

的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是

.

6. 22x=-2,3x -x+2x +3x=若则 ；

7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一

部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．

8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块；

⑵ 第n 个图案中有白色地面砖 块．

9. 下面是一个有规律排列的数表：

第1步 第2步 第3步

11

上面数表中第9行，第7列的数是_________．

10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

⑵通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.

四：【课后小结】

整式 一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.整式有关概念

（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________叫做这个单项式的系

数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；

（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________的个数，就是这个多

项式的项数。

2.同类项、合并同类项

（1）同类项：________________________________ 叫做同类项；

（2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项；

（3）合并同类项法则： 。

（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________

括号前是“－”号，________________________________

（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”号，

括到括号里的各项的符号都 。

3.整式的运算

（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。

（2）整式的乘除法：

①幂的运算：

0;;();()11,(0,)m n m n m n m n m n mn n n n

p p a a a a a a a a ab a b a a a p a

+--?=÷=====≠为整数 ②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。

单项式乘以多项式：()m a b += 。

单项式乘以多项式：()()m n a b ++= 。

…… ……

①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32； ④ ； ⑤ ；

12 ③乘法公式：

平方差： 。

完全平方公式： 。

2()()()a b x a x b x a b x ab ++=+++、型公式：

④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

（二）：【课前练习】

1. 代数式－22314x y +xy -1___2有项，每项系数分别是 __________.

2. 若代数式－2x a y b+2与3x 5y 2-b 是同类项，则代数式3a －b=_______

3. 合并同类项：22224-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x 53x y xy xy --+⑴

4. 下列计算中，正确的是（ ）

A ．2a+3b=5ab ；

B ．a ·a 3=a 3 ；

C ．a 6÷a 2=a 3 ；

D ．（－ab ）2=a 2b

2 5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）．

①（2a －3b ）（3b －2a ）；②（－2a ＋3b ）（2a+3b ）

③（－2a +3b ）（－2a －3b ）；④（2a+3b ）（－2a －3b ）．

A ．①②；

B ．②③ ；

C ．③④ ；

D ．①④

二：【经典考题剖析】

1.计算：－7a 2b+3ab 2－｛[4a 2b-(2ab 2-3ab)]-4ab-(11ab 2b-31ab －6ab 2｝

2. 若3m 3n x =4,y =5,求(x 2m )3+(y n )3－x 2m ·y n 的值．

3. 已知：A=2x 2+3ax －2x －1, B=－x 2+ax －1，且3A+6B 的值与 x 无关，求a 的值．

4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b ）2（其中n 为正整数）展开式的

系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b ）4展开式中的系数：

(a+b)1=a +b ；

(a+b)2=a 2+2ab+b 2

(a+b)3=a 3 +3a 2 b+3ab 2+b

3 则(a+b)4=____a 4+____a 3 b+___ a 2 b 2+_____

(a+b)6=

5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些

代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a ＋b)(a+b)=2a 2＋3ab+ b 2就可以用图l －l －l 或图l －l －2

等图形的面积表示．

（1）请写出图l －1－3所表示的代数恒等式：

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

（a+b ）（a+3b ）＝a 2＋4ab 十3b 2．

（3）请仿照上述方法另写一下个含有a 、b 的代数恒

等式，并画出与之对应的几何图形．

三：【课后训练】

1. 下列计算错误的个数是（ ）

333+36663503582432x +x =x m m =2m a a a =a =a ; (-1)(-1)(-1)=(-1)=(

-1)++++???⑴；⑵；⑶⑷

13 A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2. 计算：22(3a -2a+1)-(2a +3a-5)的结果是（ ）

A ．a 2－5a+6;

B ．a 2－5a －4;

C ．a 2+a －4; D. a 2+a+6

3. 若223x +ax=(x+)+b 2，则a 、b 的值是（ ） 9993A. a=3,b=; B.a=3,b=-; C.a=0, b=-; D.a=3, b=-4442

4. 下列各题计算正确的是（ ）

A 、x 8÷x 4÷x 3=1

B 、a 8÷a -8=1 C. 3100÷399=3 D.510÷55÷5-2=54

5. 若3n m 43a b -5a b 所得的差是 单项式．则m=___．n=_____，这个单项式是____________．

6. －23

ab c 2 的系数是______，次数是______．

7. 求值：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－2

110） 8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a 2毫升硫酸，第二次实验用去了b 2毫升硫酸，第三

次用去了2ab 毫升硫酸，若a=3．6，b=l ．4．则化学老师做三次实验共用去了多少毫升硫酸？

9. ⑴观察下列各式：

⑵由此可以猜想：(b a

)n =____(n 为正整数，且a ≠0) ⑶证明你的结论：

10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个

问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=12

n(n+1)，其中n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式：

1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=?

1×2=13

(1×2×3－0×1×2) 2×3=13

(2×3×4－1×2×3) 3×4=13

(3×4×5－2×3×4) 将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3 3×4=13×3×4×5=20 读完这段材料，请你思考后回答：

⑴1×2+2×3+3×4+…+100×101=_________.

⑵1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=___________.

⑶1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)=______-.

（只需写出结果，不必写中间的过程）

四：【课后小结】

因式分解

一：【课前预习】

14 （一）：【知识梳理】

1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化

成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：平方差公式: ；

完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4．分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的

项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

（二）：【课前练习】

1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）

A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3

C ．mx —my 与 ny —nx

D ．ab —ac 与 ab —bc

2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ）

3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

2222

2222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+

4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____

5. 分解因式：（1）(

)229=n ；()222=a （2）22x y -= ；（3）22259x y -= ；

（4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式

二：【经典考题剖析】

1. 分解因式：

（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()23

42x y y x --- 分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”

③注意()()22n n a b b a -=-，()()2121n n a b b a ++-=--

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

2. 分解因式：

（1）22310x xy y --；（2）32232212x y x y xy +-；（3）()222416x x +-

222222.1(1)(1) ;.14(12)(12)

.8164(98)(98);.(2)(2)(2)

A x x x

B y y y

C x y x y x y

D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-

15 分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

3. 计算：（1）???

??

-??? ??-??????

??

-???

??-22221011911311211

（2）22222221219981999200020012002-+???-+-+-

分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

4. 分解因式：（1）22244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2322-+-

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，

5. （1）在实数范围内分解因式：44-x ；

（2）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足222a b c ab bc ac ++=++，

求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a b c ==，

从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()2220a b b c c a -+-+-=，

即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：2220a b c ab bc ac ++---=

022*******=---++ac bc ab c b a ()()()0222

=-+-+-a c c b b a

∴c b a == 即△ABC 为等边三角形。

三：【课后训练】

1. 若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）

A ．24

B ．12

C ．±12

D ．±24

2. 把多项式1ab a b -+-因式分解的结果是（ ）

A ．()()11a b ++

B ．()()11a b --

C ．()()11a b +-

D ．()()11a b -+

3. 如果二次三项式21x ax +-可分解为()()2x x b -+，则a b +的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

4. 已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）

A ．61、63

B ．61、65

C ．61、67

D ．63、65

5. 计算：1998×2002＝ ，2227462723-?+＝ 。

6. 若210a a ++=，那么200120001999a a a ++＝ 。

7. m 、n

满足20m +=，分解因式()()22x y mxy n +-+＝ 。

16 8. 因式分解：

（1）()()2223238x x x x +-+-；

（2）222221a b ab b a +--++ （3）()()()()12341x x x x +++++；（4）()()22114a b ab ---

9. 观察下列等式：

2311=

233321=+

23336321=++

23333104321=+++……

想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示

出来： 。

10. 已知a b c 、、是△ABC 的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断△ABC 的形状。阅读下面解题过程：

解：由422422a b c b a c +=+得：

442222a b a c b c -=- ①

()()()22

22222a b a b c a b +-=- ② 即222a b c += ③

∴△ABC 为Rt △。 ④

试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；

错误原因是 ；本题

的结论应为 。

四：【课后小结】

分式

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步

骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。通

分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

17 2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：

(0)A A M A M M B B M B M

?÷==≠?÷其中 （2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：

a a a a

b b b b

--==-=--- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。 ②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。 （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算 （2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；

（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。

5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．

（二）：【课前练习】

1. 判断对错：

①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ）

②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ）

③当a ≠0时，分式1a ＝0有意义（ ）； ④当a ＝0时，分式1a

＝0无意义（ ） 2.

在22

21123,0,,,,,323x y x x x x x x y π

+-中，整式和分式的个数分别为（ ） A ．5，3 B ．7，1 C ．6，2 D ．5，2

3. 若将分式

a b ab

+ (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ） A ．扩大为原来的2倍 ；B ．缩小为原来的12；C ．不变；D ．缩小为原来的14 4.分式2

2969

x x x --+约分的结果是 。 5. 分式,,7(2)4()(2)6()(2)

x y y x y y y x y +-+-+的最简公分母是 。 二：【经典考题剖析】

1. 已知分式25,45

x x x ---当x ≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0． ()n n a b a b c c a c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad d b c bc a a n b ?±?±=?????±??±=???????=???????÷=?=?????=??

??n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b

18 2. 若分式221

x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．x=－1或x=2 B 、x=0 C ．x=2 D ．x=－1

3.（1） 先化简，再求值：231()11x x

x x x x

---+，其中2x =. （2）先将221(1)1x x x x

-?++化简，然后请你自选一个合理的x 值，求原式的值。 （3）已知

0346

x y z ==≠，求x y z x y z +--+的值 4.计算 （1）()241222a a a a -÷-?+-；（2）222x x x ---；（3）2214122x x x x x x ++??+-÷ ?--??

（4）x y x y x x

y x y x x -÷????????? ??--++-3232；（5）4214121111x x x x ++++++- 分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把()2x -+当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（4）题可以将y x --看作一个整体()y x +-，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算

x x ++-1111，用其结果再与221x +相加，依次类推。 5. 阅读下面题目的计算过程：

23211x x x ---+＝()()()()()

2131111x x x x x x ---+-+- ① ＝()()321x x --- ②

＝322x x --+ ③

＝1x -- ④

（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

（2）错误原因是 。

（3）本题的正确结论是 。

三：【课后训练】

1. 当x 取何值时，分式（1）321

x -；（2）3221x x -+；（3）24x -有意义。 2. 当x 取何时，分式（1）2335

x x +-；（2）33x x -+的值为零。 3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

19 （1）22()

23(2)n

m m =++；（2）22()ab b a b

ab b ++=+

4. 若7;12a b ab +==，则22

a b ab +＝ 。

5. 已知1

1

3x y -=。则分式2322x xy y

x xy y +---的值为 。

6. 先化简代数式222222()()()a b a b ab

a b a b a b a b +--÷+--+然后请你自取一组a 、b 的值代入求值．

7. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，222a b c ++ =ab bc ac ++，试判定三角形的形状．

8. 计算：

（1）2

22111()121a a a a a a -+--÷--+；（2）???

??--+÷--25223x x x x

（3）421444122++--+-x x x x x ；（4）1222222-???????-+-+--n mn

n m n mn n mn m n m

9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：

已知：方程121

1

11x =2,x 22x x -==-的解是； 方程12121

2x =3,x 33x x -==-的解是；

方程121

3

13x =4,x 44x x -==-的解是； 方程12141

4x =5,x 55x x -==-的解是；

问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x －10 =1010

11的解，并写出检验．

10. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知x y z

a b b c c a ==---()a b c 、、互相不相等，求x+y+z 的值

解：设x y z

a b b c c a ==---=k,

();(),();x+y+z=()00x k a b y k b c z k c a k a b b c c a k =-=-=--+-+-=?=则于是 仿照上述方法解答下列问题：已知：(0),y z

z x x y x y z

x y z x y z x y z ++++-==++≠++求的值。

四：【课后小结】

一次方程

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】 1.方程的分类 2.方程的有关概念 （1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。

（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。

?

???????整式方程

有理方程方程分式方程

无理方程

20 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。

（6）方程的解： 叫做方程的解。

（7）解方程： _叫做解方程。

（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。

（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程

3．①解方程的理论根据是：_________________________

②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________.

③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；

4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：

5. 二元一次方程组的解法．

（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个

方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加

减消元法，简称加减法．

6．整体思想解方程组．

（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+??-=+?①

②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的3（x+5）

看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．

（2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ?=????=??①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程

整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①

得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．

7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．

8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点

21 的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，

9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．

（二）：【课前练习】

1. 若(32)x -∶2＝(32)x +∶5，则x ＝ 。

2. 如果235x -与233

x -的值互为相反数，则x ＝ 。 3. 已知11x y =??=-?是方程组1242

ax by x by +=??-=?的解，则b a +＝ 。

4. 若单项式421m a b -+与2723

m m a b +-是同类项，则m ＝（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.4

5. 已知方程组5354x y ax y +=??+=?与2551

x y x by -=??+=?有相同的解，则a 、b 的值为（ ）

A 、12a b =??=?

B 、46a b =-??=-?

C 、62a b =-??=?

D 、142a b =??=?

二：【经典考题剖析】

1. 解方程：12

733)1(2-=-++x x x 2. 若关于x 的方程：(3)(2)10354k x k x x +--=-与方程1252(1)3

x x --+=的解相同，求k 的值。 3. 在代数式ax by m ++中，当2,3,4x y m ===时，它的值是零；当3,6,x y =-=-

4m =时，它的值是4；求a b 、的值。

4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）

A. 5种

B. 6种

C. 8种

D. 10种

解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x 、y 为非负数），则有：

210102x y y x +=?=-，05x x ≤≤且为整数012345x ?=、

、、、、。 5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B 、C 、D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A 处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用了3小时，求CE 的长；

（2）若此学生打算从A 处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。

略解：（1）设CE 线长为x 千米，列方程可得x ＝0.4。 （2）分A →D →C →B →E →A 环线和A →D →C →E →B →E →A 环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，

故先后者。 三：【课后训练】 1. 若2x+1= 7，则x 的值为（ ）

问题二图 x ????? 1.20.4

1

11.6

E D C B A

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