江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末数学试卷

江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试

数学试卷

Ⅰ卷（必做题部分 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

1．若集合A?x|x≤2，B?x|x≥a满足A????B?{2}，则实数a= ．

2．已知虚数z满足等式： 2z?z?1?6i，则z? ． s←2 3．函数y?1?sin2(x??3)的最小正周期是 ．

4. 某算法的伪代码如右：则输出的结果是 . 5已知条件p:x≤1，条件q：

1?1 ，则?p是q的 条件. xi←1 While s≤400 i←i+2 s←s×i End While Print i 6.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X、Y的线性相关 第4题

关系时，发现两人对X的观察数据的平均值相等，都是s，对Y的观察数据的平均值也相等，都是t，各自求出的回归直线分别是l1、l2，则直线l1与l2必经过同一点 。 7. 已知O为坐标原点，OA?(?3,1),OB?(0,5)，且AC//OB，BC?AB，则点C的坐标为____________

?x?y≥2，?8. 已知实数x，y满足?x?y≤2，则z?2x?y的取值范围是_____ ___．

?0≤y≤3，?9.在0到1之间任取两个实数，则它们的平方和大于1的概率是 。 10.若双曲线经过点A(0,2)，且焦点为F1(0,0),F2(4,0)，则它的离心率为 。 11.已知数列?an?中，a1?2,a2?1, 。

12. 已知函数f(x)?x2?(b?4?a2)x?2a?b是偶函数，则函数图像与y轴交点的纵坐标的最大值是 ．

13. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy?ax?2y对于x??1,2?,y??2,3?恒成

22211??(n?2,n?N)，其通项公式an= anan?1an?1立,求a的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”. 乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”. 丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”.

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是 ．

14.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a,b?R满足下列关系式：

f(2n)f(2n)*(n?N),bn?(n?N*).考察下f(a?b)?af(b)?bf(a),f(2)?2,an?n2n列结论：①f(0)?f(1)； ②f(x)为偶函数；③数列?an?为等差数列；④数列?bn?为等

比数列.其中正确的结论有 _.(请将所有正确结论的序号都填上) 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.

15、（本小题满分14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段频率分布直方图.观察图形的信息，回答下?50,60?，?60,70???90,100?后画出如下部分．．

组距

列问题：

（Ⅰ）求出物理成绩低于50分的学生人数； (Ⅱ)估计这次考试物理学科及格率（60分及 以上为及格）

(Ⅲ) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求 他们成绩至少有一个不低于50分的概率.

组数

0.03 0.025 0.015 0.005

50

60

70

80

90

100

分数

16．（本小题满分14分）已知函数f(x)?a(2cos2x?sinx)?b. 2（Ⅰ）当a?1时，求函数f?x?的单调递增区间；.

（Ⅱ）当a?0时，若x?[0,?]，函数f(x)的值域是[3,4]，求实数a,b的值。

AB?2a，17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．

（Ⅰ）求证：DE?平面BCE；

（Ⅱ）求证：AF//平面BDE． A 1D1

F

E

C1

B1

D

C

A B 18．（本小题满分16分）已知直线l的方程为x??2，且直线l与x轴交于点M，圆． O:x2?y2?1与x轴交于A,B两点（如图）

（I）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的

1，求直线l1的方程； 4（II）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；

（III）过M点作直线l2与圆相切于点N,设（II）中椭圆的两个焦点分别为F1,F2,求三角形

?NF1F2面积。

l P M A y Q l1 B x O

19. （本小题满分16分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

a3?a4?117，a2?a5?22． （1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若数列{bn}是等差数列，且bn?Sn，求非零常数c； n?c（3）若(2)中的{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn?3bn?1?64bn

(n?9)bn?1

20.(本小题16分)定义在(0,??)的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx, g(x)= x2?af(x),h(x)?x?ax,且g(x)在x=1处取极值。 （I）求a值及h(x)的单调区间； （II）求证：当1

2-f(x)（III）把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数，并说明道理.

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数学试卷

Ⅱ卷（加试题部分 共40分）

加试题共4题，每题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内.

1.设矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵M

2．已知椭圆的长轴长为6，焦距F1F2?42,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设?F2F1M??(0????),当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）

3． 如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E

是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求二面角A－BE－C的余弦值．

B

（第3题）

4．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用?表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量?的概率分布和数学期望； （3）计分不小于20分的概率．

?1以及圆x2?y2?1在M?1的作用下的新曲线的方程．

A O E C

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Ⅰ卷（必做题部分）参考答案

一、填空题：（每小题５分，共７０分）

1．2 2． 1+2i 3．π 4． 9 5．充分不必要 6．（s,t） 7．(?3,11.

高三数学

29?5?1) 8．??5， 7? 9. 1? 10.4422 12. 4 13.[?1,??) 14①③④ n二、解答题：（共９０分） 15、（本小题满分14分）

解： （Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

f1?1?(0.015?2?0.03?0.025?0.005)?10?0.1????????????3分 所以低于50分的人数为60?0.1?6（人）????????????????.5分 （Ⅱ）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为 (0.015?0.03?0.025?0.005)?10?0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%????????????????????8分. 于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%??????????????9分. （Ⅲ）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为： P?1?6?56? ????????????????????14分

15?147 16．（本小题满分14分）

???2asin?x???a?b

4?????（Ⅰ）当a?1时，f?x??2sin?x???1?b ????????????3分

4??????当2k???x??2k??(k?Z)时，f?x?是增函数，

2423????所以函数f?x?的单调递增区间为?2k??,2k???(k?Z). ?????7分

44????5?2???（Ⅱ）由x??0,??得?x??， ???sin?x???1

44424?????因为a?0 ，所以当sin?x???1时，f?x?取最小值3，即2a?a?b?3(1)

4????2?当sin?x????时，f?x?取最大值4，即b?4

4?2?解：f?x??a?cosx?1?sinx??b?

将b?4代入（1）式得a?1?2. ????????????14分

E D1

F 17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：?BC?侧面CDD1C1，

A1 B1 DE?侧面CDD1C1，?DE?BC，

D ???3分 在?CDE中，CD?2a,CE?DE?222C1

C

2a，

则有CD?CE?DE， A B

??DEC?90?，?DE?EC， ???????????????6分 又BC?EC?C?DE?平面BDE． ??????????????7分 （Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，

O ?EF//11A1C1，AO//A1C1，?四边形AOEF是平行四边形，?????10分 22?AF//OE ?????????11分 又?OE?平面BDE，AF?平面BDE，

?AF//平面BDE． ?????????14分

18．（本小题满分1６分）

21?. PQ为圆周的,??POQ?.?O点到直线l1的距离为2427|2k|21(x?2).?5分 设l1的方程为y?k(x?2),??,?k2?.?l1的方程为y??2727k?1解：（I）

x2y2a2?2.椭圆与圆O恰有两个（II）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，则

abc不同的公共点，则a?1或b?1. ????????????7分

4y2122223?1；当b?1时，当a?1时，c?,b?a?c?,?所求椭圆方程为x?32422222b?c?2c,?c?1,?a?b?c? 2.x2?所求椭圆方程为?y2?1. ????????????1１分

2（III）设切点为N，则由题意得，在Rt?MON中，MO?2,ON?1，则?NMO?30，

N点的坐标为(?213,)，????????1２分 22l y N P M A l2 Q l1 B x 若椭圆为

x?y2?1.其焦点F1,F2 2133?分别为点A,B故S?NF1F2??2?，

2222114y?1，其焦点为F1(?,0),F2(,0), 若椭圆为x2?322

O

此时S?NF1F2?133 ????????????1６分 ?1??22419.（本小题满分1６分）

解：（1）{an}为等差数列，∵a3?a4?a2?a5?22，又a3?a4?117，

∴ a3，a4是方程n?22x?117?0的两个根

又公差d?0，∴a3?a4，∴a3?9，a4?13 ???????????

2分

2?a1?2d?9?a1?1∴ ? ∴? ∴an?4n?3???????????? 4分

a?3d?13d?4?1?n(n?1)?4?2n2?n ????????????? 5分 （2）由(1)知，Sn?n?1?2Sn2n2?n?∴bn? n?cn?c1615∴b1?，b2?，b3? ???????????????? 7分

1?c2?c3?c2∵{bn}是等差数列，∴2b2?b1?b3，∴2c?c?0 ?????????? 8分

1∴c??（c?0舍去） ????????????????????? 9分

22n2?n?2n ???????????????????? 11分 （3）由(2)得bn?1n?2 2Tn?3bn?1?2(n2?n)?3(2n?2)?2(n?1)2?4?4，n?1时取等号 ? 13分

64bn64?2n64n64??2??4，n?3时取等号15分

9(n?9)bn?1(n?9)?2(n?1)n?10n?9n??10n64bn(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以2Tn?3bn?1? ??????? 16分

(n?9)bn?1

20. (本小题满分16分)

解（I）由题意：g(x)?x?af(x)?x?alnx.

22g?(1)?2?a?0,∴a=2 ????????????????? 2分

11??）,令h?(x)?1??0得x?1,所以h(x)在(1，而h(x)?x?2x,h?(x)?1?上

xx1?0得0?x?1,h(x)在(0，1）为增函数，令h?(x)?1?上为增函数。???? 4分 x2（II）1?x?e,?0?lnx?2,

2(x-1)2?f(x).只需证：x[2?f(x)]?2?f(x)，即证：f(x)?欲证：x?

x+12?f(x)

2(x?1)2(x-1)?lnx-.

x?1x+1(x?1)2∴k?(x)?...........................7分 2x(x?1)∴当x>1时，k?(x)?0?k(x)在[1，为增函数????????????.9分 ??）?k(x)?k(1)?0,?k(x)?0.

2(x-1)2(x?1)?0,?lnx?即lnx? x+1x?1记k(x)?f(x)?∴结论成立 ????????????????????????10分

（III）由 （1）知：g(x)?x2?2lnx,h(x)?x?2x. ∴C2对应表达式为h1(x)?x?2x?6

∴问题转化成求函数g(x)?x2?2lnx与h1(x)?x?2x?6交点的个数. 即求方程：x?2lnx?x?2x?6的根的个数.

22x?2lnx??x?x?6...................................12分 即：

22?设h2(x)?2x?2lnx,h（3x）=-x?x?6.h2(x)?12x(x?2)x?2???.

xxxxx∴当x?(0,4)时，h?2(x)?0,h2(x)为减函数. 当x?(4,??)时，h?2(x)?0,h2(x)为增函数. 而h3(x)??x2?x?6的图象开口向下的抛物线 ∴h3(x)与h2(x)的大致图象如图：

∴h3(x)与h2(x)的交点个数为2个.即C2与C3的交点个数为2个. ?????????????16分

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数学试卷

Ⅱ卷（加试题部分）参考答案

?1?1.解： M?1??2?0??22?0??，????????????????????? 5分 1?3???1圆x?y?1在M的作用下的新曲线的方程为4x?9y?1 ??10分

22

2．已知椭圆的长轴长为6，焦距F1F2?42,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设?F2F1M??(0????),当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？ 解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为

M 极轴建立极坐标系（如图）

a2222这里:a=3,c=22,?b?1,p?, ?c?,e?c43?????????2分 N 所以椭圆的极坐标方程为：

Fα Fx ep1??????????４分

1?ecos?3?22cos?设M点的极坐标为(?1,?)，N点的极坐标为(?2,???)，??????５分

??MN??1??2?由MN?13?22cos??13?22cos(???)?6,9?8cos2?6332?2得，cos??,cos???,????????9分 2429?8cos??5?又0????，所以??或??.????????????????10分66x2解法二：设椭圆的方程为?y2?1，其左焦点为(?22,0)，直线MN的参数方程为：

9?x??22?lcos?， ??????４分 (l为参数）??y?lsin?将此参数方程代人椭圆方程并整理得：

6?2????8分1?8sin2?1?8sin2?

11?5??sin2??,sin???(,?0????,???或??????10分4266MN?t1?t2??(1?8sin2?)t2?42tcos??1?0，设M、N对应的参数分别为t1、t2，则

2解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）． EB?（2，，） 0 0?（0， 1，） 0?（2， ?1，）， 0AC?（0，， 2 ?1）， ????????2分

?22??． ????????????4分 cos?55?532cos2??4(1?8sin2?)由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故

2其余弦值是．??????5分

5（2）AB?(2，， 1， ?1)，设平面 0 ?1)，AE?(0，

ABE的法向量为n1?(x，y，z)，

?2x?z?0,则由n1?AB，n1?AE，得?

y?z?0.?取n＝（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），

????????????7分

n1?n222cos?n1，n2????．

|n1|?|n2|1?4?43 ?????????????9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－

2．?? 10分 34．解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

3111C5C2C2C22 则P(A)??. ??????????????????２分 33C10（２）由题意?有可能的取值为：２，３，４，５

21122112C2C2?C2C2C4C2?C4C212P(??2)?P(??3)? ?.?. 333015C10C102112112C6C2?C6C2C82C2?C8C238P(??4)?P(??5)? ?.?. ???５分 331015C10C10所以随机变量?的概率分布为：

２ ３ ４ ５ ? 38 1015123813 所以?的数学期望为Ｅ?＝2?＋3?＋4?＋5?＝ ??８分

151015330Ｐ （３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ

1 302 15P(C)?1?P(??2)?1?

129? 答： 略 ???????１０分 3030

ABE的法向量为n1?(x，y，z)，

?2x?z?0,则由n1?AB，n1?AE，得?

y?z?0.?取n＝（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），

????????????7分

n1?n222cos?n1，n2????．

|n1|?|n2|1?4?43 ?????????????9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－

2．?? 10分 34．解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

3111C5C2C2C22 则P(A)??. ??????????????????２分 33C10（２）由题意?有可能的取值为：２，３，４，５

21122112C2C2?C2C2C4C2?C4C212P(??2)?P(??3)? ?.?. 333015C10C102112112C6C2?C6C2C82C2?C8C238P(??4)?P(??5)? ?.?. ???５分 331015C10C10所以随机变量?的概率分布为：

２ ３ ４ ５ ? 38 1015123813 所以?的数学期望为Ｅ?＝2?＋3?＋4?＋5?＝ ??８分

151015330Ｐ （３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ

1 302 15P(C)?1?P(??2)?1?

129? 答： 略 ???????１０分 3030

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