2016年中考数学直升试卷一

2018年湖南省长沙市中考直升数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列数是无理数的是（ ） A．π B．

C．

D．0

2．下列运算正确的是（ ） A．xx=x

23

6

B．（xy）=xy

33

C．3x+2x=5x D．（x﹣1）=x﹣1

22

3．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（ ）

A． B． C． D．

4．为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的册数：3，9，3，7，8，则这组数据的中位数是（ ） A．3

B．7

C．8

D．9

5．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9

B．8

C．7

D．6

6．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）

A．（2，2） B．（﹣4，2） 7．下列说法错误的是（ ） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条

C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣1）

C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分

8．如图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

9．同一时刻，身高1.72m的小明在阳光下影长为0.86米；小宝在阳光下的影长为0.64m，则小宝的身高为（ ） A．1.28m

B．1.13m

C．0.64m

D．0.32m

10．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

A． B． C． D．

11．如图，关于抛物线y=（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ）

A．顶点坐标为（1，﹣2） B．对称轴是直线x=l C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小

12．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 13．﹣2的相反数等于 ． 14．分解因式：a﹣ab2= ．

15．第十届全国中学生运动会于2009年8月16日在长沙开幕，举行开幕式的贺龙体育场共有48000个座位，这个数用科学记数法表示为 个．

16．一斜坡的坡度为1：2，一辆汽车的最大爬坡坡角为30°，则该汽车 爬上该坡（填可以或不可以）． 17．如图，在⊙O中，

，∠A=40°，则∠B= 度．

18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．

三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算：2﹣1+

?tan30°﹣（π﹣2018）0．

）÷

的值．

20．已知x=﹣，求（1﹣

21．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品，九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如图两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），请把图2补充完整； （2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？

（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现在要在其中抽两人去参见学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写出用树状图或列表分析过程）

22．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

23．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．

（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

24．已知：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，以直角边AB为直径作圆O交AD于C，取线段BD的中点E，连接CE交AB的延长线于P． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）点M是弧

的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC的值．

25．已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与直线y=kx+1．

（1）若k=1，求证：无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．

（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A、B，试证明AB的长为定值，并求出这个定值． （3）当m=0，设两图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），原点为O，无论k为何值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．

26．如图1，直线y=x﹣b与抛物线y=﹣x交于A（﹣4，﹣4）和B两点，与y轴交于点C．

（1）求b的值及B点的坐标；

（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；

（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．

2

2018年湖南省长沙市南雅中学中考直升数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列数是无理数的是（ ） A．π B．

C．

D．0

【考点】无理数．

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：、π是无理数， 故选：A．

2．下列运算正确的是（ ） A．x2x3=x6

B．（xy）3=x3y

C．3x+2x=5x D．（x﹣1）2=x2﹣1

、0是有理数，

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式． 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可． 【解答】解：A、xx=x≠x，故本选项错误； B、（xy）=xy≠xy，故本选项错误； C、3x+2x=5x，本选项正确；

D、（x﹣1）=x﹣2x+1≠x﹣1，本选项错误． 故选C．

3．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（ ）

2

2

2

3

33

323

5

6

A． B． C． D．

【考点】反比例函数的应用．

【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限． 【解答】解：∵xy=4 ∴y=（x＞0，y＞0） 故选：C．

4．为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的册数：3，9，3，7，8，则这组数据的中位数是（ ） A．3

B．7

C．8

D．9

【考点】中位数．

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

【解答】解：题目中数据共有5个，

故中位数是按从小到大排列后第3个数作为中位数， 故这组数据的中位数是7． 故选B．

5．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9

B．8

C．7

D．6

【考点】多边形内角与外角．

【分析】首先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为360°，算出边数即可．

【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°， ∴此多边形的每一个外角是：180°﹣135°=45°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8， 故答案为：B．

6．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）

A．（2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣1）

【考点】坐标与图形变化﹣平移．

【分析】根据平移的性质，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度，其横坐标加3，纵坐标不变，可得出坐标．

【解答】解：根据平移的性质，

∵点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度，

∴横坐标为﹣1+3=2，纵坐标不变，平移后的坐标为（2，2）． 故选A．

7．下列说法错误的是（ ） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条

C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分

【考点】中心对称图形；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；轴对称图形．

【分析】给人家平行四边形的性质，正方形的对称性，矩形的对称性以及菱形的性质对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、平行四边形的对角相等，正确，故本选项错误； B、正方形的对称轴有四条，正确，故本选项错误；

C、矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，故本选项错误；

D、菱形的对角线相等且互相平分，错误，菱形的对角线不一定相等，故本选项正确． 故选D．

8．如图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可．

【解答】解：从上面看可得到从上往下2行的个数依次为3，2． 故选D．

9．同一时刻，身高1.72m的小明在阳光下影长为0.86米；小宝在阳光下的影长为0.64m，则小宝的身高为（ ） A．1.28m

B．1.13m

C．0.64m

D．0.32m

【考点】平行投影．

【分析】设小宝的身高为xm，利用在同一时刻，物体的高度与在阳光下的影长成正比得到x：0.64=1.72：0.86，然后利用比例性质求出x即可． 【解答】解：设小宝的身高为xm， 根据题意得x：0.64=1.72：0.86， 解得x=1.28，

即小宝的身高为1.28m． 故选A．

10．不等式组

的解集在数轴上表示为（ ）

A． B． C． D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【解答】解：解不等式①，得 x＞﹣2，

解不等式②，得 x＞6，

所以不等式的解集是 x＞6． 故选A．

11．如图，关于抛物线y=（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ）

A．顶点坐标为（1，﹣2） B．对称轴是直线x=l C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质．

【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）﹣2， A、因为顶点坐标是（1，﹣2），故说法正确； B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确； C、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确； D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误． 故选D．

12．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=（ ）

2

A． B． C． D．

【考点】解直角三角形；正方形的性质．

【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α=∠CDF，DE=CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα． 【解答】解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F， ∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，

∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°， 即EF与l2，l3，l4都垂直， ∴DE=1，DF=2．

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，AD=CD， ∴∠ADE+∠CDF=90°， 又∵∠α+∠ADE=90°， ∴∠α=∠CDF，

∵AD=CD，∠AED=∠DFC=90°， ∴△ADE≌△DCF， ∴DE=CF=1， ∴在Rt△CDF中，CD=∴sinα=sin∠CDF=故选：B．

=

=

=．

，

二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 13．﹣2的相反数等于 2 ． 【考点】相反数．

【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．

【解答】解：﹣2的相反数是2， 故答案为：2．

14．分解因式：a﹣ab= a（1+b）（1﹣b） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：原式=a（1﹣b2） =a（1+b）（1﹣b）．

故答案为：a（1+b）（1﹣b）．

15．第十届全国中学生运动会于2009年8月16日在长沙开幕，举行开幕式的贺龙体育场共有48000个座位，这个数用科学记数法表示为 4.8×10 个． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：将48 000用科学记数法表示为4.8×10个．

16．一斜坡的坡度为1：2，一辆汽车的最大爬坡坡角为30°，则该汽车 可以 爬上该坡（填可以或不可以）．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】根据正切的定义进行计算，比较斜坡的坡度与最大爬坡坡度的大小即可． 【解答】解：设斜坡的坡角为α， tanα=，tan30°=∵＜

，

，

4

4

2

∴该汽车可以爬上该坡， 故答案为：可以．

17．如图，在⊙O中，

，∠A=40°，则∠B= 70 度．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质．

【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB=AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得． 【解答】解：∵∴AB=AC， ∵∠A=40°， ∴∠B=∠C=÷2=70°．

18．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° ． 【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．

【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°， 180°﹣100°﹣50°=30°， 故答案为：30°．

三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算：2+

﹣1

，

?tan30°﹣（π﹣2018）．

0

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=+

×

﹣1=．

20．已知x=﹣，求（1﹣【考点】分式的化简求值．

）÷的值．

【分析】先将分式化简，然后代入x的值即可求出答案． 【解答】解：原式=[1﹣

]÷

=×

=，

当x=﹣，

∴原式=

=﹣．

21．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品，九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如图两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），请把图2补充完整；

（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？

（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现在要在其中抽两人去参见学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写出用树状图或列表分析过程）

【考点】列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统

计图．

【分析】（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数；

（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解； （3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查， 所调查的4个班征集到作品数为：5÷B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件， 把图2补充完整如下：

=12件，

（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品=12÷4=3（件）， 所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；

（3）画树状图如下：

列表如下：

共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种， 所以，P（一男一女）=

=，

即恰好抽中一男一女的概率是． 故答案为：抽样调查．

22．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；

（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°． ∴在△BEC与△DEC中，

∴△BEC≌△DEC（SAS）． （2）解：∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=∠BED．

∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF． ∴∠EFD=60°+45°=105°．

23．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．

（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，根据已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米两个关系列方程组求解．

（2）由（1）和在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米分别求出按原来进度和现在进度的天数，即求出少用天数． 【解答】解：（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米， 得解得

， ．

∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．

（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则 a=÷（4.8+4.2）=190（天） b=÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天） ∴a﹣b=10（天） ∴少用10天完成任务．

24．已知：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，以直角边AB为直径作圆O交AD于C，取线段BD的中点E，连接CE交AB的延长线于P． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）点M是弧

的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC的值．

【考点】切线的判定；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】（1）连接OC、BC，即可得∠ACB=∠BCD=90°，由E是BD中点知CE=BD=BE，即∠ECB=∠EBC，再根据∠OBC=∠OCB，可得∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠PCO=∠ABD=90°，从而得证；

（2）连接MA、MB，可得∠ACM=∠BCM=∠MAN，由∠AMC=∠AMN可判定△AMC∽△NMA，得出=

即AM2=MN?CM，再根据再等腰直角三角形ABM中AB=4可得AM的长，即可得答案．

【解答】解：（1）连接OC、BC，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°， ∴△BCD是直角三角形， ∵E是BD中点， ∴CE=BD=BE， ∴∠ECB=∠EBC， 又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠PCO=∠ABD=90°， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线；

（2）连接MA、MB， ∵点C是弧AB的中点， ∴∠ACM=∠BCM， ∵∠MAN=∠BCM， ∴∠MAN=∠ACM， ∵∠AMC=∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴

=

，即AM2=MN?CM，

∵∠ACM=∠BCM， ∴AM=BM， ∵AB=4， ∴AM=2

，

）=8．

2

∴MN?MC=（2

25．已知关于x的二次函数y=x﹣2mx+m+m的图象与直线y=kx+1．

（1）若k=1，求证：无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．

（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A、B，试证明AB的长为定值，并求出这个定值． （3）当m=0，设两图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），原点为O，无论k为何值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想． 【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）令k=1，联立y=x﹣2mx+m+m和y=x+1可得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，求出方程的根的判别式，进而结论可证明； （2）当k=1，m为任何值时，联立

，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，根

2

2

2

2

22

据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1?x2=m+m﹣1，同（1）的方法，可求出AB=

；

，得A（﹣1，1），

2

（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由B（1，1），显然△AOB为直角三角形； ②当k=1时，联立

，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，

，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出

x1?x2=﹣1，同（1）求出AB=

OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形； ③当k为任意实数时，联立

，得x﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系

2

4

2

2

2

2

得到x1+x2=k，x1?x2=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=k+5k+4，OA+OB═k+5k+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

4

2

【解答】解：（1）∵关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与直线y=kx+1，其中k=1， ∴x﹣2mx+m+m=x+1，即x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0， ∴△=（2m+1）2﹣4（m2+m﹣1），即△=5＞0，

∴方程x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，有两不相等的实数根， ∴无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同的交点； （2）由

，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，

2

2

2

2

2

2

2

2

∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1， ∴AB=

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下： ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1， 由

，得A（﹣1，1），B（1，1）， AC=

|x2﹣x1|=

=

；

显然△AOB为直角三角形；

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

由，得x2﹣x﹣1=0，

∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， ∴AB=

AC=

|x2﹣x1|=

=

；

∴AB2=10，

∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22 =x12+x22+y12+y22

=x1+x2+（x1+1）+（x2+1） =x1+x2+（x1+2x1+1）+（x2+2x2+1） =2（x1+x2）+2（x1+x2）+2 =2（1+2）+2×1+2 =10，

∴AB=OA+OB， ∴△AOB是直角三角形；

③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形． 由

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，

得x﹣kx﹣1=0， ∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1， ∴AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2） =（x1﹣x2）+（kx1﹣kx2） =（1+k2）（x1﹣x2）2

=（1+k）[（x1+x2）﹣4x1?x2] =（1+k）（4+k） =k4+5k2+4，

∵OA+OB=x1+y1+x2+y2 =x12+x22+y12+y22

=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2

=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=（1+k）（x1+x2）+2k（x1+x2）+2 =（1+k2）（k2+2）+2k?k+2 =k4+5k2+4， ∴AB=OA+OB， ∴△AOB为直角三角．

26．如图1，直线y=x﹣b与抛物线y=﹣x2交于A（﹣4，﹣4）和B两点，与y轴交于点C．

（1）求b的值及B点的坐标；

（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；

（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．

2

2

2

222

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先将点A坐标代入直线解析式中，求出b，然后联立直线和抛物线解析式即可求出点B坐标；

（2）由点A，B求得圆的圆心设为点O，由AB的长度求得圆半径而得到圆方程，代入x=m求判别式≥0即可．

（3）由抛物线平移后为：y=﹣（x﹣2）+n，其对称轴是x=2．由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，求得圆的面积和n的值．

【解答】解：（1）将A（﹣4，﹣4）代入y=x﹣b中，得，﹣4=×（﹣4）﹣b，

2

∴b=1，

∴直线AB解析式为：y=x﹣1

∴由题意：，

解得：x+3x﹣4=0， 即x=﹣4或x=1． 代入求得y=﹣4或﹣，

2

或，

即点B（1，﹣），

（2）由（1）知，A（﹣4，﹣4），B（1，﹣）， ∴AB=

=

；

），

A，B中点即圆的圆心点O为（﹣，﹣∴半径=AB=

，

∵以AB为直径的圆与x=m②有公共点， ∴﹣﹣即﹣

（3）设抛物线平移后为：y=﹣（x﹣2）+n． 存在．

理由如下：抛物线平移后为：y=﹣（x﹣2）+n，其对称轴是x=2．

由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小， 即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E， 则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，

22

≤m≤﹣+

；

，

≤m≤

其面积为4π，n的值．

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