第5章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题参考答案(第5章)

一、单项选择题

1、实数空间R( )

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

2、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

4、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

5. 实数集合R的可数补空间是

(1)A1空间(2)T2空间(3)可分空间(4)Lindeloff空间答案：(4)

6、2维欧氏间空间R2（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

7、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 平庸性 ②可分性

③ 离散性 ④ 第一可数性公理

1

答案：②

8. 下列拓扑学的性质中，对开子空间不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公理 ② 第二可数性公理 ③ 可分性 ④ Lindelorff

答案：④ 二、填空题

1、若X1,X2满足第一可数性公理，则积空间X1?X2满足 ; 答案：第一可数性公理

2、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质P,则称性质P 为 ;

答案：可遗传性质

3、设D是拓扑空间X的一个子集，且D?X,则称D是X的一个 ；

答案：稠密子集

4、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个 ； 答案：可分空间

5、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一 个 ；

答案：Lindel?ff空间

6、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质

P为 ; 答案：对于开子空间可遗传性质

7、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质

P为 ; 答案：对于闭子空间可遗传性质

8. Lindelorff空间的每一个 都是Lindelorff；这说明Lindelorff空间具有 . 闭子空间，闭遗传

9. 每一个可分的度量空间都满足 公理；每一个正则且正规的空间一定是 空间.

第二可数；完全正则

2

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）

1、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ） 答案：√

理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，对于每一个x?X,B是它的一个可数基，易知B x?{B?B|x?B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满 足第一可数性公理.

2、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可数性公理( )

答案：√

理由：由于X满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B，因为Y是X的子空间，则B| Y?{B?Y|B?B}是Y的一个可数基，从而X的 子空间Y也满足第二可数性公理.

3、若拓扑空间X满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可数性公理（ ）

答案：√

理由：由于X满足第一可数性公理，所以对?x?Y,X在点x处有一个可数邻域基V x，因为Y是X的子空间，则V |V?Y|V?V x}是Y在点x的一个可数邻x Y?{域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理. 4．度量空间中任一不可数子集，必含有凝聚点。 （ × ）

5．包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。 （√ ） 6．可数补空间必是Lindel?ff空间。 （ √ ）

四．简答题（每题4分）

1、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.

答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间. 2、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.

答案: 设X是一个度量空间, 对?x?X，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基，从而X满足第一可数性公理. 五、证明题（每题8分）

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1、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一

可数性公理.

证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V x , 因为 X是可数补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域， 从而 ? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. 于是{y}?Vy, 由上面的讨论我们知道：

?X?{x}?y?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?y?

因为X?{x}是一个不可数集，而

从而X不满足第一可数性公理.

y?X?{x}? V是一个可数集，矛盾.

2、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理. 证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V x , 因为 X是有限补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x 的一个开邻域， 从而 ? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. 于是 {y}?Vy, 由上面的讨论我们知道：

?X?{x}? 因为X?{x}是一个不可数集，而从而X不满足第一可数性公理.

y?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?

y?X?{x}? V?y是一个可数集，矛盾.

4

3、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公 理，证明：Y也满足第二可数性公理.

证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于f:X?Y是一个开映射，B ?{f(B)|B?BB} }是由Y中开集构成的一个可数族.

下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,使得f?1(U)?BB?B 1B.

f(B),

B?B 1由于f是一个满射，所以有U?f(f?1(U))?从而U是B中某些元素的并，故B是Y的一个基. 这说明Y也满足第二可数性公理.

4、（201页）设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果X是一个Lindel?ff空间，证明f(X)也是一个Lindel?ff空间.

证明 设B是f(X)的一个开覆盖。对于每一个C∈B，由于f:X?Y是一个连续映射，故 f:X?f(X)也是一个连续映射，从而f －1（C）是X中的一个开集，

??C?C?f(X)??C?fB?1(C)?f?1(?C?C)?fB?1(f(X))?X

所以 A＝{ f－1 (C) | C∈B }是 X的一个开覆盖．

由于X是Lindel?ff空间，所以A有一个可数子覆盖，设为 A 1＝{f?1(C1),f?1(C2),...,f?1(Cn),?} ,令B1＝{C1,C2,...,Cn,?}. ??Ci??f(fCi?B1Ci?B1?1(Ci))?f(?fCi?B1?1(Ci))?f(X)

即

B1＝{C,C,...,C,?}是B 的关于

12nf(X)的一个可数子覆盖．这证明f(X)是

Lindel?ff空间．

4.证明：设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y是连续的满映射。证明：如果X是一个

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Lindel?ff空间，则Y也是一个Lindel?ff空间。(10分)

证明 设B是Y的一个开覆盖。对于每一个C∈B，由于f是一个连续映射，f－1（C）是X中的一个开集，

??C?C?Y?f(X)Bf(C)?f(?C?C)?f(f(X))?XB?1?1?1??C?

所以 A＝{ f－1 (C) | C∈B }是 X的一个开覆盖． ----------( 5分) 由于X是Lindel?ff空间，所以A有一个可数子覆盖，设为 A 1＝{f?1(C1),f?1(C2),...,f?1(Cn),?} ,令B1＝{C1,C2,...,Cn,?}. 由于f是满射，

?1?1?C?C??f(f(C))?f(?f(Ci))?f(X)?Y ii?BC?BC?Bi1i1i1即B1＝{C1,C2,...,Cn,?}是B 的关于Y的一个可数子覆盖．这证明Y是Lindel?ff空间．

―――――――（5

分）

5、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点. 证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux， 使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基， 故一定存在一个Bx?BB,使得：x?Bx?Ux, 更有Bx?A={x},

若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数. 于是 A =?{x}=

x?A(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，

Bx?C故A至少有一个凝聚点.

6. 证明：Lindel?ff空间的每一个闭子空间都是Lindel?ff空间。 证明：设Y是Lindel?ff空间X的一个闭子空间 如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，

6

则BB=A=A?{Y?}是X的一个开覆盖. 设B 1是B的一个可数子族并且覆盖X.

则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y，从而Lindel?ff空间.

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