2015西城高三一模数学(理科)

2015北京西城高三一模数学理科

北京市西城区2015年高三一模试卷

数 学（理科） 2015.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合A {0,1}，集合B {x|x a}，若A

B ，则实数a的取值范围是（ ）

（A）a≤1 （B）a≥1 （C）a≥0 （D）a≤0

2．复数z满足z i 3 i，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3. 在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ是（ ）

（A）过极点的直线 （B）半径为2的圆 （C）关于极点对称的图形 （D）关于极轴对称的图形 4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3， 则输出的n的值为（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

5．若函数f(x)的定义域为R，则“ x R，f(x 1) f(x)”是“函数f(x)为增函数”的

（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分

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也不必要条件

6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）

正(主)视图

俯视图

侧(左)视图

（A）47（B）23（C）15（D）7

6 2 3

7. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）

（A）2枝玫瑰的价格高 （B）3枝康乃馨的价格高 （C）价格相同 （D）不确定 8. 已知抛物线y=

1212

x和y=-x+5所围成的封闭

416

曲线如图所示，给定点A(0,a)三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a 的取值范围是（ ）

（A）(1,3) （B）(2,4) （C）(,3)

3

2

（D）(,4)

2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知平面向量a,b满足a (1, 1)，(a b) (a b)，那么|b|= ____.

x2y22

10．已知双曲线C：2 2 1(a 0,b 0)的一个焦点是抛物线y 8x的焦点，且双曲线

ab

C的离心率为2，那么双曲线C的方程为____.

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11．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若A

则a ____.

π，cosB ，b 2，312．若数列{an}满足a1 2，且对于任意的m,n N*，都有am n am an，则a3 ___；数列

{an}前10项的和S10 ____．

13. 某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定

相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答） 14. 如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1， 记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单 调增区间是____；最大值为____.

A

B

C

D

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

设函数f(x) 4cosxsin(x ) x R. （Ⅰ）当x [0,]时，求函数f(x)的值域；

（Ⅱ）已知函数y f(x)的图象与直线y 1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

16．（本小题满分13分）

2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）

π

3

π2

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已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．

（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在

陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；

（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)

17．（本小题满分14分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF//AD， 平面ADEF 平面ABCD，且BC 2EF, AE AF，点G是EF的中点.

（Ⅰ）证明：AG 平面ABCD；

（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为

9

AG的长；

（Ⅲ）判断线段AC上是否存在一点M，使MG//平面ABF？若存在，求出若不存在，说明理由．

AMMC

的值；

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D

C

18．（本小题满分13分）

lnxex

设n N，函数f(x) n，函数g(x) n，x (0, ).

xx

*

（Ⅰ）当n 1时，写出函数y f(x) 1零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）若曲线y f(x)与曲线y g(x)分别位于直线l：y 1的两侧，求n的所有可能取值. 19．（本小题满分14分）

3x2y2

设F1，F2分别为椭圆E:2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点P(1,)在椭圆E上，

2ab

3

且点P和F1关于点C(0,)对称.

4

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分13分）

已知点列T:P1(x1,y1),P2(x2,y2)k, xi xi 1 1, xi xi 1,

与 (i 2,3,

y yy y 1i 1i 1 i i

k

P,kx((ky, N)*，k≥2)满足P)且1(1,1，

,k) 中有且仅有一个成立．

（Ⅰ）写出满足k 4且P4(3,2)的所有点列；

k

（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k（k N，k≥2），不存在点列T，使得 xi yi 2；

*

kk

i 1i 1

（Ⅲ）当k 2n 1且P2n 1(n,n)（n N,n≥2）时，求 xi yi的最大值．

*

kk

i 1i 1

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北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

y2

9．

10． x 1 ； 11．

31(

或写成) ，；

82

； 12． 8 ，682 ；13． 24 ； 14．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为f(x) 4cosx(sinx

1

23

cosx) 1分 2

2sinxcosx 2cos2x

sin2x 3cos2x 3分

=2sin(2x )， 5分

π3

π， 2ππ2π所以 ≤2x ≤， 6分

333

因为 0≤x≤所以

π

sin(2x )≤1，

3

即f(x)≤2， 其中当x

5π

时，f(x)取到最大值2；当x 0时，f(x)取到最小值 3， 12

所以函数f(x)的值域为[ 3,2]. 9分

ππ1

) 1，sin(2x ) ， 10分 332

πππ5π

2kπ， 12分 所以2x 2kπ或 2x

3636 π7π

kπ(k Z)， 所以x kπ或 x

412

（Ⅱ）依题意，得2sin(2x

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所以函数y f(x)的图象与直线y 1的两个相邻交点间的最短距离为

16．（本小题满分13分）

π

. 13分 3

（Ⅰ）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， 1分

由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.

所以票价小于5元的有60 40 100（人）． 2分 故120人中票价小于5元的频率是

1005

． 1206

所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率P(A)=

5

． 4分 6

（Ⅱ）解：X的所有可能取值为6，7，8，9，10. 5分

根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为

6040，， 120120

20111

，即，，， 120236

6分

以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为

111

，，． 236

111

所以 P(X 6) ，

224

11111

P(X 7) ，

233231111115

P(X 8) ，

2662331811111

P(X 9) ，

36639111

P(X 10) ，

6636所以随机变量X的分布列为：

8分

9分

1151122

所以E(X) 6 7 8 9 10 . 10分

43189363（Ⅲ）解：s (20,22]． 13分

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17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为AE AF，点G是EF的中点，

所以 AG EF. 1分 又因为 EF//AD，

所以 AG AD. 因为平面ADEF 平面ABCD，平面ADEF AG 平面ADEF，

所以 AG 平面ABCD. 4分 （Ⅱ）解：因为AG 平面ABCD，AB AD，所以AG,AD,AB两两垂直. 以A为原 点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， 5分

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)， 设AG t(t 0)，则E(0,1,t)，F(0, 1,t)，

所以BF ( 4, 1,t)，AC (4,4,0)，AE (0,1,t). 设平面ACE的法向量为n (x,y,z)， 由 AC n 0，AE n 0，得

2分

平面ABCD AD，

4x 4y 0, y tz 0,

令 z 1, 得n (t, t,1).

7分

因为BF与平面ACE所成角的正弦值为

9

，

所以 cos BF,n

BF n|BF| |n|

9

，

8分

即

2

1722

解得t 1或t .

2 所以AG 1或

. 9分

（Ⅲ）解：假设线段AC上存在一点M，使得MG//平面ABF，

设

AMAC

= ，则 AM AC，

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由 AC (4,4,0)，得AM (4 ,4 ,0)， 10分 设 AG t(t 0)，则AG (0,0,t)，

所以 MG AG AM ( 4 , 4 ,t). 11分 设平面ABF的法向量为m (x1,y1,z1)， 因为 AF (0, 1,t)，AB (4,0,0)，

y1 tz1 0,

由 AF m 0，AB m 0，得

4x 0, 1

令 z1 1, 得m (0,t,1)， 12分 因为 MG//平面ABF，

所以 MG m 0，即 4 t t 0，

1

. 4AM1AM1

=，此时=， 所以

AC4MC3AM1

=时， MG//平面ABF. 14分 所以当

MC3

解得

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：结论：函数y f(x) 1不存在零点. 1分 当n 1时，f(x)

lnx1 lnx

，求导得f (x) ， 2分 2xx

令f (x) 0，解得x e. 3分 当x变化时，f (x)与f(x)的变化如下表所示：

所以函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e, )上单调递减，

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1

. 4分 e1

所以函数y f(x) 1的最大值为f(e) 1 1 0，

e

则当x e时，函数f(x)有最大值f(e)

所以函数y f(x) 1不存在零点. 5分 （Ⅱ）解：由函数f(x)

lnx1 nlnx

f(x) 求导，得，

xnxn 1

1

n

令f (x) 0，解得x e. 当x变化时，f (x)与f(x)的变化如下表所示：

7分 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e, )上单调递减， 则当x e时，函数f(x)有最大值f(e)

1n

1n1n

1n

1

； 8分 ne

exex(x n)

由函数g(x) n，x (0, )求导，得 g (x) ， 9分 n 1

xx

令 g (x) 0，解得x n. 当x变化时，g

(x)与g(x)的变化如下表所示：

所以函数g(x)在(0,n)上单调递减，在(n, )上单调递增，

n

则当x n时，函数g(x)有最小值g(n) (). 11分

en

因为 n N，函数f(x)有最大值f(e)

*

1n

1

1， ne

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exlnx

所以曲线y n在直线l：y 1的下方，而曲线y n在直线l：y 1的上方，

xx

所以() 1， 12分 解得n e.

所以n的取值集合为{1,2}. 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由点P(1,)和F1关于点C(0,)对称，得F1( 1,0)， 1分

所以椭圆E的焦点为F1( 1,0)，F2(1,0)， 2分 由椭圆定义，得 2a |PF1| |PF2| 4.

所以 a

2，b 4分

e

n

n

3234

x2y2

1. 5分 故椭圆E的方程为43

（II）解：结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分. 6分 理由如下：

由题可知直线l，直线PQ的斜率存在，

设直线l的方程为y k(x 1)，直线PQ的方程为y

3

k(x 1). 7分 2

x2y2

1,

由 4 消去y， 3

y k(x 1),

得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0， 8分 由题意，可知 0 ，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

8k24k2 12

则x1 x2 ，x1x2 ， 9分 22

3 4k3 4k

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x2y2

1, 43 由 消去y, y 3 k(x 1), 2

得(3 4k2)x2 (8k2 12k)x 4k2 12k 3 0， 由 0，可知k

13

，设Q(x3,y3)，又P(1,)，

22

8k2 12k4k2 12k 3

则x3 1 ，x3 1 . 10分 22

3 4k3 4k

若四边形PABQ的对角线互相平分，则PB与AQ的中点重合， 所以

x1 x3x2 1 ，即x1 x2 1 x3， 11分 22

故(x1 x2)2 4x1x2 (1 x3)2. 12分

8k224k2 124k2 12k 32

) 4 (1 ). 所以 (222

3 4k3 4k3 4k

解得 k

3

. 4

所以直线l为3x 4y 3 0时， 四边形PABQ的对角线互相平分. 14分 （注：利用四边形PABQ为平行四边形，则有|PQ| |AB|，也可解决问题）

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：符合条件的点列为T：P1(1,1),P2(1,2),P3(2,2),P4(3,2)；

或T：P1(1,1),P2(2,1),P3(2,2),P4(3,2)；或T：P1(1,1),P2(2,1),P3(3,1),P4(3,2)． 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得xi yi xi 1 yi 1 1，

所以数列{xi yi}是公差为1的等差数列． 由x1 y1 2，得xi yi i 1（i 1,2, 故 xi yi (xi yi) 2 3

i 1

i 1

i 1

k

k

k

,k）． 3分

(k 1)

1

k(k 3)． 5分 2

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k

若存在点列T，使得 xi yi 2，

i 1

i 1

kk

则

1

k(k 3) 2k，即k(k 3) 2k 1． 2

因为整数k和k 3总是一个为奇数，一个为偶数，且k≥2， 而整数2k 1中不含有大于1的奇因子，

所以对于任意正整数k(k≥2)，任意点列均不能满足 xi yi 2k． 8分

i 1

i 1

k

k

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，yi i 1 xi(i 1,2,

所以 xi yi (x1 x2

i 1

i 1

k

k

,2n 1)，

2n x2n 1)

x2n 1)(2 x1 3 x2

(x1 x2 令t x1 x2

k

k

x2n 1)[(2 3 2n) (x1 x2 x2n 1)]，

x2n 1，

则 xi yi t[(n 1)(2n 1) t]. 10分

i 1

i 1

考察关于t的二次函数f(t) t[(n 1)(2n 1) t]． 1

（1）当n为奇数时，可得(n 1)(2n 1)是正整数，

2

可构造数列{xi}：1,2, 对应数列{yi}：1,1, 而且此时，x1 x2

1

,(n 1),2

n项

11

,(n 1),(n 1) 1,22

,n，

,1,2,

n项

,n,（由此构造的点列符合已知条件） ,n．

11

n (n 1) (n 1)

22

(n 1)个

x2n 1 1 2

1

(n 1) 2

1 2

1

n (n 1)(n 1)

2

1

(n 1)(2n 1)，

2

kk

11

所以当t (n 1)(2n 1)时， xi yi有最大值(n 1)2(2n 1)2． 12分

24i 1

i 1

111

（2）当n(n 1)(2n 1)不是正整数，而(n 1)(2n 1) 是离其最近的正整数，

222

可构造数列{xi}：1,2,

n

,,2nn,,( 1),22nn,( 1), 2,22

n项2

,n，

n

(+1)项2

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nnnnn

对应数列{yi}：1,1,,1,2,, 1, 1, 2,, ,,n，（由此构造的点列符合已知条件）

22222

n

（+1)项2

n项2

而且此时，x1 x2 x2n 1 1 2

n

n 2

n个2

nn

( 1) 22

n ( 1)2

n

( 1)个2

1 2

nnnn n ( 1) ( 1)

2222

11

(n 1)(2n 1) ，

2 2

kk

1111

所以当t (n 1)(2n 1) 时， xi yi有最大值(n 1)2(2n 1)2 ．

2244i 1

i 1

13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dnn1.html