立体几何中的动态问题研究

1 立体几何中的动态问题研究

题型1 在运动变化过程中利用方程探求动点的位置

例 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AF=1． 试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°，并加以证明．

例 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，ABC=90°，AB=BC=a ，AA1 =2AB ，M 为CC 1 上的点．试问当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°

题型2 在运动变化过程中建立函数关系，寻求相关角的变化范围．

例 如图，在三棱锥V-ABC 中，VC 底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC=BC=a ，∠VDC=θ (0＜θ＜2π

)

( 1) 求证: 平面VAB ⊥VCD;

( 2) 当角 变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．

2 题型3在运动变化过程中建立方程关系探究二面角的大小．

例 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1 =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，当AE 等于何值时，二面角D1-EC-D 的大小为

4π．

题型4 在运动变化过程中，利用曲线定义探究动点轨迹．

例 如图，P 为四棱锥S-ABCD 的面SBC 内一点，若动点P 到平面ABCD 的距离与到点S 的

距离相等，则动点P 的轨迹是面SBC 内的 ( )

A ． 线段或圆的一部分

B ． 双曲线或椭圆的一部分

C ． 双曲线或抛物线的一部分

D ． 抛物线或椭圆的一部分

1． 如图，三棱锥P-ABC 的高PO=8，AC=BC=3，ACB=30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2x( x ∈( 0，3］) ，下列4个图像大致描绘了三棱锥N-AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是

2． 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面ABB 1A 1 内有一动点P 到直线AA 1 和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( )

A ． 线段

B ． 椭圆的一部分

C ． 双曲线的一部分

D ． 抛物线的一部分

3

3． 如图，在正四面体A-BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，使得

AE CF EB FD λ== (λ＞0) ，设f(λ) =λλαβ+ , λα与λβ分别表示EF 与AC ，BD 所成的角，则 ( )

A ．f(λ)是( 0，+∞) 上的增函数

B ．f(λ)是( 0，+∞) 上的减函数

C ．f(λ)是(0，1) 上的递增函数，(1，+∞) 上的递减函数

D ．f(λ)是( 0，+∞) 上的常数函数

4． 已知P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 表面上的动点，且

则动点P 的轨迹的长度是____．

5． 如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．（变：E.F 分别为AD 和BC 的中点，则AB 与EF 的投影所成角的余弦值取值范围是_______

6． 下列4个命题:○

1在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等;○2在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等;○3在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点;○

4在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点，其中真命题的序号是________ ( 写出所有真命题的序号) ．

4

例 设正方体1A C -的棱长为1，P 为面对角线AB1上的动点，Q 为棱AB 上的动点，求1C P PQ +的最小值.

例 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1

中，11AB BC AA === ，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面 ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则B 1P+PQ 的最小值为（ ）

变式 在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）

变式在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BC1B1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）

5

6

例

如图，已知在四面体ＡＢＣＤ中ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ＝且ＤＡ,ＤＢ.ＤＣ两两互相垂直,点Ｏ是 ＡＢＣ的中心,将 ＤＡＯ绕直线ＤＯ旋转一周, 则在旋转过程中直线ＤＡ与直线ＢＣ所成角的余弦的最大值是________

例 如图，直线ｌ⊥平面 垂足为Ｏ在 ＡＢＣ中,∠ＡＢＣ＝2π

,ＡＢ＝２,ＢＣ＝１.该直角三角形作符

合下列条件的自由运动 Ａ∈ｌ,Ｂ∈α, 则Ｃ、Ｏ两点间的最大距离为________ ．

例 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为２,ＭＮ是它的内切球的一条弦,把球面上任意两点之间的线段称为球

的弦, Ｐ为正方体表面上的动点, 当弦ＭＮ最长时, PM PN ? 的最大值为________ ．

7

例 如图，已知正四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ绕着ＡＢ任意旋转, ＡＢ?平面α．若ＡＢ＝２,

,点Ｖ在平面 上的射影为Ｏ, 则｜ＣＯ｜的最大值为________ ．

例 已知点ＥＦ分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱ＡＢＡＡ１的中点点ＭＮ分别是线段Ｄ１Ｅ与Ｃ１Ｆ上的点则与平面ＡＢＣＤ平行的直线ＭＮ有（ ）

Ａ０条 Ｂ１条 Ｃ２条 Ｄ无数条

例 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与直线ＡＡ１、ＢＤ、Ｃ１Ｄ１同时相交的直线有（ ）

Ａ１条 Ｂ２条 Ｃ３条 Ｄ无数条

变式 已知正方形ＡＢＣＤＥ是边ＡＢ的中点将△ＢＣＥ沿ＣＥ折起至△Ｂ′ＣＥ 如图，若△Ｂ′ＣＤ为正三角形则ＥＣ与平面△Ｂ′ＣＤ所成角的余弦值是 ．

变式如图，在长方形中ＡＢ＝１，ＢＣ

△ＡＢＦ沿ＢＦ折起使平面ＡＢＣ⊥平面ＢＣＤ．在平面ＡＢＣ内过点Ａ作ＡＫ⊥ＢＣ，Ｋ为垂足．设ＢＫ＝ｔ则ｔ的取值范围是________．

变式已知矩形ＡＢＣＤＡＢ＝１ＢＣ

将△ＡＢＤ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折在翻

折过程中（）

Ａ．存在某个位置使得直线ＡＣ与直线ＢＤ垂直

Ｂ．存在某个位置使得直线ＡＢ与直线ＣＤ垂直

Ｃ．存在某个位置使得直线ＡＤ与直线ＢＣ垂直

Ｄ．对任意位置三条直线ＡＣ与ＢＤＡＢ与ＣＤＡＤ与ＢＣ均不垂直

变式如图，已知矩形ＡＢＣＤＡＢ＝ｘＢＣ＝２．将△ＡＢＤ沿矩形的对角线ＢＤ所在的直线进行翻折若在翻折过程中存在某个位置使得ＡＢ⊥ＣＤ，则ｘ的取值范围是

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dnmq.html