2011年4月全国高等教育自学考试复变函数与积分变换真题与答案WORD打印版

全国2011年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设复数z 1 cos

A.-

C. 3 3 isin 3，则arg z=（ ） B.D. 6

3 22 32.w=z将Z平面上的实轴映射为W平面的（ ）

A.非负实轴 B.实轴

C.上半虚轴

3.下列说法正确的是（ ）

A.ln z 的定义域为 z>0

C.ez≠0

4.设C为正向圆周|z|=1，

CD.虚轴 B.|sin z|≤1 D.z-3的定义域为全平面 sinzzndz=2 i，则整数n为（ ）

B.0

D.2 A.-1 C.1

5.设C为正向圆周|z|=2，则

Czz2dz=（ ）

A.-2 i

C.2 i

sin B.0 D.4 i 66.设C为正向圆周| |=2，f(z)= ( z)2d ，则f′(1)=（ ） C

A.-

C.- 336i

n

nB. 336i

6 6 7.设 anz

n 0 bn 0zn和 (an bn)zn的收敛半径分别为R1，R2和R，则（ ） n 0

A.R=R1

C.R=R2

B.R=min{R1,R2} D.R≥min{R1,R2} 1

zn 8.罗朗级数

n 0 n 0z2nn 1的收敛域为（ ）

B.|z|<2

D.|z|>2 A.|z|<1 C.1<|z|<2

9.已知sinz=

n 0( 1)zn2n 1(2n 1)!，则Res sinz z4 ,0

（ ）

A.1 C.1

3!B.- D.13!15!

10.整数k≠0，则Res[cot kz, ]=（ ） A.-

C.1k B.0 D.k 1

k

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.方程Re(z-2)=-1表示的曲线的直角坐标方程为___________.

12.函数f(z)=zRez的可导点为___________.

13.设C为正向圆周|z-1|=1，则 e

Czdz=___________.

14.设L为复平面上由点A=0到点B=1+i的直线段，则 Rezdz=___________.

L

15.设C为正向圆周，z

2=1，则

Ccosz z 2 5dz=___________.

z

16.F(z)= e d 在z=0处的泰勒展开式为___________.

02

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17.（本题6分）求复数

的三角表示式.

18.（本题6分）已知z2+z+1=0，求z11+z7+z3的值.

19.（本题6分）求f(z)=1

z2在z=2处的泰勒展开式，并指出其收敛域.

120.（本题6分）设f(z)=(z 1)(z i). 问：f(z)在哪几个以i为中心的圆环域（包括圆域）内可展为罗朗级数？写出

这几个圆环域（不要求写出展开式）.

21.（本题7分）解方程 sinz=2

22.（本题7分）若f(z)及f(z)都是复平面上的解析函数，且f(0)=5，求f(z)

23.（本题7分）设C为正向圆周|z|=2，求

Cdzz(z 1)

dz

sinz22 24.（本题7分）设C为正向圆周|z|=4，求

C

2 四、综合题（下列3个小题中，第35题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）

25．（1）求f(z)=z z 1

z(2z 5z 2)2在圆域|z|<1内的所有奇点；

（2）求f(z)在上述奇点处的留数；

2

（3）利用留数定理计算实积分I=

01 2cosx5 4cosxdx

426.设D为Z平面上由相交于z= i的两圆弧围成的月牙形区域，两圆弧在z=i处的夹角为

（1）w1 iz iz i（如图）： 将D映射为W1平面上的区域D1，

问D1是什么区域？

（2）w=w14将D1映射为W平面上什么区域？

z i （3）w= 将D映射为W平面上什么区域？ z i 4

27.利用拉氏变换求解初值问题 y y sin2t

y(0) 0,y (0) 1

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