清华大学结构力学第7章力法104

第七章 力§7-2 力法基本原理

法

§7-1 超静定结构的组成和超静定次数§7-3 力法举例 §7-4 力法简化计算 §7-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核

§7-1 超静定结构的组成 和超静定次数一、超静定结构的组成超静定结构有如下特征： 1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是 有多余约束的几何不变体系。 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力 和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。

若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。2

如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。

qA EI , l B 3 ql 8

二、超静定次数超静定次数 n = 结构多余约束数目。为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除 多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆 除的多余约束数。 规则：

1)去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2)去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；4

3)去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；

4)在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个 约束。例： a)X1原结构

X2

n=2 n=2X1

X25

b)

X2

原结构

n=2X1

X2X1

X2

n=2X1

n=2

c)

X3

X1

X2原结构

n=3

d)

X2X1

X1X2

n=2原结构7

e)

原结构

X1

X2

n=1 f)原结构

不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把超 静定结构的多余约束全部 拆除。

n=3X1

X3

X28

§7-2 力法基本原理解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必 须满足位移协调条件。

一、一次超静定结构的力法计算1. 力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相 应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法 FP 基本结构。 EI A B l/2 l/2

A

EI l/2

FP B l/2 A A

FP B 基本体系

X1B

原结构(ΔBV=0) Δ11B

基本结构

A

+

A

FP

B

X1δ11) 1 〃X

Δ1P

(

AB

X1 110

2. 力法方程

力法方程为

11 1P BV 0

BV ——原结构B截面竖向位移基本体系的位移=原结构的位移 因为 方程可写为

11 11 X 1

11 X1 1P 0

讨论：

1)力法方程是位移方程；2)方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移； 3)系数的物理意义：

11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移； 1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。12

3. 力法计算 1) 求系数及自由项FPl 2

FP

AB l

l/2

B

AMP图

M图

X1 1

1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI 1

1 FP l l 2 1 l 1 p ( l ) EI 2 2 2 3 3 2 5 FP l 3 1 FP l 2 5 l EI 8 6 48 EI

2) 求未知力X15 FP l 3 3EI X 1 1P / 11 3 48 EI l 5 FP ( ) 16

3) 作内力图3 FPl 16

M MX 1 M P

A11 FP 16

B5 FPl 325 FP 16

M图

FQ图14

二、多次超静定结构的力法计算下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。

qC FP A D C

qD

ΔBH=0ΔBV=0 θB=0 原结构 B

FPA 基本体系X3

BX2

X1

qC FP A Δ3P B Δ2P Δ1P D

C

D

A

δ31 δ21

BX1=1

δ11C D

C

Dδ32

AX2=1

B δ12

δ22

A

δ33 δ23

X3=1

B δ1316

力法方程为

11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P BV 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P B 0根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。 主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。 副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零。

i

表示位移的方位；j

表示产生位移的原因。17

由位移互等定理：δij= δji,即δ12= δ21, δ23= δ32,δ31= δ13。作 M 图及MP图，求出力法方程的系数和 自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求 内力：

M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M PFQ FQ1 X 1 FQ 2 X 2 FQ 3 X 3 FQP

FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FN 3 X 3 FNP18

三、超静定结构支座移动时的力法计算超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解 力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超 静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形， 而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动 时力法的解题思路。 A A θ EI l 基本体系I θ BX1

EI l θ AX1

B

原结构 EI l B

基本体系II

(受X1及支座转角θ共同 作用)

(只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响) 19

解：1)选两种基本体系如下图示 A θ EI l 基本体系I(受X1及支座转角θ共 同作用)

BX1

θ

AX1

EI l 基本体系II

B

(只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响)

2)力法基本方程 位移条件 BV 0 力法方程 11 X 1 1C 0

A

11 X 1 20

3)求系数和自由项 A lFR1 l

BX1=1

A 1

X1=1

B

M图

M图

1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI

1 1 2 l 11 l 1 EI 2 3 3EI

1C FRK CK l

4)求未知力X13EI X 1 1C / 11 l 3 l 3EI 2 ( ) l

3EI X 1 / 11 l 3EI ( ) l

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