专题三：高考数列综合与立体几何客观题举例（完整版）

高考数列综合与立体几何（客观）题举例

北京市十一学校 崔君强

数列：

近三年北京高考数列试题分析举例： 1、北京卷： 2008年 题号及题型 理：6（选）14（填）20（解答） 文：7（选）20（解答） 理：14（填）20（解答）； 文：10（填）20（解答） 理：2（选） 文：16（解答） 知识点 分值 数列通项，递推数理23分 列，数列求和 文18分 递推数列，等比数列 文理各18分 等比数列，等比数列 理5分， 文18分 2009年 2010年 08届：

理科：（6题）（5分）已知数列?an?对任意的p，q?N*满足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（ ）

A．?165 B．?33 C．?30 D．?21 【答案】: C （14题）．（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x1?1，y1?1，当k≥2时，

???k?1??x?x?1?5T?T?kk?1????????5???k?1??k?2?yk?yk?1?T??T????5??5?k?2????，5????．?

T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)?2，T(0.2)?0．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【答案】: （1,2） （3, 402） ?，an，定义变换T1，T1将数列A变（20题）．（3分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，换成数列

n，a1?1，a2?1，?，an?1． T1(A)：?，bm，对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小

排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)；又定义

S(B)?2(b1?2b2???mbm)?b1?b2???bm．

222设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak?1?T2(T1(Ak))(k?0，1，2，?)． （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T1(A))?S(A)；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，

S(Ak?1)?S(Ak)．

【答案】: （Ⅰ）解：A0：????5，??3，??2，

T1(A0)：???3，??4，??2，??1， A1?T2(T1(A0))：??4，??3，??2，??1； T1(A1)：??4，??3，??2，??1，??0， A2?T2(T1(A1))：??4，??3，??2，??1．

?，an， （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，则T1(A)为n，a1?1，a2?1，?，an?1，

从而S(T1(A))?2[n?2(a1?1)?3(a2?1)???(n?1)(an?1)]

?n?(a1?1)?(a2?1)???(an?1)2222．

又S(A)?2(a1?2a2???nan)?a12?a22???an2， 所以S(T1(A))?S(A)

?2[n?2?3???(n?1)]?2(a1?a2???an)?n?2(a1?a2???an)?n??n(n?1)?n?n?0，

22

故S(T1(A))?S(A)．

?，an． （Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，当存在1≤i?j≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则

S(B)?S(A)?2(iaj?jai?iai?jaj)?2(i?j)(aj?ai)≤0．

?，am为C， 当存在1≤m?n，使得am?1?am?2???an?0时，若记数列a1，a2，则S(C)?S(A)． 所以S(T2(A))≤S(A)．

从而对于任意给定的数列A0，由Ak?1?T2(T1(Ak))(k?0，1，2，?)可知

S(Ak?1)≤S(T1(Ak))．

又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))?S(Ak)，所以S(Ak?1)≤S(Ak)． 即对于k?N，要么有S(Ak?1)?S(Ak)，要么有S(Ak?1)≤S(Ak)?1．

因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)?S(Ak?1)?S(Ak?2)??． 即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak?1)?S(Ak)。

文科：（7题）．（5分）已知等差数列?an?中，a2?6，a5?15，若bn?a2n，则数列?bn?的前5项和等于（ ） A．30 B．45 【答案】 C

C．90

D．186

2?）（20题）．（13分）数列?an?满足a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1，，，?是常数．

（Ⅰ）当a2??1时，求?及a3的值；

（Ⅱ）数列?an?是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求?的取值范围，使得存在正整数m，当n?m时总有an?0．

2?)，且a1?1． 解：（Ⅰ）由于an?1?(n2?n??)an(n?1，，所以当a2??1时，得?1?2??，故??3． 从而a3?(22?2?3)?(?1)??3．

（Ⅱ）数列?an?不可能为等差数列，证明如下：

由a1?1，an?1?(n2?n??)an

得a2?2??，a3?(6??)(2??)，a4?(12??)(6??)(2??)．

若存在?，使?an?为等差数列，则a3?a2?a2?a1，即(5??)(2??)?1??， 解得??3．于是a2?a1?1????2，a4?a3?(11??)(6??)(2??)??24． 这与?an?为等差数列矛盾．所以，对任意?，?an?都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记bn?n2?n??(n?1，，2?)，根据题意可知，b1?0且bn?0，即??2

且??n2?n(n?N*)，这时总存在n0?N*，满足：当n≥n0时，bn?0； 当n≤n0?1时，bn?0．

所以由an?1?bnan及a1?1?0可知，若n0为偶数，则an?0，从而当n?n0时，an?0；

0若n0为奇数，则an?0，从而当n?n0时an?0．

0因此“存在m?N*，当n?m时总有an?0”的充分必要条件是：n0为偶数，

2??b2k?(2k)?2k???0记n0?2k(k?1，2，?)，则?满足?2??b2k?1?(2k?1)?2k?1???0．

故?的取值范围是4k2?2k???4k2?2k(k?N*)．

09届：

理科（14题）（5分）已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N?,则a2009?________；

a2014=_________.

【答案】1，0

（20题）．（13分）已知数集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的

i,j?1?i?j?n?，aiaj与

ajai两数中至少有一个属于A.

（Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?1，且

a1?a2???ana1?a2???an?1?1?1?an；

（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于3?4与

43均不属于数集?1,3,4?，∴该数集不具有性质P.

661236231236 由于1?2,1?3,1?6,2?3,,,,,,都属于数集?1,2,3,6?， ∴该数集具有性质P.

（Ⅱ）∵A??a1,a2,?an?具有性质P，∴anan与

anan中至少有一个属于A，

由于1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A. 从而1?anan?A，∴a1?1.

∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?.

由A具有性质P可知

anananan?1anan?1anan?1ana2ana2ana2anak?A?k?1,2,3,?,n?.

又∵

anan?????ana1，

ana1∴

?1,?a2,??an?1,?an，

从而

anan?????ana1?a1?a2???an?1?an，

∴

a1?a2???ana1?a2???an?1?1?1?an.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有

a5a4?a2,a5a3?a3，即a5?a2a4?a32，

∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，

由A具有性质P可知

a3a2a4a3a4a3?A.

由a2a4?a32，得

a5a4a4a3a3a2a2a1??A，且1?a3a2?a2，∴

a4a3?a3a2?a2，

∴

????a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列.

文科：（10题）（5分）若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5? ；前8

项的和S8? .（用数字作答）

（20题）（13分）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若p?12,q??13，求b3；

（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得a111n?2n?13，解2n?3?3，得n?203.

∴1n12?3?3成立的所有

n中的最小整数为7，即b3?7.

（Ⅱ）由题意，得an?2n?1，

对于正整数，由am?1n?m，得n?2.

根据bm的定义可知

当m?2k?1时，b*m?k?k?N?；当m?2k时，bm?k?1?k?N*?. ∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?

??1?2?3???m????2?3?4????m?1??m?m?1?m?m?3???2?2?m2?2m.

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?qp.

∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3m?1?m?qp?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立.

当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m??p?qq3p?1（或m??2p?3p?1），

这与上述结论矛盾！ 当3p?1?0，即p?13时，得?23?q?0??13?q，解得?23?q??13.

∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)；

p和q的取值范围分别是p?13，?23?q??13.

10届：

理科（2题）（5分）在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m=（

）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 文科（16题）（13分）已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。

（Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 高考分析预测思考：

1、可以看出，成逐年递减趋势，那么，今年呢？

2、理科压轴题出现较多；填空最后一题出现较多。填空题往往与归纳推理等相结合。注意几小问的联系，往往第一问归纳的规律给第二问做样子。

3、几点思考：理科第二种综合题压轴可能性大些。否则，只可能挤掉三角函数大题或者是用集合、函数、不等式综合压轴。文科应该保持不变。

数列问题概要简述：

一、数列的基础：1、概念定义及归纳思想；2、特殊数列（等差、等比）问题；3、“和式”问题；4、求和问题；5、递推问题；

二、数列的综合：1、自身综合；2、与集合（语言）、函数（本质）、不等式（形式）的综合。 三、推理与证明：1、归纳；2、类比；3、思想方法。 综合题举例：

1、（灵活机变能力）已知数列?an?中，a1?1，a2?a?1(a?0且a?1)，其前n项和为Sn，且当n?2时，

1Sn?1an?1an?1．

（Ⅰ）求证：数列?Sn?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）若a?4，令bn?9an(an?3)(an?1?3)3?5an?1，记数列?bn?的前n项和为Tn．设?是整数，问是否

?78存在正整数n，使等式Tn?请说明理由．

解：（Ⅰ）当n?2时，

1Sn?1an?成立？若存在，求出n和相应的?值；若不存在，

1an?1?1Sn?Sn?1?1Sn+1?Sn，

化简得Sn2?Sn?1Sn?1(n?2)，

又由S1?1?0,S2?a?0，可推知对一切正整数n均有Sn?0， ∴数列?Sn?是等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列?Sn?的首项为1，公比为a， ∴Sn?an?1．

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(a?1)an?2， 又a1?S1?1，

(n?1),?1,∴an?? n?2(a?1)a,(n?2).?（Ⅲ）当a?4,n?2时，an?3?4n?2，此时

bn?9an(an?3)(an?1?3)?9?3?4(3?4n?2n?2n?1?3)(3?4?3)

?3?4(4n?2n?2n?1?1)(4?1)?14?n?2?1?14n?1?1，

又b1?9a1(a1?3)(a2?3)38，

?3,??∴bn??811??,n?2n?1??4?14?1T1?b1?38(n?1)

(n?2)，

当n?2时，

Tn?b1?b2???bn?7814n?138?(142?2?1?142?1?1)???(14n?2?1?14n?1?1)

???1．

3?5an?13?5an?1?7878若n?1，则等式Tn?若n?2，则等式Tn???为?83?5?178，???52不是整数，不符合题意．

?78?为?87?5?4n?14n?1?1，??5?54n?1?1

是整数，∴4n?1?1是5的因数．

54n?1∴当且仅当n?2时，

?1是整数， ∴??4

综上所述，当且仅当??4时，存在正整数n?2，使等式Tn?3?5an?1?78成立．

2、（转化变换能力）已知数列?an?满足a1?1，点?an,an?1?在直线y?2x?1上． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足b1?a1，

bnan?1a1?1a2?????1an?1?n?2,n?N?，

求bn?1an?(bn?1)an?1的值；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列?bn?，求证：(1?b1)(1?b2)???(1?bn)?解：（Ⅰ）∵点(an,an?1)在直线y?2x?1上，∴an?1?2an?1

an?1?1?2?an?1?，?an?1?是以

103b1b2???bn(n?N*)．

2为首项，2为公比的等比数列，

∴an?2n?1（n?N*）． （Ⅱ）∵

bn?1an?1bnan1a1?1a11a2?1a2?...?1an?11an(n?2且n?N*)，

∴

???...?1an?1?，∴

bn?1an?1?bnan?1an

∴bn?1an?(bn?1)an?1?0(n?2且n?N*)； 当n?1时，b2a1?(b1?1)a2??3 (Ⅲ)由（2）知，

1b11b2bn?1bn?1)...(1??anan?1)=

(n?2)，b2?a2

∴(1?1b11b1)?(1?1bnb1?1b2?1bn?1?... b1b2bn=

?b1?1b2?1bn?1?1bn?1?...??bn?1 b2b3bnbn?1b1?1a2a3an?1an??...??bn?1 b2a3a4anan?1=

?=2?bn?1an?1=2（

1a1?1a2?...?1an）

当k?2时，

12?1k?2kk?1?1k?1(2?1)(2?1)?2kk?1k?1(2?1)(21?1)=2（

112?1k?12k?1?1）

12?1n∴

1a1?11a2?...?12n?11an=1?5313?...?2?1n<1?2[(2?12?12?13)?...?(?12n?1?1)]

=1+2(?3?1)<

1bn)<103∴(1?1b1)?(1?1b2)...(1?,

．

∴(1?b1)(1?b2)...(1?bn)?103?b1b2...bn(n?N*)3、（阅读理解能力，海淀一模20题）已知每项均是正整数的数列A：a1,a2,a3,?,an，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)，

设bj?k1?k2???kj (j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?nm (m?1,2,3???). （Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；

（Ⅱ）若数列A满足a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值. 解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.

（2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm?1?n， 故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) ① 另一方面，设整数M?max?a1,a2,?,an?，则当m?M时必有bm?n，

所以g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)?? 所以g(m)的最小值为g(M?1). 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)

?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???an)?bM??(a1?a2?a3???an)?n

∵a1?a2?a3???an?n?100 ， ∴g(M?1)??100, ∴g(m)最小值为?100.

4、有关数列和式不等式问题（放缩方法）：

有三类，（1）求和：可直接求和；可放缩求和；（2）不求和：单调性；（3）数学归纳法。 （1）可直接求和

n112?,x?x?x.a?,例：设x试求整数m.使得m。 ?a?m?1?1n?1nnn20083?1k?1xk2解：?x?x?x?x(1?x)n?1nnnn

化简可得：

n1xn?1?1xn?1xn?1

1n11111?a??(?)???3? ?n?x?1kxxxxk?1?1xkkk?11n?1n?12?,x??,x?()???1由x 2344525818556598864由递推关系可得数列单调递增可得

1x2009?1?2?a?3??3即m得值为2 2008a2009（2）不可直接求和而放缩求和

1）直接用代数式放缩 例1．已知函数f(x)(x?R,x?1a)满足ax?f(x)?2bx?f(x)，a?0，f(1)?1；且使f(x)?2x成立的实数x只有一个。

（Ⅰ）求函数f(x)的表达式；

（Ⅱ）若数列?an?满足a1?23，an?1?f(an，bn?1an?1，n?N*，证明数列?bn? 是等比

数列，并求出?bn?的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a1b1?a2b2???anbn?1，n?N*。 解：（Ⅰ）由ax?f(x)?2bx?f(x)，x?1a，a?0，得f(x)?2bxax?12bxax?1.

由f(1)?1，得a?2b?1.由f(x)?2x只有一解，即

2ax22?2x，也就是

?2(1?b)x?0(a?0)只有一解，∴4(1?b)?4?2a?0?02xx?1∴b??1.∴a??1. 故f(x)?.

23（Ⅱ）∵a1?，an?1?f(an)，

2345∴a2?f(a1)?f()?猜想，an?2nn，a3?f(a2)?f()?5*489，a4?f(a3)?f()?981617，

2?1(n?N).证明略。

1an?1)?1?an?1?12?11（Ⅲ）∵anbn?an(2nn2?112?12?12?1nn，

∴a1b1?a2b2???anbn?1?121????12?1*?122???12n?2(1?1?1212n)?1?12n?1(n?N).

2）利用二项式定理放缩 例2．已知数列{an}满足an?1?an(an?3)3a?12n2.

（1）若方程f(x)?x的解称为函数y?f(x)的不动点，求an?1?f(an)的不动点的值； （2）若a1?2，bn?an?1an?1，求数列{bn}的通项．

241648

（3）当n?3时，求证：b1?b2?b3???bn?解：（1）由方程an?1?f(an)得an?（2）?an?1?1?两式相除得

an(an?3)3an?122an(an?3)3a?132n2，解得an?0,或an??1,或an?1

an(an?3)3an?122?1?3(an?1)3an?13,an?1?1??1?(an?1)33an?1, an?1?1an?1?1?(an?1an?1),即bn?1?bn.由a1?2可以得到bn?0，

13,得lnb1??ln31n?1则lnbn?1?lnbn3?3lnbn.又b1??lnbn?(?ln3)?3n?1，

?ln(13)3n?1，bn?()3（n?N?）

31n?1n?1（3）当n?3时，3n?1?(1?2)n?1?Cn0?1?2Cn???2Cn?1?2n ?113n?112n?bn?()?()(n?3)

33当n?3时，b1?b2?b3???bn?102713?1612n?()???() 32731=

?16()312n?4????1?()?1031241??<= ?12276486481?()33）裂项放缩

例3．设{an}是满足1?a0?a1?a2?… ①的实数序列,而{bn}是由下式定义的实数列

nbn??k?1(1?ak?1ak)1ak,n?1,2,…， ②

证明：对任意n?1,2,3,…，0?bn?2成立. 解：由题设易知0?(1?ak?1akn)1ak1??1，求前n项和，显然bn?0，但无法保证bn?2，因此可

将bn作恒等变形。bn?n?k?1(1akak?11ak)ak?1aknn??k?1ak?1ak1ak(1ak?1?1ak?)(1ak?1)?2?1ak)

??(k?1ak?1ak?ak?1ak)(1ak?1?)?2?(k?11ak?1?)?2(1a01an

4）利用单调性放缩

例4．已知数列{an},{bn}中，a1=t（t>0且t≠1）,a2=t2，且x?f(x)?13(an?1?an)x?(an?an?1)x3t是函数

的一个极值点。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若点Pn的坐标为（1，bn）（(n?N*)，过函数g(x)?ln(1?x2)图像上的点(an,g(an))的切线始终与OPn平行（O为原点），求证：当

1b1?1b2???1bn?2?2n?n212?t?2,且t?1时，不等式

对任意n?N*都成立

an?1?anan?an?1解：（1）由f?(t)?0得(an?1?an)?t(an?an?1)(n?2)??{an?1?an}是首项为t?t2?t

，公比为t的等比数列

当t?1时，an?1?an?tn?1?tn?an?tn(t?1) 所以an?tn(t?1)

（2）由bn?g?(an)得：bn?1bn1212n2an1?ann2?2tn2n1?t12?1bn?12(t?n1tn)

??(2?n)（函数y?t?1tn(） ?t?2,t?1)单调性，

1221b1?1b2??1bn1212?12[(2?2??2)?(2n12???12?n)]

?2?n(1?2?n)?2?n12n2?21?2?n?2?2n

（均值不等式）

n?n2综上所述当

?t?2时，不等式

1b1?1b2??1bn?2?2对任意n?N*都成立.

5）利用均值不等式放缩

例6．如图，把正△ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等。设点A为第1行，…，BC为第n行，记点A上的数为a11,?,第i行中左起第j个数为aij(1?j?i).若

a11?1,a21?12,a22?14.

Aa11第1行 a21 a22第2行 a31 a32 a33第3行 （1）求a31,a32,a33；

（2）试归纳出anm的表达式（用含n，m的式子表示，不必证明）； （3）记Sn?an1?an2???ann，证明

n?1S1?1S2???1Sn?4?13nBan1 an2 annC第n行

. 18142?116解：（1）a11a32?a21a22,a32?，a22a31?a21a32,a31?12,a21a33?a22a32,a33?1n?1.

（2）a11,a21,a31,?,an1是公比为

an1,an2,an3,?,ann是公比为

12的等比数列，an1?12n?1; ?12n?m?2的等比数列，anm?12m?1.

（3）由（2）知Sn1n?11n()[1?()]1n?21n2?2?()[1?()],

1221?2 ()n?1?1,()n?1?()n,?()n?2[1?()n]?()n?2()n?2222111111112n?2

2222111111又()n?2[1?()n]?4()n[1?()n]?[()n?1?()n]2?1.

222222.

?1?1Sn?22n?2,?n?1S1?1S2???1Sn?4?13n.

（3）整体单调性应用

例1、求自然数a的最大值，使不等式成立。（步步高78页训练3）

（解答略）

（4）数学归纳法证明

例． 已知点(an,an+1)在曲线f(x)=

1421n?1?1n?2?1n?3???13n?1?a?7对一切自然数n都

1

x2＋ 上, 且a1=1.求证：

x

2(n?1)?1?31a1?1a2???1an?4(n?1)3?1(n∈N*)

11

解:∵ an＋12=an2＋ , 则an＋12－an2 =

anan于是有:

1a114?1a2???1an1a1= an＋12－a12 = an＋12－1

1a21an22要证明:

(n?1)3?1??????4(n?1)3?1

只需证明:

1211n3?an?2n3 ( *)

11下面使用数学归纳法证明:

12n3?an?2n3(n≥1,n∈N*)

1

①在n=1时, a1=1,

2②假设n=k时,

1ak1211k3?ak?2k3 成立,

221由

a2k?1?a?2k?4k?3112k323?4k3?21

k31322要证明: 4k?321?4(k?1) 只需2k＋1≤2k(k?1)3 只需(2k＋1)≤8k(k＋1)

32

k321只需1?4k?2k，而1?4k?2k在k?1时恒成立，于是a222k?1?4(k?1)3，即ak?1?2(k?1)3；

又a2k?1?a?2k1ak?1412k3?11，要证

142k3?11?142(k?1)3

2k322k3只需证: k?2?k3(k?1)3 , 只需证: 4k2＋11k＋8>0, 而4k2＋11k＋8>0在k≥1时恒成立. 于是: a2k?1?142(k?1). 因此

312112k?1(k?1)?a3?2(k?1)3得证.

综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.

立体几何：

立体几何问题概要简述：

一、选填题：1、空间想象能力（思想方法）；2、看图画图（操作手法）；3、几种特殊的空间关系（静止、运动）的把握；4、空间关系与几何概念命题；5、结合体； 二、解答题：1、证明（几何、向量）；2、计算（空间向量）。 客观题举例：

（一）画图问题（降维思想）

1、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1中点，过E作一直线与直线A1D1和AB相交，则这样的直线（ B ）

（A）不存在 （B）仅有一条 （C）有两条 （D）有三条

DABCEC1B1D1A1

2、两异面直线a、b，过空间任意一点P，是否可以画直线c与a、b都相交？若不能画，说明点P位置，若能画，能画几条？如何画？

（提示：两异面直线必有两平面平行，且分别含两线，此面内不在线上的点不可画出满足条件的线）

3、空间3条两两异面直线a、b、c，能否画直线d与a、b、c都相交？若能画，能画几条？ （提示：分两类，1、三线平移后共面，2、三线平移后不共面。两面平行，含两线，在第三

条线上任取点，则和第一条线构成平面必与第二线相交（否则与异面矛盾），降维到平面内解 4．已知异面直线a和b所成的角为50?，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是

30?的直线条数有且仅有

（ ）答案：B

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

变化所成角度大小1．已知异面直线a和b所成的角为60?，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60?的直线条数有且仅有（ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 变成两个平面1、已知平面?与??所成的二面角为80，P为??、?外一定点，过点P的一条直线与?、?所成的角都是30，则这样的直线有且仅（有 D ） A.1条 B.2条 C.3条 D. 4条 变成两两异面的三条直线1．已知三条两两异面的直线a、b、c，P为空间一定点，则过点P且与a、b、c所成的角都相等的直线条数有且仅有（ D ） A.1条 B.4条 C.3条 D.1或4条

5．已知平面?与?所成的二面角为80?，P为?、?外一定点，过点P的一条直线与?、?所成的角都是30?，则这样的直线有且仅有（ D ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

（提示：角分面）

6、如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ C ）

A．K B．H C．G D．B′

7．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于（ C ）

A．

19 B． C．

8117 D．

14

8. 如图，平面??平面?，????直线l，A,C是?内不同的两点,B,D是?内不同的两点，且A,B,C,D?直线l, M,N分别是线段AB,CD的中点.

下列判断正确的是：（ C ） 降维思想，平面切割 A． 当CD?2AB时，M,N两点不可能重合

B． 当CD?2AB时， 线段AB,CD在平面?上正投影的长度不可能相等 C． M,N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交 D． 当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

? C

A M · B

?· N l

D

8. 如图，平面??平面?，????直线l，A,C是?内不同的两点,B,D是?内不同的两点，且A,B,C,D?直线l, M,N分别是线段AB,CD的中点. 下列判断正确的是（ B ）

A．当CD?2AB时，M,N两点不可能重合

B．M,N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交 C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB,CD是异面直线时，MN可能与l平行 （二）轨迹问题（动中之不动）

1．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段

MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为___________.

2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（ ）

A.圆或圆的一部分 B.抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分

3．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（ ）

在三棱锥A-BCD中作AO?底面BCD于O，连接OC，在AC棱上找一点Q，使Q到底面

的距离等于到棱的距离.

在?AOC中作QE?OC于E，在?ABC中作QM?AB于M，所以，QE=QM

在线段BQ上任取一点P，作PF?底面BCD于F, PN?棱AB于N，则有PN∥QM, PF∥QE

所以，

PFQE?BPBQ?PNMQ 因此，PF=PN 即线段BQ上的任取一点到底面的距离等于到棱

AB的距离，于是可排除A,B.又因为QM=QE?QC, 于是又可排除C.故应选D

解法2:

过E作EK?BC于K,连QK.则QK?BC

?QMQK?QEQK?sin?QKE?1

QM?QK

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，

在正方体的表面上与点A距离为

4333233的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为

解: CD=

?1?

33 总长度=3?(233??6)?3?(??2)?536?

（三）特殊结合体

1、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( C ) （A）

3?263 （B）2+

263 （C）4+

263 （D）

43?263

在正方体的表面上与点A距离为

4333233的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为

解: CD=

?1?

33 总长度=3?(233??6)?3?(??2)?536?

（三）特殊结合体

1、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( C ) （A）

3?263 （B）2+

263 （C）4+

263 （D）

43?263

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